八、不等式中的最值与参数一、选择题1．【2022届河南省天一大联考高三上10月测试】已知，若，则的最小值是（）A.4B.6C.8D.10【答案】C【解析】因为，化简可得，故，即，当且仅当是等号成立，即的最小值是8，故选C.2．【2022届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】若，则的最大值是（）A.1B.C.D.2【答案】A3．【2022届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】已知a>b>0，则a+4a+b+1a-b的最小值为（）A.3102B.4C.23D.32【答案】D【解析】因a=12[(a+b)+(a-b)]，故a+4a+b+1a-b=12(a+b)+4a+b+12(a-b)+1a-b，又因为11(a+b)+4a+b≥22,12(a-b)+1a-b≥212=2，所以a+4a+b+1a-b≥32，当且仅当a+b=2a-b=2，即a=12(2+2)b=12(2-2)取等号，应选答案D.4．【2022浙江卷】若x,y满足约束条件的取值范围是-14-\nA.[0,6]B.[0,4]C.[6,D.[4,【答案】D【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：故选：D．5．【2022届河南省林州市第一中学高三8月调研】已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（）A.10B.15C.20D.25【答案】C【解析】由题意可得：，由可得，由等比数列的性质可得：成等比数列，-14-\n本题选择C选项.6．【2022届湖南省邵阳市洞口一中、隆回一中、武冈二中高三上第二次月考】已知实数x,y满足条件x+2y≥22x+y≤2x>0,则yx的最小值为A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】由x+2y=22x+y=2⇒A(23,23)；由2x+y=2x=0⇒B(0,2)；由x+2y=2x=0⇒C(0,2)；由约束条件做出(x,y)的可行域如图所示，yx的值为可行域中的点与原点O的连线的斜率，观察图形可知OA的斜率最小，所以yxmin=1.故选A.7．【2022届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】设点P(x,y)在不等式组x≥02x-y≤0x+y-3≤0表示的平面区域上，则z=x2+y2-2x+1的最小值为（）A.1B.15C.4D.45【答案】D-14-\n【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图：z=(x2+y2-2x+1)2=((x-1)2+y2)2，则z的几何意义是区域内的点到点D（1，0）的距离的平方，由图象知D到直线2x-y=0的距离最小，此时d=|2-0|22+1=255，所以zmin=45，故选D.8．【2022届河南省天一大联考高三10月测试】已知实数x,y满足x+1≥y,x≤3,y-1≥0,若z=mx+y的最大值为10，则m=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】作可行域，则直线z=mx+y过点(3,4)时取最大值，由10=3m+4得m=2，选B.9．【2022届江西省赣州市红色七校高三第一次联考】设实数满足x+y-3≤0y-12x≥0x-1≥0,则u=yx-xy的取值范围为（）A.[12,2]B.[-23,2]C.[-23,32]D.[-32,32]【答案】D【解析】画出可行域如图所示：-14-\n10．【2022届云南省师范大学附属中学高三月考一】若直线（）始终平分圆的周长，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】直线平分圆周，则直线过圆心，所以有（当且仅当时取“=”），故选D.11．【2022届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷一】已知实数，满足-14-\n若目标函数的最小值的7倍与的最大值相等，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】D12．【2022届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知变量满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】作出约束条件所对应的可行域（如图中阴影部分），令，当直线经过点时，取得最大值，即，所以，故选D．二、填空题-14-\n13．已知a+b>0，c>0，则a+b+c1a+b+1c的最小值是________.【答案】4【解析】由题意可得：a+b+c1a+b+1c=a+b+c1a+b+1c=2+ca+b+a+bc≥2+2ca+b×a+bc=4当且仅当ca+b=a+bc时等号成立.据此可得a+b+c1a+b+1c的最小值是4.14．【2022天津卷】若，，则的最小值为___________.【答案】415．【2022届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】当1≤x≤3时，3a+2b-a-2b≤a⋅x+mx+1对任意实数a,b都成立，则实数的取值范围是_________．