第六章立体几何初步§6.1两条直线之间的位置关系一、知识导学1.平面的根本性质.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.2.空间两条直线的位置关系，包括：相交、平行、异面.3.公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.定理4：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.4.异面直线.异面直线所成的角；两条异面直线互相垂直的概念；异面直线的公垂线及距离.5.反证法.会用反证法证明一些简单的问题.二、疑难知识导析1．异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点.强调任何一个平面.2．异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.3．异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交，4．异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是找到它们的公垂线.5．异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法：如图，如果b,A且A,a,那么a与b异面.三、经典例题导讲[例1]在正方体ABCD-ABCD中,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD、DC的中点，那么直线OM().A.是AC和MN的公垂线.B.垂直于AC但不垂直于MN.C.垂直于MN，但不垂直于AC.D.与AC、MN都不垂直.29/29\n错解:B.错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.正解：A.[例2]如图，已知在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，G,H分别是BC,CD上的点,且,求证:直线EG,FH,AC相交于一点.错解：证明：、F分别是AB,AD的中点,∥BD,EF=BD,又,GH∥BD,GH=BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,,F分别是AD.AC与FH交于一点.直线EG,FH,AC相交于一点正解：证明：、F分别是AB,AD的中点,∥BD,EF=BD,又,GH∥BD,GH=BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,平面ABC,FH平面ACD,T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,,直线EG,FH,AC相交于一点T.29/29\n[例3]判断：假设a,b是两条异面直线，P为空间任意一点，那么过P点有且仅有一个平面与a,b都平行.错解：认为正确.错因：空间想像力不够.忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行.正解：假命题．[例4]如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线（在同一条直线上）． 分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线． 证明∵AB//CD，AB，CD确定一个平面β． 又∵AB∩α＝E，ABβ，Eα，Eβ， 即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线． 点 评：在立体几何的问题中，证明假设干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．[例5]如图，已知平面α，β，且α∩β＝．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，共点（相交于一点）． 29/29\n分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在上，而是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC， ∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰． ∴AB，CD必定相交于一点， 设AB∩CD＝M． 又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β． ∴M∈α∩β． 又∵α∩β＝，∴M∈， 即AB，CD，共点． 点 评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．[例6]已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面． 分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此根底上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．证明1º假设当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点 A ∴直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，那么A，E，F，G∈α．∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．同理可证bα，cα．∴a，b，c，d在同一平面α内．2º当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵这四条直线两两相交，29/29\n那么设相交直线a，b确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，那么H，K∈α．又∵H，K∈c，∴cα．同理可证dα．∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．点 评：证明假设干条线(或假设干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的局部线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．此题最容易无视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．