本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn2022届高考数学快速提升成绩题型训练——轨迹问题1.已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，那么在内到点P的距离为5且到直线的距离为的点的轨迹是（）A.一个圆B.两条平行直线C.四个点D.两个点2在四棱锥中，面PAB，面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）A.圆B.不完整的圆C.抛物线D.抛物线的一局部3.如图,定点A和B都在平面内，定点PC是内异于A和B的动点。且，那么动点C在平面内的轨迹是（）A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点4.如图3，在正方体中，P是侧面内一动点，假设P到直线BC与直线的距离相等，那么动点P的轨迹所在的曲线是（）18/18\nA.直线B.圆C.双曲线D.抛物线图35.已知正方体的棱长为1，点P是平面AC内的动点，假设点P到直线的距离等于点P到直线CD的距离，那么动点P的轨迹所在的曲线是（）A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.直线6.已知异面直线a,b成角，公垂线段MN的长等于2，线段AB两个端点A、B分别在a,b上移动，且线段AB长等于4，求线段AB中点的轨迹方程。7.已知圆E的方程为(x-1)2+y2=1,四边形PABQ为该圆的内接梯形，底AB为圆的直径且在x轴上，以A、B为焦点的椭圆C过P、Q两点．(1)假设直线QP与椭圆C的右准线相交于点M，求点M的轨迹；(2)当梯形PABQ周长最大时，求椭圆C的方程．18/18\n8.已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，其中F1又是抛物线y2=4x的一个焦点，且点A(-1,2)，B(3,2)在双曲线上．(1)求点F2的轨迹;(2)是否存在直线y=x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点，假设存在，求出实数m的值，假设不存在，说明理由．9.已知常数a>0，c=(0,a)，i=(1,0)，经过原点O，以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0,a)，以i-2λc为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E,F，使得|PE|+|PF|为定值，假设存在，求出E,F的坐标，假设不存在，说明理由．10.如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．（I）求边所在直线的方程；（II）求矩形外接圆的方程；（III）假设动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．11.如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.OABPF （2）证明∠PFA=∠PFB.18/18\n12.已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=假设存在，求∠F1MF2的正切值；假设不存在，请说明理由.13.过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点.求△AOB的重心G的轨迹C的方程.14.已知圆和点，动点到圆的切线长与的比等于常数，求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？15.如图，圆与圆的半径都是1，，过动点P分别作圆、圆的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得．试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．16.已知椭圆C：和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程。18/18\n17.已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN的一个端点在上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，求MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积。18.（经典问题，值得一做，很能训练学生的思维能力）三峡工程需修建一个土石基坑，基坑成矩形，按规定，挖出的土方必须沿道路或送到点处。已知，能否在池中确定一条界限，使得位于界限一侧的点沿道路送土方较近，而另一侧的点沿道路送土方较近？如果能，请说明这条界限是什么曲线，并求出轨迹方程。19.设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线20.某检验员通常用一个直径为2cm和一个直径为1cm的标准圆柱，检测一个直径为3cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个适宜的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？答案：1.如图1，设点P在平面内的射影是O，那么OP是、的公垂线，OP=4。在内到点P的距离等于5的点到O的距离等于3，可知所求点的轨迹是内在以O为圆心，3为半径的圆上。又在内到直线的距离等于的点的集合是两条平行直线m、n，它们到点O的距离都等于18/18\n，所以直线m、n与这个圆均相交，共有四个交点。因此所求点的轨迹是四个点，应选C。2.因为面PAB，面PAB，所以AD//BC，且。