专题九：立体几何瓶窑中学黄向军【考点审视】高考试卷中立体几何把考察的立足点放在空间图形上,突出对空间观念和空间想象能力的考察.立体几何的根底是对点、线、面的各种位置关系的讨论和研究,进而讨论几何体。因此高考命题时，突出空间图形的特点，侧重于直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系的考察，以便审核考生立体几何的知识水平和能力。多面体和棱柱、棱锥、正多面体、球是空间直线与平面问题的延续和深化。要熟练掌握概念、性质以及它们的体积公式，同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为根本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题来解，会运用“割补法”等求解。本章主要考察平面的性质、空间两直线、直线和平面、两个平面的位置关系以及空间角和距离、面积及体积。考试要求（１）掌握平面的根本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图。能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形。能够根据图形想象它们的位置关系。（２）掌握两条直线平行与垂直的判定、性质定理。掌握两条直线所成的角和距离的概念。（3）掌握直线和平面平行、垂直的判定、性质定理。掌握直线和平面所成的角、距离的概念。了解三垂线定理及其逆定理。（4）掌握两个平面平行、垂直的判定、性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两平面间的距离的概念。11/11\n（5）会用反证法证明简单的问题。了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。（6）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。（7）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。（8）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的外表积、体积公式。【疑难点拔】1、立体几何高考命题及考察重点、难点稳定：高考始终把空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定、线面间的角与距离的计算作为考察的重点，尤其是以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，更是年年反复进展考察，在难度上也始终以中等偏难为主。2、高考直接考察线面位置关系，以多面体为载体考察线面间位置关系是今后命题的一种趋势。3、求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视。4、由于近年考题常立足于棱柱、棱锥和正方体，因此复习时应注意多面体的依托作用，熟练多面体性质的应用，才能发现隐蔽条件，利用隐含条件，到达快速准确解题的目的。5、立体几何的证明与计算的书写格式要求非常严格，因此在平时的训练中要多加注意书写的格式的严密性。6、（1995年全国文24、理23）如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AFDE，F是垂足。（1）求证：AFDB；11/11\n（1）（理）如果圆柱与三棱柱D-ABE的体积比等于3，求直线DE与平面ABCD所成的角。（文）求点E到截面ABCD的距离。评述：此题主要考察圆柱的概念，两异面直线垂直、直线与平面的垂直、圆柱及棱锥的体积、直线与平面所成的角。主要考察空间想象能力和逻辑推理能力。分析此题考生答题失误大致有如下几点：（1）缺乏清晰的空间形体观念，抓不住“DA、AE、EB三线两两垂直”这个本质关系，解答过程中方向不明，层次不清，逻辑混乱现象均可能发生。（2）未能找到DE与平面ABCD所成的角（3）未能正确和准确地进展推理计算，随意列写各种关系，盲目换算。（4）数值计算出现过失。专题九：立体几何瓶窑中学黄向军【经典题例】例1：在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点。将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成的度数为（）A90B60C45D0[思路分析]将三角形折成三棱锥以后，HG与IJ为一对异面直线。过点D分别作HG与IJ的平行线，即DF与AD。所以ADF即为所求。故HG与IJ所成角为6011/11\n[简要评述]此题通过对折叠问题处理考察空间直线与直线的位置关系，在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考察了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象能力深化的标志，是高考从深层上考察空间想象能力的主要方向。例2：正六棱柱ABCDEF--ABCDEF的底面边长为1，侧棱长为，那么这个棱柱的侧面对角线ED与BC所成的角是（）A90B60C45D30[思路分析]连接FE、FD，那么由正六棱柱相关性质得FE//BC。在中，EF=ED=1，，。在直角三角形EFE和EED中，易得EF=ED=。是等边三角形。。即BC与DE所成的角为60。[简要评述]此题主要考察正六棱柱的性质及异面直线所成的角的求法。例3：如图，在底面边长为2的正三棱锥V—ABC中，E是BC的中点，假设的面积是，那么侧棱VA与底面所成的角的大小为：____________（结果用反三角函数值表示）。[思路分析]11/11\n作VO垂直AE，由正三棱锥V—ABC得O为中心。那么AE=2=，得VO=tanVAO=，得VA与底面所成的角的大小为arctanVABCE[简要评述]此题主要考察正三棱柱的性质及直线与平面所成的角的作法与求法。PABCDO例4：假设正三棱锥底面边长为4，体积为1，那么侧面和底面所成二面角的大小为：_________（结果用反三角函数值表示）[思路分析]设棱锥的高为h，如图那么V=，D为BC的中点，OD=易证为侧面与底面所成二面角的平面角，，故。[简要评述]此题主要考察三棱锥中的根本数量关系，考察二面角的概念及计算。