专题1.4极值点偏移第二招--含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.★例1.已知函数有两个不同的零点，求证：.不妨设，记，则，因此只要证明：，再次换元令，即证构造新函数，求导，得在上递增，所以，因此原不等式获证.★例2.已知函数，为常数，若函数有两个零点，证明：14\n法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数：不妨设，∵，∴，∴，欲证明，即证.∵，∴即证，∴原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略.法三：直接换元构造新函数：设，则，反解出：，故，转化成法二，下同，略.★例3.已知是函数的两个零点，且.14\n（1）求证：；（2）求证：.(2)要证：，即证：，等价于，也即，等价于，令等价于，也等价于，等价于即证：令，则，又令，得，∴在单调递减，，从而，在单调递减，∴，即证原不等式成立.14\n【点评】从消元的角度，消掉参数，得到一个关于的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.★例4.已知函数，若存在，使，求证：.再证：.∵，而，∴.证毕.【招式演练】14\n★设函数的图像与轴交于两点，（1）证明：；（2）求证：.（2）证明：由，易知且，从而，令，则，由于，下面只要证明：，结合对数函数的图像可知，只需证：两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可，又因为，即证：，令，则，14\n∴在上单调递减，∴，∴原不等式成立.★设函数，其图像在点处切线的斜率为.当时，令，设是方程的两个根，是的等差中项，求证：(为函数的导函数）.★设函数，函数为的导函数，且是的图像上不同的两点，满足，线段中点的横坐标为，证明：【解析】∵，又依题意，得在定义域上单调递增，所以要证，只需证，14\n即……不妨设，注意到，由函数单调性知，有，构造函数，则，当时，，即单调递减，当时，，从而不等式式成立，故原不等式成立.★已知函数.（1）若，求函数在上的零点个数；（2）若有两零点（），求证：.【点评】1.方程的变形方向：①是函数的两个零点，1是该函数的极值点.②是函数的两个零点，是该函数的极值点.2.难点的证明依赖利用放缩.14\n★已知函数.（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）设，证明：当时，；（Ⅲ）设x1,x2是的两个零点，证明f'(x1+x22)>0.【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）当时，f(a+x)<f(a−x)；（Ⅲ）证明过程见解析（Ⅱ）令，则.求导数，得，当时，，在上是减函数.而，，故当时，（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当时，函数至多有一个零点，故，从而的最小值为，且，不妨设，则，，由（Ⅱ）得，14\n从而，于是，由（Ⅰ）知，.点晴:本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小，函数的零点问题：在（Ⅰ）中通过求导，并判断导数的符号，分别讨论的取值，确定函数的单调区间．（Ⅱ）通过构造函数，把不等式证明问题转化为函数求最值问题，求函数当时的最大值小于零即可．（Ⅲ）要充分利用（Ⅰ）（Ⅱ）问的结论.★已知函数（）.（Ⅰ）若，求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若函数，对于曲线上的两个不同的点，，记直线的斜率为，若，证明：.【答案】（1）（2）见解析14\n由题设得.又，∴.不妨设，，则，则.令，则，所以在上单调递增，所以，14\n故.又因为，因此，即.又由知在上单调递减，所以，即.★已知函数，．（Ⅰ）求过点且与曲线相切的直线方程；（Ⅱ）设，其中为非零实数，有两个极值点，且，求的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：．【答案】（1）（2）见解析14\n∴，解得∴切线的斜率为，∴切线方程为（Ⅱ），当时，即时，，在上单调递增；当时，由得，，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，由得，，在上单调递减，在上单调递增．当时，有两个极值点，即，，即的范围是点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数14\n.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.★已知函数.（1）证明：当时，；（2）若函数有两个零点，（，），证明：.【答案】（1）详见解析（2）详见解析试题解析：（1）欲证证，，在上递增，（2），，14\n令，易知在递减，，，，，，，，，，，，，要合题意，如图，，，右大于左，原题得证14
