本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn2022届高考数学快速提升成绩题型训练——三个二次问题（二次函数、不等式、方程）1.解关于的不等式：(1)x2－(a＋1)x＋a＜0，(2)．2设集合A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且AB，试求k的取值范围．3．不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R，求实数m的取值范围．4．已知二次函数y＝x2＋px＋q，当y＜0时，有－＜x＜，解关于x的不等式qx2＋px＋1＞0．5．假设不等式的解集为，求实数p与q的值．6.设，假设，，,试证明：对于任意，有.7.（经典题型，非常值得训练）设二次函数，方程的两个根满足.当时，证明.8.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)假设方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)假设方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.9.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.10.已知实数t满足关系式(a>0且a≠1)(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；(2)假设x∈(0,2时，y有最小值8，求a和x的值.11.如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.13/13\n12.二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0,其中m>0,求证：(1)pf()<0;(2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.13.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,生产x件的本钱R=500+30x元.(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？14.已知a、b、c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1．(1)证明：|c|≤1； (2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；15.设二次函数，方程的两个根满足.且函数的图像关于直线对称，证明：.16.已知二次函数，设方程的两个实数根为和.（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；（2）如果，，求的取值范围.17.设,，,求证：(Ⅰ)a＞0且－2＜＜－1；(Ⅱ)方程在（0，1）内有两个实根.18.已知二次函数的图象如以下图：13/13\n（1）试判断及的符号；（2）假设|OA|＝|OB|，试证明。19.为何值时，关于的方程的两根：（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间。20.证明关于的不等式与，当为任意实数时，至少有一个桓成立。21.已知关于的方程两根为，试求的极值。22.假设不等式对一切x恒成立，求实数m的范围.23.设不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|a<x<β}(0<a<β),求不等式cx2+bx+a<0的解集.答案：1.解：(1)原不等式可化为：假设a＞1时，解为1＜x＜a，假设a＞1时，解为a＜x＜1，假设a=1时，解为13/13\n(2)△=．①当，△＞0．方程有二实数根：∴原不等式的解集为①当=±4时，△=0，两根为假设那么其根为－1，∴原不等式的解集为．假设那么其根为1，∴原不等式的解集为．②当－4＜时，方程无实数根．∴原不等式的解集为R．2．解：，比较因为(1)当k＞1时，3k－1＞k＋1，A={x|x≥3k－1或x}.(2)当k=1时，x.(3)当k＜1时，3k－1＜k＋1，A=.B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式，(1)当k=0时，.(2)当k＞0时，△＜0，x.(3)当k＜0时，.故：当时，由B=R，显然有A，当k＜0时，为使A，需要k，于是k时，.综上所述，k的取值范围是：13/13\n3..解：(１)当m2－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1时，①假设m＝3，原不等式解集为R②假设m＝－1，原不等式化为4x－1＜0∴原不等式解集为｛x｜x＜＝，不合题设条件.(２)假设m2－2m－3≠0，依题意有即∴－＜m＜3综上，当－＜m≤3时，不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R.4..解：由已知得x1＝－，x2＝是方程x2＋px＋q=0的根，∴－p=－＋q=－×∴p＝，q＝－，∴不等式qx2＋px＋1＞0即－x2＋x＋1＞0∴x2－x－6＜0，∴－2＜x＜3.即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为｛x｜－2＜x＜3｝.5.．解：由不等式的解集为，得2和4是方程的两个实数根，且．(如图)解得6.解：∵,∴,∴.∴当时，13/13\n当时，7.证明：由题意可知.,∴,∴当时，.又,∴,综上可知，所给问题获证.8.解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得∴.13/13\n(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组(这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)9.(1)证明：由消去y得ax2+2bx+c=0Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0∴c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点.(2)解：设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,那么x1+x2=－,x1x2=.|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－)∵的对称轴方程是.∈(－2,－)时，为减函数∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈().10..解：(1）由loga得logat－3=logty－3logta由t=ax知x=logat，代入上式得x－3=,∴logay=x2－3x+3，即y=a(x≠0).(2)令u=x2－3x+3=(x－)2+(x≠0),那么y=au13/13\n①假设0＜a＜1,要使y=au有最小值8，那么u=(x－)2+在(0，2上应有最大值，但u在(0，2上不存在最大值.②假设a>1,要使y=au有最小值8，那么u=(x－)2+,x∈(0,2应有最小值∴当x=时，umin=,ymin=由=8得a=16.∴所求a=16,x=.11.解：∵f(0)=1>0(1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.(2）当m>0时，那么解得0＜m≤1综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.12.证明：(1),由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m>0,所以，pf()＜0.(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r①当p＜0时，由(1）知f()＜0假设r>0,那么f(0)>0,又f()＜0,所以f(x)=0在(0，)内有解;假设r≤0,那么f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－)+r=>0,又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)内有解.②当p＜0时同理可证.13..解：(1）设该厂的月获利为y,依题意得y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x2+130x－500由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300∴x2－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元.13/13\n(2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－)2+1612.5∵x为正整数，∴x=32或33时，y取得最大值为1612元，∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.14.解(1)|c|＝|f(0)|≤1(因为0∈[－1，1])． 所以当－1≤x≤1时， 15.解：由题意.它的对称轴方程为由方程的两个根满足,可得且,∴，即，而13/13\n故.16.解：设，那么的二根为和.（1）由及，可得，即，即两式相加得，所以，;（2）由,可得.又，所以同号.∴，等价于或,即或解之得或.17.证明：（I）因为，所以.由条件，消去，得；由条件，消去，得，.故.13/13\n（II）抛物线的顶点坐标为，在的两边乘以，得.又因为而所以方程在区间与内分别有一实根。故方程在内有两个实根.18.解析：解此题主要是应用抛物线的几何特性（张口方向，对称轴，截距，与轴交点个数）及函数零点（方程）的有关知识，即（1）由抛物线张口方向、对称轴位置、截距及与轴交点个数，立即可得：，。（2）由方程结论19.解析：关于方程根的讨论，结合二次函数图象与轴的交点位置的充要条件即可求：即设方程两根为那么1）；（2）；13/13\n（3）；4）；（5）。20.解析：证明不等式恒成立，实质是证明对应抛物线恒在轴的上方或下方的问题，故只要求抛物线恒在轴上方或下方的充要条件即可。即由恒成立对应抛物线恒在轴下方；由恒成立对应抛物线恒在轴上方。因此,当为任意实教时，上述两充要条件至少有一个成立，命题得证。21.解析：求13/13\n的极值，即应用方程根与系数的关系和判别式，求二次函数的条件极值的问题。即为方程的两根，，又22.解析：∵x2-8x+20=(x-4)2+4>0,∴只须mx2-mx-1<0恒成立，即可：①当m=0时，-1<0,不等式成立；②当m≠0时，那么须解之：-4<m<0.由（1）、（2）得：-4<m≤0.23.分析：由题∴cx2+bx+a<0的解集是{x|x<或x>}．本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn13/13
