专题5立体几何（文）考试内容要求层次ABC立体几何初步空间几何体柱、锥、台、球及其简单组合体√三视图√斜二测法画简单空间图形的直观图√球、棱柱、棱锥的表面积和体积√点直线平面间的位置关系空间线、面的位置关系√公理1、公理2、公理3、公理4、定理*√线、面平行或垂直的判定√线、面平行或垂直的性质√*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么着两个角相等或互补。说明:A.了解B.理解C.掌握立体几何是高考必考重点内容之一，文科高考解答题考查特点为；一般分2个小问题，考题往往以多面体为依托，第（1）小问考查线线、线面、面面的位置关系，第（2）问考查面积、体积、空间角、空间距离等知识。学习中要让学生感悟解题中所蕴含的转化思想，训练学生的直观想象能力及逻辑推理能力。复习教学中提出以下建议；教学中应注意“四化”，知识理解“深化”、考试题型“类化”、通性通法“强化”、解题思维“优化”。高考复习内容四查：查考纲把握方向、查考题明辨重点、查课本回归基础、查学情对症下药。数学教学与高考复习要求四通：对学生点，心有灵犀一点通；让学生悟，融会贯通；让学生做，触类旁通；让学生考，无师自通。20\n★★★通过研究近4年全国高考试卷，高考中立体几何试题主要以中档题出现，通过研究近几年全国高考试卷，题目设置上，会有1--2个选填题；分值为5--10分。解答题1道为12分。○○○○立体几何部分在高考中占据重要的地位，通过分析近几年的高考情况，解答题考查特点如下表：考什么怎么考难度1.平行与垂直①考查直线与直线；②考查直线和平面；③考查平面与平面；中档题2.多面体①求多面体的体积与表面积；③求距离中档题3.计算空间角①求异面直线所成的角；③求线面角题型：解答题难度：中档题2022-2022年全国高考解三角形（理科）试题分布表年份题型考查角度分值难度2022年Ⅰ卷解答题第18题（1）面面垂直（2）求四棱锥的侧面积12中等2022年Ⅱ卷解答题第18题（1）线面平行（2）求四棱锥体积12中等2022年Ⅲ卷解答题第19题（1）线线垂直（2）求几何体体积比12中等2022年Ⅰ卷解答题第18题（1）证明中点（2）求四面体的体积12中等2022年Ⅱ卷解答题第18题（1）线线垂直（2）求五棱锥的体积12中等2022年Ⅲ卷解答题第19题（1）线面平行（2）求四面体的体积12中等2022年Ⅰ卷解答题第18题（1）面面垂直（2）求三棱锥的侧面积12中等20\n2022年Ⅱ卷解答题第18题（1）画出平行线（2）求几何体体积比12中等2022年Ⅰ卷解答题第19题（1）线线垂直（2）求三棱锥的高12中等2022年Ⅱ卷解答题第19题（1）线面平行（2）求点到面的距离12中等1．平面的基本性质名称图形文字语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，A∈α，B∈α⇒l⊂α公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C不共线⇒A，B，C∈平面α，则α是唯一的公理2的推论推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面若点A∉直线a，则A和a确定一个平面α推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若P∈α，P∈β，则α∩β＝a，P∈a，且a是唯一的公理4平行于同一直线的两条直线平行l1∥l，l2∥l⇒l1∥l22．空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系20\n相交关系独有关系3．直线与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理不在平面内的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为线线平行⇒线面平行)⇒l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为线面平行⇒线线平行)⇒a∥b4．平面与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为线面平行⇒面面平行)⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⇒a∥b5．直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α20\n性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⇒a∥b6.平面与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面⇒l⊥α7、空间角（1）．两条异面直线所成的角；过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐角或直角叫作这两条异面直线所成的角．若记这个角为θ，则θ∈.（2）．线面角(1)当l⊥α时，线面角为90°.(2)当l∥α或l⊂α时，线面角为0°.(3)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.（3）．二面角(1)如图所示的二面角αlβ，若①O∈l，②OA⊂α，OB⊂β，③OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB就叫作二面角αlβ的平面角．(2)二面角θ的范围：0°≤θ≤180°.典例.【2022课标II文18】如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面,（1）证明：直线平面;20\n（2）若△面积为，求四棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）43因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为，所以PM⊥CM.设BC=x，则CM=x，CD=2x，PM=3x，PC=PD=2x.