又，可得，即得在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，那么A（-3，0）、B（3，0）。设点P（x,y），那么有，整理得由于点P不在直线AB上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B。3.因为，且PC在内的射影为BC，所以，即。所以点C的轨迹是以AB为直径的圆且去掉A、B两点，应选B。4.因为P到的距离即为P到的距离，所以在面内，P到定点的距离与P到定直线BC的距离相等。由圆锥曲线的定义知动点P的轨迹为抛物线，应选D。18/18\n5.以A为原点，AB为x轴、AD为y轴，建立平面直角坐标系。设P（x,y），作于E、于F，连结EF，易知又作于N，那么。依题意，即，化简得故动点P的轨迹为双曲线，选B。6.如图，易知线段AB的中点P在公垂线段MN的中垂面上，直线、为平面内过MN的中点O分别平行于a、b的直线，于，于，那么，且P也为的中点。由已知MN=2，AB=4，易知得。那么问题转化为求长等于的线段的两个端点、分别在、上移动时其中点P的轨迹。现以的角平分线为x轴，O为原点建立如以下图的平面直角坐标系。18/18\n设，，那么消去m、n，得线段AB的中点P的轨迹为椭圆，其方程为。7.解(1)设椭圆C：b2(x-1)2+a2y2=a2b2(a>b>0)，由题意知2c=2,故c=1,如图9-9，从而可得右准线的方程x=a2+1,……………………………………………………………①设M(x,y)，P(x0,y0)，连PB，那么有|PA|2+|PB|2=|AB|2,∴(|PA|+|PB|)2-2|PA|·|PB|=4，由此可得(2a)2-2·2|yP|=4，即yP=±(a2-1)，………………②于是，由①②得y=±(x-2)．又∵点P(x0,y0)是圆E上的点，且不与AB重合，∴0<|y0|<1，故有0<a2-1<1,即1<a2<2……………………………………………………………③由①③得2<x<3，∴点M的轨迹是两条线段，其方程为y=±(x-2)(2<x<3)．(2)设∠ABQ=θ，∵点Q在P点左侧，∴θ∈(45o,90o)，又|AB|=2,于是，由图9-9可得|PA|=|BQ|=2cosθ,|PQ|=|AB|-2|BQ|cosθ=2-4cos2θ,∴周长L=(2-4cos2θ)+4cosθ+2．yxAPQBO当时，周长L取最大值5．此时|BQ|=1,|AQ|=，2a=|BQ|+|AQ|=1+,∴,，图9-9故所求椭圆的方程为．18/18\n8.解(1)由题意知F1(1,0)，设F2(x,y)，那么||AF1|-|AF2||=||BF1|-|BF2||=2a>0．……………………………①∵A(-1,2)，B(3,2)在已知双曲线上，且|AF1|=|BF1|=．于是(ⅰ)当|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|时，有|AF2|=|BF2|,再代入①得：F2的轨迹为直线x=1除去两个点F1(1,0),D(1,4)．(ⅱ)∵当|AF1|-|AF2|=-(|BF1|-|BF2|)时，有|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|=>4=|AB|,∴点F2的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆Q，且除去F1(1,0)，D(1,4)两点，故所求的轨迹方程为l：x=1与Q：(y≠0，y≠4)．(2)设存在直线L：y=x+m满足条件．(ⅰ)假设L过点F1或点D，∵F1、D两点既在直线l：x=1上，又在椭圆Q上，但不在F2的轨迹上，∴L与F2的轨迹只有一个公共点，不合题意．(ⅱ))假设L不过点F1和D两点，(m≠-1,m≠3)，那么L与l必有一个公共点E，且E点不在椭圆Q上，∴要使L与F2的轨迹有且只有两个公共点，那么L必与Q有且只有一个公共点．由得3x2-(10-4m)x+2m2-8m+1=0,从而，有△=(10-4m)2-12(2m2-8m+1)=-8(m2-2m-11),当△=0时，有．即存在符合条件的直线y=x+．9.解∵c+λi=(λ,a)，i-2λc=(1,-2λa),由向量平行关系得OP与AP的方程分别为λy=ax，y-a=-2λax．……………………………………①由此消去参数λ，得点P(x,y)满足方程为,……………………………………………②18/18\n∵a>0,从而，有(1)当时，方程②表示的是圆，不存在符合题意的两个定点E，F；(2)当0<时，方程②表示的是椭圆，故存在符合题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：；(3)当时，方程②表示的是椭圆，故存在符合题意的两个定点，即为椭圆的两个焦点：．10.解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为即．（II）由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为．所以为矩形外接圆的圆心．又．从而矩形外接圆的方程为．（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即．故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长．从而动圆的圆心的轨迹方程为．11.解：（1）设切点A、B坐标分别为，∴切线AP的方程为：18/18\n切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以△APB的重心G的坐标为，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：（2）方法1：因为由于P点在抛物线外，那么∴同理有∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当所以P点坐标为，那么P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.