[例7]在立方体ABCD－A1B1C1D1中， （1）找出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影； （2）直线BD1和直线AC的位置关系如何？ （3）直线BD1和直线AC所成的角是多少度？解：(1)连结BD,交AC于点O.(2)BD1和AC是异面直线.(3)过O作BD1的平行线交DD1于点M，连结MA、MC，那么∠MOA或其补角即为异面直线AC和BD1所成的角.不难得到MA＝MC，而O为AC的中点，因此MO⊥AC，即∠MOA＝90°，∴异面直线BD1与AC所成的角为90°.[例8]已知：在直角三角形ABC中，A为直角，PA⊥平面ABC，BD⊥PC，垂足为D，求证：AD⊥PC29/29\n证明：∵ PA⊥平面ABC∴ PA⊥BA 又∵ BA⊥AC∴ BA⊥平面PAC ∴ AD是BD在平面PAC内的射影 又∵ BD⊥PC∴ AD⊥PC.（三垂线定理的逆定理）四、典型习题导练1．如图,P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC后，在包括AB、BC、CA的六条棱所在的直线中，异面直线的对数为()A.2对B.3对C.4对D.6对2.两个正方形ABCD、ABEF所在的平面互相垂直，那么异面直线AC和BF所成角的大小为 ．3.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，体对角线DB1与面对角线BC1所成的角是，它们的距离是.4.长方体中，那么所成角的大小为____.5.关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是_____.（注：把你认为正确的序号都填上）.6．在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AH⊥平面BCD，求证：BH⊥CD7．如图正四面体中，D、E是棱PC上不重合的两点；F、H分别是棱PA、PB上的点，且与P点不重合．29/29\n求证：EF和DH是异面直线．§6.2直线与平面之间的位置关系一、知识导学1.掌握空间直线与平面的三种位置关系（直线在平面内、相交、平行）.2.直线和平面所成的角，当直线与平面平行或在平面内时所成的角是，当直线与平面垂直时所成的角是9，当直线与平面斜交时所成的角是直线与它在平面内的射影所成的锐角.3.掌握直线与平面平行判定定理（如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和平面平行）和性质定理（如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行）.4.直线与平面垂直的定义是：如果一条直线和一个平面内所有直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直；掌握直线与平面垂直的判定定理（如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面）和性质定理（如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行）.5.直线与平面的距离（一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离）.6.三垂线定理（在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直）、逆定理（在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直）.7.从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；③垂线段比任何一条斜线段都短.二、疑难知识导析1.斜线与平面所成的角关键在于找射影，斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角.2.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行判定定理和性质定理的反复运用.3.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直判定定理和性质定理的反复运用，同时还要注意三垂线定理及其逆定理的运用.要注意线面垂直的判定定理中的“两条相交直线”，如果用“无数”或“两条”都是错误的.4.直线与平面的距离一般是利用直线上某一点到平面的距离.“如果在平面的同一侧有两点到平面的距离（大于0）相等，那么经过这两点的直线与这个平面平行.”要注意“同一侧”、“距离相等”.三、经典例题导讲29/29\n[例1]已知平面∥平面，直线平面,点P直线,平面、间的距离为8，那么在内到点P的距离为10，且到的距离为9的点的轨迹是（）A.一个圆B.四个点C.两条直线D.两个点错解：A.错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系掌握不牢.正解：B.[例2]a和b为异面直线，那么过a与b垂直的平面().A．有且只有一个B．一个面或无数个C．可能不存在D．可能有无数个错解：A.错因：过a与b垂直的平面条件不清.正解：C.[例3]由平面外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为A,B,C，O为⊿ABC的外心，求证：.错解：因为O为⊿ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因为PA＝PB＝PC，PO公用，所以⊿POA，⊿POB，⊿POC都全等，所以POA＝POB＝POC＝，所以.错因：上述解法中POA＝POB＝POC＝RT，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明.正解：取BC的中点D，连PD、OD，[例4]如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA129/29\n的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为，设这条最短路线与C1C的交点为N,求:（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）PC和NC的长；（3）平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）错因：（1）不知道利用侧面BCC1B1展开图求解,不会找的线段在哪里;(2)不会找二面角的平面角.正解：(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为(2)如图，将侧面BC1旋转使其与侧面AC1在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，那么MP1就是由点P沿棱柱侧面经过CC1到点M的最短路线.