例5：关于直角AOB在定平面内的射影有如下判断：（1）可能是0的角；（2）可能是锐角；（3）可能是直角；（4）可能是钝角；（5）可能是180的角。其中正确判断的序号是：（注：把你认为是正确判断的序号都填上）。[思路分析]11/11\n答案：1、2、3、4、5。[简要评述]这是考核空间想象能力的问题。例6：如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=。（1）求证BC（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小。SABCDS（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。DCBA[思路分析]此题涉及到求二面角及异面直线所成角的问题，因此要先作出（找出）二面角的平面角及异面直线所成角，再求解。[简要评述]此题主要考察直线与平面的位置关系等根本知识，考察空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。例7：已知正四棱柱ABCD--ABCD，如图，AB=1，AA=2，点E为CC的中点。ABCDEFA1B1C1D1ABCDEA1B1C1D1F（1）证明：EF为BD与CC的公垂线；（2）求点D到面BDE的距离。[思路分析]11/11\n证明公垂线问题与求点到面的距离采用建立适当的空间坐标系，利用空间向量来证明及求解比较适合。[简要评述]此题主要考察正四棱柱的性质及运用空间向量解决问题的能力。SACB例8：在三棱锥S—ABC中，，且AC=BC=5，SB=5，如图。证明：SCBC；（1）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（2）求三棱锥的体积V。[思路分析]由题意可以得是二面角的平面角，故在Rt与Rt可求得。又由Rt可求得SA=，故可得V。[简要评述]此题主要考察空间想象能力、灵活运用所学知识解决问题的能力。【热身冲刺】一、选择题：1．一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，那么该圆锥的母线与底面所成的角为（）（A）30（B）45（C）60（D）7511/11\n2．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（）（A）（B）（C）（D）3．等边三角形ABC的边长为4，M、N分别为AB、AC的中点，沿MN将折起，使得面AMN与面MNCB所成的二面角为30，那么四棱锥A—MNCB的体积为（）（A）（B）（C）（D）34．假设二面角为120，直线m,那么所在平面内的直线与m所成角的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）5．关于直线a、b、及平面M、N，以下命题中正确的选项是（）（A）假设a//M,b//M,那么a//b（B）假设a//M,ba,那么bM（C）假设a且那么（D）假设那么6．棱长为a的正方体中，连接相邻的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（）（A）（B）（C）（D）7．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，那么此球的外表积为（）（A）3（B）4（C）（D）611/11\n8．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A）2（B）（C）（D）9．在以下条件中，可判断平面与平行的是（）（A）都垂直于平面（B）内存在不共线的三点到的距离相等（C）、m是内两条直线，且//（D）、是两条异面直线，且10．在正三棱柱ABC—ABC中，假设AB=BB，那么AB与CB所成的角的大小为（A）60（B）90（C）105（D）75二、填空题：11．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形。要使它们的面积之和最小，正方形的周长应为：________________________12．已知某球体的体积与其外表积的数值相等，那么此球体的半径为：_________________13．在正四棱锥P—ABCD中，假设侧面与底面所成二面角的大小为60，那么异面直线PA与BC所成角的大小为：_____________________（用反三角函数值表示）14．把半径为3cm,中心角为的扇形卷成一个圆锥形容器，这个容器的容积为：_________________三、解答题：11/11\n15．已知三棱柱ABC—ABC，如以下图中底面边长和侧棱长均为a,侧面AACC底面ABC，AB=。ABCA1B1C1（1）求异面直线AC与BC所成角的余弦值；（2）求证：AB面ABCCBA16．如图，点P为斜三棱柱ABC—ABC的侧棱BB上一点，PMBB交AA于点M；PNBB交CC于点N。MPA1NC1B1（1）求证：CCMN（2）在任意三角形DEF中有余弦定理DE。拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角的关系式，并予以证明。ABCDEA1B1D1C117．如图ABCD—是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。（1）求三棱锥D—DBC的体积；（2）证明BD//平面CDE（3）求面CDE与面CDE所成二面角的正切值。11/11\n18．如图，正三棱柱ABC--中，D是BC的中点，AB=a.ABCC1B1A1O（1）求证：（2）求点D到平面ACC的距离；（3）判断AB与平面ADC的位置关系，并证明你的结论PCDAB19．如图四棱锥P---ABCD的底面是边长为a的正方形，PB面ABCD。（1）假设面PAD与面ABCD所成的二面角为60，求这个四棱锥的体积；（2）证明：无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于9020．在棱长为a的正方体OABC--中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF。（1）求证：；（2）当三棱锥B—BEF的体积取得最大值时，求二面角B-EF-B的大小。11/11