②当时，直线AF的方程：直线BF的方程：18/18\n所以P点到直线AF的距离为：同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.12.（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以证法二：设点P的坐标为记那么由证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为由椭圆第二定义得，即由，所以（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中，，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是18/18\n解法二：设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.设点Q的坐标为（），那么因此①由得②将①代入②，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是③④（Ⅲ）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是由③得，由④得所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M当时，，由，，，得解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是③④18/18\n由④得上式代入③得于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M当时，记，由知，所以13.解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l不垂直于x轴时，设方程为y=k（x－1），代入y2=4x，得k2x2－x（2k2+4）+k2=0.设l方程与抛物线相交于两点，∴k≠0.设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），根据韦达定理，有x1+x2=，从而y1+y2=k（x1+x2－2）=.设△AOB的重心为G（x，y），消去k，得x=+（y）2，那么x==+，y==，∴y2=x－.当l垂直于x轴时，A、B的坐标分别为（1，2）和（1，－2），△AOB的重心G（，0），也适合y2=x－，因此所求轨迹C的方程为y2=x－.14.解：设点，点到圆的切线的切点为，那么∴整理，得：∴动点的轨迹方程为当时，它表示直线18/18\n当时，它的方程为，表示以为圆心，为半径的圆。15.解：以的中点O为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，那么由已知可得：因为两圆的半径均为1，所以设，那么，即所以所求轨迹方程为：（或）16.解：设弦中点为M（x，y），交点为。当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线。∴①由，两式相减得又∴②由①②可得：③当点M与点P重合时，点M坐标为（1，2），适合方程③。18/18\n∴弦中点的轨迹方程为：17.由于M、N都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P的几何性质，连结DP，因为MN=2，所以PD=1，因此点P的轨迹是一个以D为球心，1为半径的球面在正方体内的局部，所以点P的轨迹与正方体的外表所围成的几何体的体积为球的体积的，即。18.解：如以下图，以所在直线为轴，以中点为原点建立直角坐标系。假设这样界限存在，如图设点为此曲线上任一点，那么由题义得：，即的轨迹为以、为焦点的双曲线的右支（在矩形内部的一段）。方程为：（在矩形内部的一段）。19.解法一设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)(x≠0)直线AB的方程为x=my+a由OM⊥AB，得m=－由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0所以y1y2=－4pa,x1x2=所以，由OA⊥OB，得x1x2=－y1y2所以18/18\n故x=my+4p,用m=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点解法二设OA的方程为，代入y2=4px得那么OB的方程为，代入y2=4px得∴AB的方程为，过定点，由OM⊥AB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外）故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点解法三设M(x,y)(x≠0)，OA的方程为，代入y2=4px得那么OB的方程为，代入y2=4px得由OM⊥AB，得M既在以OA为直径的圆……①上，又在以OB为直径的圆……②上（O点除外），①+②得x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点20.解设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切建立如以下图的坐标系，并设⊙P的半径为r,那么|PA|+|PO|=(1+r)+(15－r)=25∴点P在以A、O为焦点，长轴长25的椭圆上，其方程为18/18\n=1①同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为(x－)2+y2=1②由①、②可解得，∴r=故所求圆柱的直径为cm本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn18/18
