课时规范练45 点与直线、两条直线的位置关系一、基础巩固组1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=02.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2022广东揭阳一模)若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为( )A.7B.0或7C.0D.44.(2022浙江温州模拟)直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k=( )A.-3或-1B.3或1C.-3或1D.-1或35.已知平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,点D在直线3x-y+1=0上移动,则点B的轨迹方程为( )A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-9=0D.3x-y-12=06.(2022广西南宁模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( )A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=07.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )A.32B.22C.33D.428.如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是( )A.210B.6C.33D.25〚导学号21500568〛9.经过两条直线2x-3y+3=0,x-y+2=0的交点,且与直线x-3y-1=0平行的直线的一般式方程为 . 10.(2022宁夏银川模拟)点P(2,1)到直线l:mx-y-3=0(m∈R)的最大距离是 . 11.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在x轴上的截距是 . 12.(2022江西八校联考)已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为 . 二、综合提升组13.若向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则直线y=kx+b必经过定点( )4\nA.(1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(-1,-2)14.(2022河北武邑中学一模)若m∈R,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A.-53或-35B.-32或-23C.-54或-45D.-43或-34〚导学号21500569〛16.(2022江苏淮安调研)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为 . 三、创新应用组17.(2022浙江杭州月考)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组a1x+b1y=1,a2x+b2y=1的解的情况是( )A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k、P1、P2,使之有无穷多解〚导学号21500570〛18.已知点A(3,1),在直线y=x和y=0上分别找一点M和N,使△AMN的周长最短,则最短周长为( )A.4B.25C.23D.22课时规范练45 点与直线、两条直线的位置关系1.A 设直线方程为x-2y+c=0(c≠-2),又经过(1,0),故c=-1,所求方程为x-2y-1=0.2.C 直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直⇔1+1×(-a)=0,故选C.3.B ∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,∴m(m-1)=3m×2,∴m=0或m=7,经检验都符合题意.故选B.4\n4.C 若1-k=0,即k=1,直线l1:x=3,l2:y=25,显然两直线垂直.若k≠1,直线l1,l2的斜率分别为k1=kk-1,k2=1-k2k+3.由k1k2=-1,得k=-3.综上k=1或k=-3,故选C.5.A 设AC的中点为O,则O52,-2.设B(x,y)关于点O的对称点为(x0,y0),即D(x0,y0),则x0=5-x,y0=-4-y,因为点D在直线3x-y+1=0上,所以3x0-y0+1=0,得点B的轨迹方程为3x-y-20=0.6.D 设所求直线上任一点(x,y),则它关于直线x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,即2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.7.A 依题意知,AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离相等的直线,则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得|m+7|2=|m+5|2⇒|m+7|=|m+5|⇒m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得中点M到原点的距离的最小值为|-6|2=32.8.A 易得AB所在的直线方程为x+y=4,由于点P关于直线AB对称的点为D(4,2),点P关于y轴对称的点为C(-2,0),则光线所经过的路程即D,C两点间的距离.于是|DC|=(4+2)2+(2-0)2=210.9.x-3y=0 两条直线2x-3y+3=0,x-y+2=0的交点为(-3,-1),所以所求直线为y+1=13(x+3),即x-3y=0.10.25 直线l经过定点Q(0,-3),如图所示.由图知,当PQ⊥l时,点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|=(2-0)2+(1+3)2=25,所以点P(2,1)到直线l的最大距离为25.11.56 由题意得线段AB的中点-12,2在直线y=kx+b上,故3-11+2·k=-1,2=k·-12+b,解得k=-32,b=54,所以直线方程为y=-32x+54.令y=0,即-32x+54=0,解得x=56,故直线y=kx+b在x轴上的截距为56.12.42 由题意得,点P在线段AB的垂直平分线上,则易得点P的轨迹方程为x+2y=3,所以2x+4y≥22x·4y=22x+2y=42,当且仅当x=2y=32时等号成立,故2x+4y的最小值为42.13.A 因为向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则k+2=-b,即b=-2-k,于是直线方程化为y=kx-k-2,即y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2).14.A 由log6m=-1得m=16,若l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行,则直线斜率相等或斜率不存在,解得m=0或m=16,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的充分不必要条件.4\n15.D 如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.所以圆心到直线的距离d=|-3k-2-2k-3|1+k2=1,解得k=-43或k=-34.16.6x-y-6=0 设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在直线过点M',所以b-4a-(-3)·1=-1,-3+a2-b+42+3=0,解得a=1,b=0.又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为y-06-0=x-12-1,即6x-y-6=0.17.B 由题意,直线y=kx+1一定不过原点O,P1,P2是直线y=kx+1上不同的两点,则OP1与OP2不平行,因此a1b2-a2b1≠0,所以二元一次方程组a1x+b1y=1,a2x+b2y=1一定有唯一解.18.B 设点A关于直线y=x的对称点为B(x1,y1),依题意可得y1+12=x1+32,y1-1x1-3=-1,解得x1=1,y1=3,即B(1,3),同样可得点A关于y=0的对称点C(3,-1),如图所示,则|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|≥|BC|,当且仅当B,M,N,C共线时,△AMN的周长最短,即|BC|=(1-3)2+(3+1)2=25.故选B.4