取CD的中点N，连结PN，则PN⊥CD，所以；PN=142x因为△PCD的面积为27，所以解得x=-2（舍去），x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=23，20\n所以四棱锥P-ABCD的体积【精准解读】本道立体几何解答题，分别考察了线与面平行的证明与计算四棱锥的体积。即考察了逻辑推理能力，也体现了对计算能力的考察。有一定的综合度。对于线面平行的证明，基本思路为：体现了空间问题向平面问题转化的思想；体积的求解则体现了方程思想。1.【2022全国课标2文18】如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，是的中点.（Ⅰ）证明：//平面；（Ⅱ）设，三棱锥的体积，求到平面的距离.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】：（Ⅰ）设和交于点，连接．因为为矩形，所以为的中点．又为的中点，所以．且平面，平面，所以//平面．（Ⅱ）．由，可得．作交于．由题设知平面．所以，故平面．又．20\n所以到平面的距离为．【精准解读】本道立体几何解答题，考查了直线与平面平行的判断与证明，等体积的求法求距离；基本思路为；证线面平行，运用线与面平行的判定定理可转化为证明线与线平行，而如何作出这条面内线就是平时的经验积累与分析思维的能力了，求点到平面的距离，可用等体积法。2.【2022高考四川文科19】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，.（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（II）证明：平面PAB⊥平面PBD.【答案】（Ⅰ）取棱AD的中点M，证明详见解析；（Ⅱ）证明详见解析.【解析】（I）取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.理由如下：因为AD‖BC,BC=AD，所以BC‖AM,且BC=AM.所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM‖AB.又AB平面PAB,CM平面PAB,所以CM∥平面PAB.20\n(说明：取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)【精准解读】本道立体几何解答题，考查了直线与平面平行的证明，及面与面垂直的证明；而第（1）有探索性，需根据线面平行的判定定理，先证明线线平行，即要在平面上作交于即得；（Ⅱ）要证面面垂直，先证线面垂直，也就要证线线垂直。考察了空间想象能力，逻辑推理能力和逆向思维能力。3.【2022长沙模拟】如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面ABE⊥底面ABCD，侧面AEB为等腰直角三角形，∠AEB=，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC（1）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（2）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明详见解析.【解析】（1）因为平面ABE⊥底面ABCD，且AB⊥BC，所以BC⊥平面ABE，则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角，设BC=a，则AB=2a，BE=，所以CE=，则直角三角形CBE中，sin∠CEB=，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为；20\n【精准解读】本题考查了直线与平面平行的判定定理的应用、线面角的求解，考查空间想象能力以及逻辑推理能力、转化思想的应用．【实战演练】（共100分）一、选择题（共4题，每题5分）1.【2022课标1文6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（）A．B．20\nC．D．【答案】A【解析】由B，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由C，AB∥MQ，则直线AB∥平面MNQ；由D，AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故A不满足，选A．2.【2022课标3文10】在正方体中，E为棱CD的中点，则（）A．B．C．D．【答案】C3.【2022年新疆乌鲁木齐地区一诊文】设为平面，为直线，则的一个充分条件是（）A.B.C.D.【答案】D.【解析】∵,∴∥,又,∴，故选D.4.【2022西安模拟文】设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】C【解析】对A，若，，则或或，错误；对B，若，，则或或，错误；20\n对C，若，，，则，正确；对D，若，，，则或或，错误.故选C.二、填空题（共4题，每题5分）5.【2022哈尔滨模拟】如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是；【答案】【解析】如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形，正方体绕对角线旋转120°能与原正方体重合．6.【2022佛山模拟】在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD=O，E是线段B1C（含端点）上的一动点，则；①OE⊥BD1；②OE∥面A1C1D；③三棱锥A1﹣BDE的体积为定值；④OE与A1C1所成的最大角为90°．上述命题中正确的个数是；【答案】①②③④20\n7.