第05节二次函数与幂函数【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测二次函数与幂函数1.了解幂函数的概念．掌握幂函数，的图象和性质.2.了解幂函数的变化特征.2022•浙江文7；2022•浙江文15；理15；2022•浙江文20；理18；2022•浙江理18；2022•浙江5.1.与二次函数相关的单调性、最值问题；2.幂函数的图象与性质的应用.备考重点：1.“三个二次”的结合问题；2.幂函数图象和性质.【知识清单】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}-15-\n奇偶性奇偶奇非奇非偶奇对点练习【2022山东济南诊断】已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于( )A.B.1C.D.2【答案】【解析】由幂函数的定义知.又，所以，解得，从而.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在上单调递减；在上单调递增在上单调递增；在上单调递减对称性函数的图象关于x＝－对称对点练习【2022浙江湖州、衢州、丽水4月联考】已知函数若-15-\n存在实数，对任意，都有，则的最大值是__________．【答案】-6【解析】因为，所以等价于，题意为存在，使得不等式成立，所以，即对成立，所以，即，所以，即的最大值为－6．【考点深度剖析】从近几年的高考试题来看，二次函数图象和性质的应用、最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．高考对幂函数，只需掌握简单幂函数的图象与性质.【重点难点突破】考点1二次函数的解析式【1-1】【2022湖北武汉模拟】若函数(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式＝________.【答案】【解析】由是偶函数知图象关于y轴对称，∴，∴，又的值域为(－∞，4]，∴，故.【1-2】已知：抛物线与x轴交于（-2，0），（4，0）两点，且过点为（1，-），则函数解析式为______．【答案】【解析】设二次函数解析式为，因为二次函数图象交轴于（-2，0），（4，0）两点，且过点（1，-），设，∴，∴．∴所求函数解析式为：,．-15-\n【领悟技法】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【触类旁通】【变式一】已知二次函数的图象经过点，它在轴上截得的线段长为2，并且对任意，都有，求f(x)的解析式．【答案】【解析】∵对恒成立，∴的对称轴为.又∵图象被轴截得的线段长为2，∴的两根为1和3.设的解析式为．又∵的图象过点，∴.∴所求的解析式为，即.【变式二】已知二次函数f(x)同时满足以下条件：(1)；(2)的最大值为15；(3)的两根的立方和等于17.求的解析式．【答案】【解析】依条件，设，即.令，即，则.-15-\n而．即，则.故.考点2二次函数的图象和性质【2-1】设二次函数在区间上单调递减，且，则实数的取值范围是（）( )A．(－∞，0]B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞)D．[0,2]【答案】 D【解析】 二次函数在区间上单调递减，则，，所以，即函数图象的开口向上，对称轴是直线．所以f(0)＝f(2)，则当时，有．【2-2】【2022浙江，5】若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M–mA．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．【2-3】已知函数，若，则必有( )A．B．C．D．的符号不能确定【答案】A【解析】函数的对称轴为，又因为，故，，所以.【领悟技法】（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动-15-\n区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．【触类旁通】【变式一】【2022湖南岳阳县第一中学模拟】若∀x∈R，函数fx=2mx2-24-mx+1与gx=mx的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围为()A.（0,4]B.（0,8）C.（2,5）D.(-∞,0)【答案】B【解析】当m≤0时，显然不成立当m＞0时，若-b2a=4-m2m≥0，即0＜m≤4时结论显然成立；若-b2a=4-m2m＜0，时只要△=4（4-m）2-8m=4（m-8）（m-2）＜0即可，即4＜m＜8则0＜m＜8,选B【变式二】若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：不等式在区间内有解等价于，令，，所以，所以.考点3二次函数的综合应用【3-1】【2022湖南衡阳三次联考】《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数，在上取三个不同的点，，，均存在为三边长的三角形，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A-15-\n【解析】由题意可知，∵，∴或，，故选A.【3-2】【2022湖北九江模拟】已知，如果对恒成立，则实数a的取值范围为________.【答案】【解析】因为，对称轴，对恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3，1]的位置关系得：或或解得或或，所以的取值范围为.【3-3】已知函数，（），对任意的，存在，使，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】时，函数的值域为，时，的值域为，由题意，则有，又，故解得．故选A．【领悟技法】二次函数求最值问题，一般先用配方法化为y＝a(x－m)2＋n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程x＝m，结合二次函数的图象求解，常见有三种类型：(1)顶点固定，区间也固定；(2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．-15-\n【触类旁通】【变式一】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.【答案】(－∞，1).