设PC＝，那么P1C＝，在(3)连接PP1（如图），那么PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH于H，又CC1平面ABC，连结CH，由三垂线定理的逆定理得，.29/29\n[例5]P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ． 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．证明：如以下图，连结AC，交BD于点O，∵四边形ABCD是平行四边形.∴AO=CO，连结OQ，那么OQ在平面BDQ内，且OQ是的中位线，∴PC∥OQ．∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ．点 评：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行.[例6]在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，O是底面ABCD的中点．求证：EF垂直平面BB1O．证明 ：如图,连接AC、BD，那么O为AC和BD的交点．∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC．∵B1B⊥平面ABCD,AC平面ABCD∴AC⊥B1B，由正方形ABCD知：AC⊥BO，又BO与BB1是平面BB1O上的两条相交直线，∴AC⊥平面BB1O(线面垂直判定定理)∵AC∥EF，∴EF⊥平面BB1O．[例7]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE平面ACD1．分析：此题考察的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明OE平面ACD1，只要在平面ACD1内找两条相交直线与OE垂直．29/29\n证明：连结B1D、A!D、BD，在△B1BD中， ∵E,O分别是B1B和DB的中点， ∴EO∥B1D． ∵B1A1面AA1D1D， ∴DA1为DB1在面AA1D1D内的射影． 又∵AD1A1D， ∴AD1DB1． 同理可证B1DD1C． 又∵AD1，AD1,D1C面ACD1， ∴B1D平面ACD1． ∵B1D∥OE， ∴OE平面ACD1． 点 评：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用．[例8]．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN,求证:MN∥平面AA1B1B.证明：证法一.如图,作ME∥BC,交BB1于E,作NF∥AD,交AB于F,连EF那么EF平面AA1B1B.ME=NF又ME∥BC∥AD∥NF,MEFN为平行四边形,MN∥EF.MN∥平面AA1B1B.证法二.如图,连接并延长CN交BA延长线于点P,连B1P,那么B1P平面AA1B1B.∽,又CM=DN,B1C=BD,29/29\n∥B1P.B1P平面AA1B1B,MN∥平面AA1B1B.证法三.如图,作MP∥BB1,交BC于点P,连NP.MP∥BB1,BD=B1C,DN=CM,NP∥CD∥AB.面MNP∥面AA1B1B.MN∥平面AA1B1B. 四、典型习题导练1．设a，b是空间两条垂直的直线，且b∥平面．那么在“a∥平面”、“a”、“a与相交”这三种情况中，能够出现的情况有（ ）． A．0个 B．1 C．2个 D．3个2．一个面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形仅有一条对角线与这个截面平行，那么此四个交点围成的四边形是（ ）． A．梯形 B．任意四边形 C．平行四边形 D．菱形3．假设一直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段的位置关系是（ ）． A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交或异面4．空间四边形的边AB、BC、CD、DA的中点分别是E、F、G、H，假设两条对角线BD、AC的长分别为2和4，那么EG2+HF2的值（ ）．A．5 B．10 C．20 D．405．点P、Q、R、S分别是空间四边形ABCD四边的中点，那么：当AC时，四边形PQRS是______形；当AC=BD时，四边形PQRS是____形．6．已知两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，M、N分别在它们的对角线AC，BF上，且CM=BN，求证：MN∥平面BCE．7.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且29/29\n(1)证明C1C;(2)当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明.§6.3平面与平面之间的位置关系一、根底知识导学1．空间两个平面的位置关系（有交点的是相交；没交点的是平行）.2．理解并掌握空间两个平面平行的定义；掌握空间两个平面平行判定定理（如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行）和性质定理（如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行）.3．理解并掌握空间两个平面垂直的定义（一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直）；判定定理（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直）和性质定理（如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面）.4．二面角的有关概念（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角）与运算；二面角的平面角（以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角），二面角的平面角的常见作法(定义法、三垂线定理及逆定理法、垂面法等).二、疑难知识导析1．两个平面的位置关系关系的判定关键看有没有公共点.2．面面平行也是推导线面平行的重要手段；还要注意平行与垂直的相互联系，如：如果两个平面都垂直于同一条直线，那么这两个平面平行；如果两条直线都垂直于一个平面，那么这两条直线平行等.在证明平行时注意线线平行、线面平行及面面平行的判定定理和性质定理的反复运用.3．对于命题“三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线互相平行或者相交于同一点.”