第五章平面向量与复数\n第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝____________.知识点二 平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与____________________的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__________叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__________，j＝(0,1)，0＝__________.不共线λ1e1＋λ2e2x轴，y轴正方向相同(x，y)(1,0)(0,0)\n(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)x1y2－x2y1＝0\n两个向量作为基底的条件：作为基底的两个向量必须是不共线的．平面向量的基底可以有无穷多组．\n×√×\n(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．()√√\n题组二 走进教材2．(必修2P30T1改编)(2021·北京十五中模拟)如果向量a＝(1,2)，b＝(4,3)，那么a－2b＝()A．(9,8)B．(－7，－4)C．(7,4)D．(－9，－8)[解析]a－2b＝(1,2)－(8,6)＝(－7，－4)，故选B．B\nB\n[解析]A选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B选项中，不存在实数λ，使得e1＝λe2.故两向量不共线，故其可以作为基底；C选项中，e2＝2e1，两向量共线，故其不可以作为基底；D选项中，e1＝4e2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B．\nA\n\nA\n\n6．(2018·全国卷Ⅲ，13,5分)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝____.\n考点突破·互动探究\n例1C考点一平面向量基本定理的应用——师生共研\n－3\n\n\n应用平面向量基本定理的关键(1)基底必须是两个不共线的向量．(2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．易错提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．MINGSHIDIANBO\nC\n(－2,0)\n\n例2(－4，－2)考点二平面向量坐标的基本运算——自主练透\n\n\n\n平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．MINGSHIDIANBO\n角度1利用向量共线求参数的值(2021·海南省文昌中学模拟)已知a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝_____.[解析]由题意得a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5，9－k)，由(a＋2b)∥(3a－b)，得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.例3－6考点三向量共线的坐标表示及其应用——多维探究\n角度2利用向量共线求解综合问题(2021·湖南“三湘教育联盟”联考)已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(－sinθ，0)，c＝(cosθ，－1)，且(2a－b)∥c，则sin2θ等于______.例4\n利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求一个与已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其它条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)如果已知两个向量共线，求某些参数的值，那么利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是：x1y2－x2y1＝0”比较简捷．MINGSHIDIANBO\n45°\n\n\n名师讲坛·素养提升\n例5D\n\n例6D\n\n\nB\n