【答案】m≥94【解析】当a=0时，不等式显然成立；当a≠0时，3+2ba-1-2ba≤x+mx+1而3+2ba-1-2ba≤3+2ba+1-2ba=4，∴x+mx+1≥4，即m≥3x-x2当1≤x≤3时，3x-x2≤3×32-94=94，∴m≥94故答案为：m≥94.-14-\n16．已知数列满足，，若不等式恒成立，则实数t的取值范围是_____．【答案】[﹣9，+∞）三、解答题17．【2022届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上第一次联考】已知函数f(x)=2x-1+x-2.（1）求不等式f(x)≥3的解集；（2）若f(x)≥1m+1n(m,n>0)对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值.【答案】（1）{xx≤0或x≥2}（2）83【解析】试题分析：（1）写出分段函数f(x)=-3x+3(x≤12)x+1(12<x≤2)3x-3(x>2)，再分段讨论解不等式。（2）即求f(x)的最小值，由（1）中分段函数可知最小值为32，即1m+1n≤32，由于m,n>0，所以m+n≤32mn，再由重要不等式m+n≤32mn≤32(m+n2)2，可解。试题解析：（1）f(x)=-3x+3(x≤12)x+1(12<x≤2)3x-3(x>2)，∵f(x)≥3∴x≤12-3x+3≥3或12<x≤2x+1≥3或x>23x-3≥3解得|x≤0或x≥2f(x)≥3的解集为{x|x≤0或x≥2}.-14-\n18．在中，角、、的对边分别为、、，且满足．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式对原等式化简可求得的值，进而求得．（2）对原等式平方，利用向量的数量积的运算公式求得关于和的关系式，进而利用基本不等式求得的范围，进而求得三角形面积的最大值．试题解析：（1）由得解得，由，所以-14-\n（注：也可将两边平方）即，所以，当且仅当，时取等号此时，其最大值为.19．【2022届贵州省贵阳市普通高中高三8月摸底】已知函数.(1)解不等式的解集；(2)记(1)中集合中元素最小值为，若，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）4．【解析】试题分析：(1)零点分段可得解不等式的解集；(2)由题意结合均值不等式的结论即可证得题中的不等式，注意等号成立的条件.试题解析：(1)，即为，∴或即∴.(2)由(1)知，即，且，∴.-14-\n当且仅当时，取得最小值4.20．【2022届安徽省亳州市二中高三下检测】已知，函数的最小值为．（I）求证：；（II）若恒成立，求实数的最大值．【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）实数的最大值为.试题解析：（Ⅰ）法一：，∵且，∴，当时取等号，即的最小值为，∴，.法二：∵，∴，显然在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为，∴，.（Ⅱ）∵恒成立，-14-\n∴恒成立，当时，取得最小值，∴，即实数的最大值为.21．【2022届浙江省台州市高三4月调研】已知数列{an}满足：an>0,an+1+1an<2(n∈N*).（1）求证：an+2<an+1<2(n∈N*)；（2）求证：an>1(n∈N*).【答案】(1)见解析;(2)见解析.试题解析：（1）由an>0,an+1+1an<2，所以an+1<2-1an<2，因为2>an+2+1an+1≥2an+2an+1，所以an+2<an+1<2.（2）假设存在aN≤1(N≥1,N∈N*)，由（1）可得当n>N时，an≤aN+1<1，根据an+1-1<1-1an=an-1an<0，而an<1，所以1an+1-1>anan-1=1+1an-1.于是1aN+2-1>1+1aN+1-1，……1aN+n-1>1+1aN+n-1-1.累加可得1aN+n-1>n-1+1aN+1-1（*）-14-\n22．【2022届浙江省台州市高三4月调研】已知函数f(x)=13x3+12ax2+bx(a,b∈R).（1）若函数f(x)在(0,2)上存在两个极值点，求3a+b的取值范围；（2）当a=0,b≥-1时，求证：对任意的实数x∈[0,2]，|f(x)|≤2b+83恒成立.【答案】(1)3a+b的取值范围(-8,0);(2)见解析.【解析】试题分析：（1）f'(x)=x2+ax+b=0在(0,2)上有两个实根，根据二次函数根的分布列不等式组，{f(0)>0f(2)>0Δ>00<-a2<2，将问题转化为线性规划求取值范围；(2)当a=0时，f(x)=13x3+bx，利用导数分b≥0和-1≤b<0两类情况讨论函数的单调性和最值，转化为证明2b+83≥|f(x)|max.试题解析：（1）f'(x)=x2+ax+b，由已知可得f'(x)=0在(0,2)上存在两个不同的零点，故有{f'(0)>0f'(2)>0Δ>0-a2∈(0,2)，即{b>02a+b+4>0a2-4b>0a∈(-4,0)，令z=3a+b，由图可知-8<z<0，-14-\n故3a+b的取值范围(-8,0).则f(x)在[0,-b]上单调递减，在[-b,2]上单调递增，所以f(-b)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}.因为f(0)=0,f(2)=2b+83>0,f(-b)=23b-b<0，要证|f(x)|≤2b+83，只需证-23b-b≤2b+83，即证-b(-b+3)≤4，因为-1≤b<0，所以0<-b≤1,3<-b+3≤4，所以-b(-b+3)≤4成立.综上所述，对任意的实数x∈[0,2],|f(x)|≤2b+83恒成立.-14-