要会证明.29/29\n4.在证明垂直时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定定理和性质定理的反复运用.5．注意二面角的范围是，找二面角的平面角时要注意与棱的垂直直线，这往往是二面角的平面角的关键所在.求二面角的大小还有公式,用的时候要进展交代.在二面角棱没有给出的情况下求二面角大小方法一：补充棱；方法二：利用“如果”；方法三：公式等，求二面角中解三角形时注意垂直（直角）、数据在不同的面上转换.三、经典例题导讲[例1]一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α，β，那么α+β满足（）.A.α+β<900B.α+β≤900C.α+β>900D.α+β≥900错解:A.错因：无视直线与二面角棱垂直的情况.正解：B.[例2].如图，△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（）.A．90° B．60° C．50° D．45°错解:A.正解：C[例3]已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成角的截面面积是_____.29/29\n错解：.用面积射影公式求解：S底=S截=.错因：没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形.正解：.[例4]点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点．沿对角线把正方形折成直二面角D－AC－B．（1）求的大小；（2）求二面角的大小．错解:不能认识折叠后变量与不变量.不会找二面角的平面角.正解：（1）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，那么，．CDMHGOFABEGHMABCDEFO因为二面角D－AC－B为直二面角，又在中，，．．（2）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM．29/29\n∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF．∴就是二面角的平面角．在RtEGM中，，，，∴．∴．所以，二面角的大小为[例5]如图，平面α∥平面β∥平面γ，且β在α、γ之间，假设α和β的距离是5，β和γ的距离是3，直线和α、β、γ分别交于A、B、C，AC＝12，那么AB＝，BC＝.解:作′⊥α，∵ α∥β∥γ，∴ ′与β、γ也垂直，′与α、β、γ分别交于A1、B1、C1.因此，A1B1是α与β平面间的距离，B1C1是β与γ平面间的距离，A1C1是α与γ之间的距离. ∴ A1B1＝5，B1C1＝3，A1C1＝8，又知AC＝12AB=，，BC=.答：AB=，BC＝.[例6]如图，线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β29/29\n于F、E两点，假设PA＝9，AB＝12，BQ＝12，△ACF的面积为72，求△BDE的面积.解：∵平面QAF∩α＝AF，平面QAF∩β＝BE又∵α∥β，∴ AF∥BE同理可证：AC∥BD.∴∠FAC与∠EBD相等成互补由FA∥BE，得：BE：AF＝QB：QA＝12：24＝1：2，∴BE= 由BD∥AC，得：AC：BD＝PA：PB＝9：21＝3：7，∴BD= 又∵△ACF的面积为72，即＝72S==,答：△BDE的面积为84平方单位.[例7]如图，B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心.（1）求证：平面MNG∥平面ACD（2）求S：S解:（1）连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H∵ M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，那么有：连结PF、FH、PH有MN∥PF又PF平面ACD∴ MN∥平面ACD同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M∴ 平面MNG∥平面ACD.（2）由（1）可知：∴MG=，又PH=29/29\n∴MG= ，同理：NG=，∴ △MNG∽△ACD，其相似比为1：3∴S：S= 1：9[例8]如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.(1)求证：EFGH是矩形.(2)求当点E在什么位置时，EFGH的面积最大.(1)证明：∵CD∥面EFGH,而面EFGH∩面BCD＝EF.∴CD∥EF同理HG∥CD.∴EF∥HG同理HE∥GF.∴四边形EFGH为平行四边形由CD∥EF，HE∥AB∴∠HEF为CD和AB所成的角或其补角，又∵CD⊥AB.∴HE⊥EF.∴四边形EFGH为矩形.(2)解：由(1)可知在△BCD中EF∥CD，其中DE＝m，EB＝n∴由HE∥AB∴又∵四边形EFGH为矩形∴S矩形EFGH＝HE·EF＝·b·a＝ab∵m＋n≥2，∴（m＋n）2≥４mn∴≤，当且仅当m＝n时取等号，即E为BD的中点时,S矩形EFGH=ab≤ab，矩形EFGH的面积最大为ab.点评：求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等.四、典型习题导练29/29\n1.山坡面α与水平面成30°的角，坡面上有一条公路AB与坡角线BC成45°的角，沿公路向上去1公里时，路基升高_____米．2.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，且PA=AB，那么平面ABP与平面CDP所成二面角(小于或等于90°)的度数是_____．3.在60°二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段．已知：AB＝4cm，AC=6cm，BD＝8cm，求CD长．4.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°. 求证：平面ABC⊥平面BSC. 5.已知：如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E－BD－C的度数.§6.4空间角和距离一、知识导学1.掌握两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角，掌握上述三类空间角的作法及运算.2．掌握给出公垂线的两条异面直线的距离、点到直线（或平面）的距离、直线与平面的距离及两平行平面间距离的求法.二、疑难知识导析1．求空间角的大小时，一般将其转化为平面上的角来求，具体地将其转化为某三角形的一个内角.2．