第02节平面向量基本定理及坐标表示【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测平面向量的基本定理及坐标表示1.理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题。2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。3．掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算。2022•浙江文22;单独考查平面向量基本定理、坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算的题目较少，主要是以工具的形式进行考查.3.备考重点：(1)理解坐标表示是基础，掌握坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.【知识清单】1．平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．对点练习：向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．-13-\n【答案】 2．平面向量的坐标运算1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得，这样，平面内的任一向量都可由x、y唯一确定，因此把叫做向量的坐标，记作，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．(2)若，则．3．平面向量的坐标运算(1)若，则；(2)若，则．(3)设，则，.对点练习：【2022湖南郴州一测】中，，，则（）A．B．C.D．【答案】D-13-\n【解析】试题分析：,故选D.3．平面向量共线的坐标表示向量共线的充要条件的坐标表示若，则⇔.对点练习：【2022广西名校摸底】已知函数的图象是由函数的图象按向量平移而得到的，又，则（）A．B．C．D．【答案】A【考点深度剖析】平面向量基本定理及坐标表示，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．【重点难点突破】考点1平面向量基本定理及其应用【2022·杭州测试】如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，.-13-\n【答案】＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.【解析】∵＝－＝a－b，＝＝a－b，∴＝＋＝a＋b.【领悟技法】1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．2.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．【触类旁通】-13-\n【变式一】如图，已知＝，用，表示，则等于( )A.－B.＋C.－＋D.－－【答案】C【解析】＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，选C.考点2平面向量的坐标运算【2-1】已知向量，则（）A．B．C．D．【答案】D【2-2】已知向量，且，则等于（）A．1B．3C．4D．5【答案】D【解析】因,,故,所以,故,故应选D.【领悟技法】注意向量坐标与点的坐标的区别：-13-\n要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息．【触类旁通】【变式一】已知向量，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为，所以=，故选A.【变式二】【2022河北武邑三调】在矩形中，，则实数（）A．B．C.D．【答案】D【解析】，故选D.考点3平面向量共线的坐标表示【3-1】向量且，则（）A．B．C．D．【答案】A【3-2】设向量=，=，则“”是“//”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A-13-\n【解析】当时，，，此时；当时，，解得.所以“”是“”的充分而不必要条件.【领悟技法】1.向量共线的充要条件有两种：（1）⇔.（2）若，则⇔.当涉及到向量或点的坐标问题时，应用（2）解题较为方便.2.两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等.【触类旁通】【变式一】已知向量，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，可知，解得，故选A.【变式二】已知向量=（2，2），=（cosα，﹣sinα），则向量的模的最小值是（）A．3B．3C．D．2【答案】C【解析】-13-\n考点4平面向量共线的应用【4-1】设，，，，为坐标原点，若、、三点共线，则的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】D【解析】，，若、、三点共线，，由向量共线定理得，，故．【4-2】如图，在△中,,是上的一点,若,则实数的值为()A．B．C．D．【答案】C-13-\n【课本回眸】向量共线的充要条件有两种：（1）⇔.（2）若，则⇔.【领悟技法】当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件（2）解题较为方便.【触类旁通】【变式一】设两个向量，其中．若，则的最小值为______．【答案】【解析】-13-\n值为值为.【变式二】【2022山西大学附中二模】在直角梯形分别为的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是___________．【答案】，，.【易错试题常警惕】-13-\n易错典例：如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量．易错分析：不能结合图形特征，灵活建立直角坐标系，将向量用坐标表示，将问题转化成三角问题求解．正确解析：以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为，则 设 .又向量由题意得∴当时，同时，时，取最小值为.温馨提醒：涉及几何图形问题，要注意分析图形特征，利用已有的垂直关系，建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，利用向量共线的充要条件，应用函数方程思想解题.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想-13-\n我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】【2022·湖南模拟】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．【答案】2.【解析】以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1,0)，B.设∠AOC＝α，则C(cosα，sinα)，-13-\n又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2.-13-