【解析】(1)由题意知解得所以，由知，函数的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].(2)由题意知，在区间[－3，－1]上恒成立，即在区间[－3，－1]上恒成立，令，x∈[－3，－1]，在区间[－3，－1]上是减函数，则，所以，故k的取值范围是(－∞，1).【变式二】【2022上海南洋模范中学质检】定义在上的函数，当时，，且对任意的满足（常数），则函数f(x)在区间的最小值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】当，所以；当，所以；当，-15-\n所以；所以当时，，故选D.考点4二次函数根的分布【4-1】一元二次方程的一根比1大，另一根比－1小，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】记，由已知得，解得．【4-2】已知关于的方程在区间上有实数根，则实数的取值范围是.【答案】【解析】当时，方程为，解得，符合；当时，记，其中.当时，，所以题目条件等价于函数在区间内有零点.当时有函数对称轴，若，即，此时的零点为，不符合.因为，，即，所以可知对称轴，画图可知此时在区间内无零点.当时有函数对称轴，此时恒成立.因为，所以有，解得.所以此时综上可得，.【4-3】若方程的两实根分别为，且，则的取值范围是.【答案】【解析】因为关于的方程的两个根为，且-15-\n
则满足,这样可以解得的范围.【领悟技法】二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与x轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式Δ，相应区间端点函数值来考虑．【触类旁通】【变式一】【2022贵州遵义第四中学模拟】已知关于的方程的两个根分别为其中，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设，则问题转化为函数的零点在内，由二次函数的根的分布得出不等式组-15-\n，在平面直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域如图，则问题转化为求动点与定点连线的斜率的取值范围问题，因为，所以，应填答案A.【变式二】【2022上海市普陀区高三二模】设，若不等式对于任意的恒成立，则的取值范围是 .【答案】【解析】因为不等式对于任意的恒成立，所以不等式对于任意的恒成立，令，即对于任意的恒成立，因为，所以，则，即，解得或（舍）；故答案为.考点5幂函数的图象与性质【5-1】图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为( )A．－2，－，，2B．2，，－，－2C．－，－2,2，D．2，，－2，－-15-\n【答案】B【解析】当n大于0时，幂函数为单调递增函数，当n小于0时，幂函数为单调递减函数，并且在x＝1的右侧幂指数n自下而上依次增大，故选B.【5-2】【2022·郑州外国语学校期中】已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数的值域为R，且为奇函数的所有的值为( )A.1，3B.－1，1C.－1，3D.－1，1，3【答案】A【解析】因为函数为奇函数，故的可能值为－1，1，3.又的值域为，函数，的值域都为R.所以符合要求的的值为1，3.【5-3】已知幂函数，经过点(2，)，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围．【答案】【解析】∵幂函数经过点，∴，即.∴.解得或.又∵，∴.∴，则函数的定义域为，并且在定义域上为增函数．由，得，解得.∴的取值范围为.【领悟技法】1．幂函数，其中为常数，其本质特征是以幂的底为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．在-15-\n上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．【触类旁通】【变式一】已知函数f(x)＝(k∈Z)满足．(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为[－4，]？若存在，求出q；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在．【解析】(1)∵，∴在第一象限是增函数．故，解得．又∵，∴或．∴．(2)假设存在满足题设，由(1)知．∵，∴两个最值点只能在端点和顶点处取得．而，∴，，解得∴存在满足题意．【变式二】【2022上海南洋模范中学检测】函数的单调递增区间是______________．【答案】．【解析】由，解得，令，则外函数为为减函数，求函数的单调递增区间，即求的减区间，函数在上为减函数，则原函数的增区间为，故答案为.易错试题常警惕易错典例1：若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m-15-\n的取值范围是________．易错分析：忽视．正确解析：时，函数在给定区间上是增函数；时，函数是二次函数，对称轴为，由题意知，∴，综上．温馨提示：首先是函数类型的确定，其次对于二次函数来说，单调性与开口及对称轴有关系．易错典例2：设时，函数的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．易错分析：考虑幂函数y＝xα的图象时比较片面没有考虑到α>0尤其是易丢α＝0时的情况．正确解析：(1)当时，根据题意，∴．(2)时，函数为，符合题意．(3)时，在上过(1,1)点，函数为减函数，符合题意．综上所述，的取值范围．温馨提示：幂函数当指数在不同范围内时其图象也会随着变化，注意分类讨论思想的运用．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】【2022吉林松原月考】设函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，已知f(m)＜0，则( )A．f(m＋1)≥0B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)＞0D．f(m＋1)＜0-15-\n【答案】C【解析】∵f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a＞0，∴f(x)的大致图象如图所示．由f(m)＜0，得－1＜m＜0，∴m＋1＞0，∴f(m＋1)＞f(0)＞0.-15-