求二面角大小时，关键是找二面角的平面角，可充分利用定义法或垂面法等.29/29\n3．空间距离的计算一般将其转化为两点间的距离.求点到平面距离时，可先找出点在平面内的射影（可用两个平面垂直的性质），也可用等体积转换法求之.另外要注意垂直的作用.球心到截面圆心的距离由勾股定理得4．球面上两点间的距离是指经过这两点的球的大圆的劣弧的长，关键在于画出经过两点的大圆以及小圆.5．要注意距离和角在空间求值中的相互作用，以及在求面积和体积中的作用.三、经典例题导讲[例1] 平面外有两点A,B，它们与平面的距离分别为a,b，线段AB上有一点P，且AP:PB=m:n，那么点P到平面的距离为_________________.错解：.错因：只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况.正解：.[例2]与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有______个.错解：4个.错因：只分1个点与3个点在平面两侧.没有考虑2个点与2个点在平面两侧.正解：7个.[例3]一个盛满水的三棱锥形容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，假设仍用这个容器盛水，那么最多可盛原来水的（）A. B. C. D.错解：A、B、C.由过D或E作面ABC的平行面，所截体计算而得.正解：D.当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多29/29\n最多可盛原来水得1－[例4]斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB、AC都成450角，求这个三棱柱的侧面积.错解：一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，即“过BC作平面与AA1垂直于M”；三是由条件“∠A1AB=∠A1AC∠AA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分线”不给出论证.正解：过点B作BM⊥AA1于M，连结CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=450，MA为公共边，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=900，∴AA1⊥面BHC，即平面BMC为直截面，又BM=CM=ABsin450=a，∴BMC周长为2xa+a=(1+)a，且棱长为b，∴S侧=(1+)ab[例5]已知CA⊥平面α，垂足为A；ABα，BD⊥AB，且BD与α成30°角；AC=BD=b，AB=a.求C，D两点间的距离.解 :此题应分两种情况讨论：（1）如下左图.C，D在α同侧：过D作DF⊥α，垂足为F.连BF，那么于是.根据三垂线定理BD⊥AB得BF⊥AB.29/29\n在Rt△ABF中，AF=过D作DEAC于E，那么DE=AF，AE=DF=.所以EC=AC-AE=b-=.故CD=(2)如上右图.C，D在α两侧时：同法可求得CD=点 评:此题是通过把已知量与未知量归结到一个直角三角形中，应用勾股定理来求解.[例6]如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，.（1）试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；（2）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于.并证明你的结论.解：解法一（1）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点，,连结OG，因为PC∥平面，平面∩平面APC＝OG,故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，故∠AGO是AP与平面所成的角.29/29\n在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.所以，当m＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为.（2）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为D1O1⊥A1C1,且D1O1⊥A1A，所以D1O1⊥平面ACC1A1，又AP平面ACC1A1，故D1O1⊥AP.那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。解法二：(1)建立如以下图的空间直角坐标系，那么A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)所以又由知，为平面的一个法向量。设AP与平面所成的角为，那么。依题意有解得。故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为。（2）假设在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为，那么Q(x，1－，1)，。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1Q⊥AP29/29\n即Q为A1C1的中点时，满足题设要求。[例7]在梯形ABCD中，∠ADC=90°，AB∥DC，AB=1，DC=2，，P为平面ABCD外一点，PAD是正三角形，且PA⊥AB，求：（1）平面PBC和平面PAD所成二面角的大小；（2）D点到平面PBC的距离．解:（1）设AD∩BC=E，可知PE是平面PBC和平面PAD的交线，依题设条件得PA=AD=AE，那么∠EPD=90°，PD⊥PE又PA⊥AB，DA⊥AB，故AB⊥平面PAD．∵DC∥AB，∴DC⊥平面PAD．由PE⊥PC得PE⊥PD，∠DPC是平面PBC与平面PAD所成二面角的平面角．，DC=2，tan，．（2）由于PE⊥PD，PE⊥PC，故PE⊥平面PDC，因此平面PDC⊥平面PBC，作DH⊥PC，H是垂足，那么DH是D到平面PBC的距离．在Rt△PDC中，，DC=2，，．平面PBC与平面PAD成二面角的大小为arctan，D到平面PBC的距离为.[例8]半径为1的球面上有A、B、C三点，A与B和A与C的球面距离都是，B与C的球面距离是，求过A、B、C三点的截面到球心O距离．分析 ：转化为以球心O为顶点，△ABC为底面的三棱锥问题解决．由题设知△OBC是边长为1的正三角形，△AOB和△AOC是腰长为1的全等的等腰三角形．