【2022湖北二模】如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=6，AB=3，AD=8，点M是棱AD的中点，点N在棱AA1上，且满足AN=2NA1，P是侧面四边形ADD1A1内一动点（含边界），若C1P∥平面CMN，则线段C1P长度的取值范围是；【答案】【解析】取A1D1中点E，在DD1上取点F，使D1F=2DF，连结EF、C1E、C1F，则平面CMN∥平面C1EF，∵是侧面四边形ADD1A1内一动点（含边界），C1P∥平面CMN，∴P∈线段EF，∴当P与EF的中点O重合时，线段C1P长度取最小值PO，当P与点E或点F重合时，线段C1P长度取最大值PE或PF，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=6，AB=3，AD=8，点M是棱AD的中点，点N在棱AA1上，且满足AN=2NA1，∴C1Pmax=C1E=C1F==5，EF=4，C1Pmin=PO===．∴线段C1P长度的取值范围是[，5]．8.【2022江西九江模拟】在Rt△ABC中，∠C=，AC=1，BC=，D是AB边上的动点，设BD=x，把△BDC沿DC翻折为△B′DC，若存在某个位置，使得异面直线B′C与AD所成的角为20\n，则实数x的取值范围是；【答案】＜x＜2【解析】把△BDC沿DC翻折，形成了一个圆锥．过点C作CE∥AB，则AB与B′C所成的角等于CE与B′C所成的角，设AB与BC所成的角的大小为θ，设∠BCD=α．则30°＜θ＜2α+30°，2α+30°＞60°，∴α＞15°，∴∠BDC＜135°．△BCD中，=，∴=＞=，∴x＞，又x＜2．∴＜x＜2．三、解答题（共6题，每题10分）9.【2022山东文18】由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD,（Ⅰ）证明：∥平面B1CD1;（Ⅱ）设M是OD的中点,证明：平面A1EM平面B1CD1.【答案】①证明见解析.②证明见解析.【解析】（I）取中点,连接,由于为四棱柱,所以,因此四边形为平行四边形,20\n所以,又面,平面,所以平面,10.【2022天津文17】如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.（I）求异面直线与所成角的余弦值；（II）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】（Ⅰ）解：如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD20\n⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.（Ⅲ）解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC –BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得.所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.11.【2022北京文18】如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．【答案】详见解析【解析】证明：（I）因为，，所以平面，又因为平面，所以.20\n12．【2022银川模拟】一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N。(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN∥平面BDH；(3)过点M，N，H的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.(3)3∶1【解析】(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)证明：连接BD，设O为BD的中点，连接OM，OH，AC，BH，MN。20\n∵M，N分别是BC，GH的中点，∴OM∥CD，且OM＝CD，NH∥CD，且NH＝CD，∴OM∥NH，OM＝NH，则四边形MNHO是平行四边形，∴MN∥OH，又∵MN⊄平面BDH，OH⊂平面BDH，∴MN∥平面BDH。(3)由(2)知OM∥NH，OM＝NH，连接GM，MH，过点M，N，H的平面就是平面GMH，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是GH，底面分别是四边形BMGF和三角形MGC，体积比等于底面积之比，即3∶1。13.【2022北京市朝阳区模拟】如图，在四棱锥中，平面，（I）求证：；（II）求证：；（III）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面?说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（III）存在.理由见解析.【解析】（Ⅰ）因为，所以．又因为，所以平面．（II）因为，，所以．因为平面，所以．所以平面．所以平面平面．（III）棱上存在点，使得平面．证明如下：取中点，连结，，．又因为为的中点，所以．又因为平面，所以平面．20\n14.【2022天津南开区模拟】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PB，PA⊥PB，F为CP上的点，且BF⊥平面PAC．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PD上是否存在一点G，使GF∥平面PAB，若存在，求PG的长；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（III）存在.理由见解析.（Ⅲ）解：作FG∥CD，交PD于G，∵FG∥CD，AB∥CD，∴FG∥AB．∵PG⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PG∥平面PAB，20\n∵BF⊥平面PAC，∴BF⊥PC．∵PF=，∴PG=，∴棱PD上是否存在一点G，PG=，使GF∥平面PAB．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________20