取BC中点D，连AD、OD，易得BC⊥面AOD，进而得面AOD⊥面ABC，过O作OH⊥AD于H，那么OH⊥面ABC，OH的长即为29/29\n所求，在Rt中,AD=,故在Rt,OH=点评：此题假设注意到H是△ABC的外心，可通过解△ABC和△AHO得OH．或利用体积法．四、典型习题导练1．在平面角为600的二面角内有一点P，P到α、β的距离分别为PC=2cm，PD=3cm，那么P到棱的距离为____________.2．异面直线a,b所成的角为，过空间一定点P，作直线，使与a,b所成的角均为，这样的直线有条.3．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AD的中点，那么点A1到平面EFB1D1的距离为4.二面角－－内一点P，分别作两个面的垂线PA、PB，A、B为垂足．已知PA=3，PB=2，∠APB=60°求－－的大小及P到的距离．5.ABCD是边长为4的正方形，CG⊥面ABCD，CG=2．E、F分别是AD、AB的中点．求点B到面EFG的距离．6.如图：二面角α--β为锐角，P为二面角内一点，P到α的距离为，到面β的距离为4，到棱的距离为，求二面角α--β的大小.7.如图，已知三棱柱A1B1C1-ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F.(1)求点A到平面B1BCC1的距离；(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等.§6.5空间几何体及投影一、知识导学29/29\n1.了解投影（投影线通过物体，向选定的面透射，并在该面上得到图形的方法）、中心投影（投射线交于一点的投影称为中心投影）、平行投影（投影线互相平行的投影称为平行投影）、斜投影（平行投影投射方向不是正对着投影面的投影）、正投影（平行投影投射方向正对着投影面的投影）的概念.2.了解三视图的有关概念（视图是指将物体按正投影向投影面投 射所得到的图形.光线自物体的前面向后面投射所得的投影称之为主视图或正视图，自上而下的称为俯视图，自左向右的称为左视图，用这三种视图刻画空间物体的构造，称之为三视图）;了解三视图画法规那么，能作出物体的三视图.3.注意投影和射影的关系，以及在解题中的作用.二、疑难知识导析1．三视图间根本投影关系的三条规律：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，俯视图与左视图宽相等.概括为“长对正，高平齐，宽相等”；看不见的画虚线.2．主视图的上、下、左、右对应物体的上、下、左、右；俯视图的上、下、左、右对应物体的后、前、左、右；左视图的上、下、左、右对应物体的上、下、后、前.三、经典例题导讲[例1]如图，该物体的俯视图是（ ）.错解：B.错因：投影方向不对.正解：C.[例2]如以下图的正方体中，E、F分别是AA1,D1C1的中点，G是正方形BDB1D1的中心，那么空间四边形AGEF在该正方体面上的投影不可能是（）ABCD错解：C.正解：D29/29\n[例3]水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正△A1B1C1，那么△ABC是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形错解：B.错因：不熟悉斜二侧画法的规那么.正解:C.[例4]正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的外表积是（）.A.B.C.D.错解：A.错因：对正方体和球的关系理解不清.正解:B.正方体的对角线就是球的直径.[例5]如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两局部，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的外表积分别是S1，S2，那么必有（）A.S1<S2 B.S1>S2 C.S1=S2 D.S1，S2的大小关系不能确定解：连OA、OB、OC、OD那么VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFDVA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，应选C29/29\n[例6]正三棱台A1B1C1-ABC的侧面与底面成45°角，求侧棱与底面所成角的正切值.解：解法一 如图，设O1，O为上下底面正三角形的中心，连接O1O，A1O1交A1B1于D1，AO交AB于D.连接D1D.易证A1O1⊥B1C1，AD⊥BC，D1D⊥BC，过A1，D1分别作A1E⊥底面ABC，D1F⊥底面ABC，易证E、F在AD上.因为正三棱台A1B1C1-ABC的侧面与底面成45°的二面角，所以∠D1DA=45°.因此A1E=O1O=D1F=FD.设该正三棱台上下底面的边长为a,b,那么AD=b,A1D1=a.所以 A1E=O1O=D1F=FD=b-=(b-a).AE=(b-a).所以 tan∠A1AE=.解法二 如图，延长AA1，BB1，CC1，那么AA1，BB1，CC1相交于一点S.显然点S在DD1的延长线上.由解法一得知，∠SDA为二面角S-BC-A的平面角，故∠SDA=45°.所以 在RtΔSOD中，SO=OD，因为 AO=2·OD，所以 tan∠SAO=.点评:由此例可以看出，在解决棱台的问题时，“还台为锥”利用棱锥的性质来解决棱台问题是一种快捷方便的方法.[例7]粉碎机的下料斗是正四棱台形，如以下图，它的两底面边长分别是80mm和440mm，高是200mm，计算：（1）这个下料斗的体积；（2）制造这样一个下料斗所需铁板的面积（保存两个有效数字）？29/29\n分析：要求下料斗所需铁板的面积，就是求正四棱台的侧面积.正四棱台的侧面积公式是S侧＝（c＋c＇）h＇.解：（1）因为S上＝4402mm2，S下＝802mm2，h＝200mm（2）下底面周长c＇＝4×80＝320mm，下底面周长c＝4×440＝1760mm，斜高h＇＝S正棱台侧＝（c＋c＇）h＇＝（1760＋320）×269≈2.8×105（mm2）答：这个下料斗的体积约为1.6×107mm3，制造这样一个下料斗需铁板约2.8×105mm2.点评：对于实际问题，须分清是求几何体的外表积，还是求侧面积，还是求侧面积与一个底面面积的和，还是求体积.四、典型习题导练1．一个直立在水平面上圆柱体的主视图、俯视图、左视图分为（ ）A．长方形、圆、矩形B．矩形、长方形、圆C．圆、长方形、矩形D．长方形、矩形、圆2．直角三角形绕它最长边（即斜边）旋转一周得到的几何体为（ ）3.以下平面图中不能围成立方体的是（ ）.4．从七边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把七边形分成_____个三角形．5.在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的外表积.29/29
