专题2.4极值计算先判断单调原则不能撼【题型综述】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）求函数极值的方法：①确定函数的定义域．②求导函数．③求方程的根．④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围．【典例指引】例1．已知函数其中⑴当时，求曲线处的切线的斜率；⑵当时，求函数的单调区间与极值.17\n②＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗例2．已知函数的图象在处的切线过点，.（1）若，求函数的极值点；（2）设是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）【思路引导】（1）求导，则.又，曲线在处的切线过点利用斜率相等，可得.，又，可得，则，可得函数的极值点.17\n（2）由题是方程的两个根，则，，由，可得，，∴是函数的极大值，是函数的极小值，∴要证，只需，计算整理可得，令，则，设，利用导数讨论函数的性质即可得证.（2）∵是方程的两个根，∴，，∵，∴，，∴是函数的极大值，是函数的极小值，∴要证，只需，，令，则，设，则，函数在上单调递减，∴，∴17\n例3．已知函数在处有极值10.（1）求实数的值；（2）设，讨论函数在区间上的单调性.【思路引导】（1）根据题意得到关于m的方程组，解方程组求得即可；（2）先判断函数的单调性，然后根据的取值情况分类讨论判断函数在区间上的单调性．（2）由（1）可知，∴当变化时，的变化情况如下表：117\n+0-0+增极大减极小增⑤当时，在区间上单调递增.综上所述：当或时，在区间上单调递增；当时，在区间上上单调递增，在上单调递减；当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递减，在上单调递增.点评：解答本题的易错点有两个：（1）在第一问中忽视了对值的检验，因为导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，这是很容易出现的错误．（2）第二问中不能熟练地通过对进行分类讨论求解；还有，即便是分类了，分类的情况也不完全或分类出现重漏的情况．【同步训练】1．设，.（1）令，求的单调区间；（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围.【思路引导】17\n（1）求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数，根据导函数大于零和小于零分别解出所对应的增减区间，但要含参问题时则要注意讨论，由，根据a的不同取值讨论即可得出单调区间；（2）已知在处取得极大值，故.，然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在1处取得极大值即可得出正确a的取值范围（2）由（1）知，.①当a时，单调递增.所以当时，，单调递减.当时，，单调递增.所以在处取得极小值，不合题意.②当时，，由（1）知在内单调递增，可得当时，，时，，所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意.③当时，即时，在内单调递增，在内单调递减，17\n2．已知函数，在定义域内有两个不同的极值点（I）求的取值范围；（II）求证：【思路引导】(1)函数，在定义域内有两个不同的极值点,令即对求导,按照和分类判断单调性及极限,求出函数的极值,确定a的范围；(2)证明,即证,,,构造函数求导判断单调性求出函数的最值,即可证明不等式成立.试题解析:（I）令由题意可知,当17\n（II）由题意及（I）可知，即证3．已知函数．（Ⅰ）若函数在时有极值0，求常数a,b的值；（Ⅱ）若函数在点处的切线平行于x轴，求实数b的值．【思路引导】（1）根据函数的极值点的概念得到，极值点既在切线上又在曲线上，得到参数值.(2)根据导数的几何意义得到，从而得到参数值.17\n4．已知函数，.（1）求函数在上的最值；（2）求函数的极值点.【思路引导】（1）对函数进行求导可得，求出极值，比较端点值和极值即可得函数的最大值和最小值；（2）对进行求导可得，利用求根公式求出导函数的零点，得到导数与0的关系，判断单调性得其极值.试题解析：（1）依题意，,令，解得.因为，，，且，故函数在上的最大值为，最小值为.（2）依题意，，，当时，令，则.因为，所以，其中，.因为，所以，，所以当时，17\n，当时，，所以函数在上是增函数，在上是减函数，故为函数的极大值点，函数无极小值点.5．设函数f（x）=lnx+ax2+x+1．（I）a=﹣2时，求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）当a=0时，证明xex≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．【思路引导】（1）求导数判断函数的单调性，通过单调性求极值点；（2）当a=0时构造函数F（x）=xex﹣f（x）=xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），只要证明F（x）≥=0即可．（Ⅱ）证明：当a=0时，f（x）=lnx+x+1令F（x）=xex﹣f（x）=xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），则F′（x）=•（xex﹣1），令G（x）=xex﹣1，则G′（x）=（x+1）ex＞0，（x＞0），∴函数G（x）在（0，+∞）递增，又G（0）=﹣1＜0，G（1）=e﹣1＞0，∴存在唯一c∈（0，1）使得G（c）=0，且F（x）在（0，c）上单调递减，在（c，+∞）上单调递增，故F（x）≥F（c）=c•ec﹣lnc﹣c﹣1，由G（c）=0，得c•ec﹣1=0，得lnc+c=0，17\n∴F（c）=0，∴F（x）≥F（c）=0，从而证得xex≥f（x）．点评：在本题（Ⅱ）的解答中，为了求F（x）的最小值，通过求导得到F′（x）=•（xex﹣1），不容易判断F（x）的单调性，故构造G（x）=xex﹣1，采用二次求导的方法，在求G（x）零点的过程中遇到了零点不可求的问题，此类问题的解法是利用G（x）的单调性和零点存在定理，判断零点所在的范围，然后理通过整体代换的方法求函数F（x）的最值，这是解决函数综合问题中常用的一种方法．6．已知函数，，（其中，为自然对数的底数，……）.（1）令，求的单调区间；（2）已知在处取得极小值，求实数的取值范围.【思路引导】（1）求导函数的导数得，再根据是否变号进行分类讨论单调性：当时，导函数不变号，为单调递增；当时，导函数先负后正，对应单调区间为先减后增；（2）由题意得，结合（1）根据导函数单调性分类讨论在处是否为极小值：当时，在附近先减后增，为极小值；当时，按与零大小关系进行二次讨论：，单调递增；在附近先减后增，为极小值；当时，，无极值；时，单调递减；在附近先增后减，为极大值；综上可得实数的取值范围.17\n（3）当时，由（Ⅰ）知在区间单调递减，在区间单调递增，所以在处取得最小值，即，所以函数在上单调递增，所以在处无极值，不符合题意.（4）当时，，由（Ⅰ）知的减区间为，所以当时，，当时，，17\n所以在处取得极大值，不符合题意，综上可知，实数的取值范围为.7．已知函数（）.（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）若，且有两个极值点，（），求的取值范围.【思路引导】函数在某区间上单调递增，说明函数的导数大于或等于0在该区间上恒成立，分离参数m,利用极值原理求出参数m的取值范围；当时有两个极值点为方程的两个根，根据根与系数关系找出与系数的关系，根据m的范围解出的范围，表示出，根据减元，利用构造函数法求出其取值范围.17\n8．已知函数．（1）若函数在和处取得极值，求的值；（2）在（1）的条件下，当时，恒成立，求的取值范围．【思路引导】（1）求出导函数，利用，且=0，解方程组可求得；（2）利用导数研究函数的单调性，可得函数在时，的最小值为，只需即可求的取值范围.17\n（2）由（1）知，，当变化时，随的变化如下表：-2-123+0-0+增减增∴当时，的最小值为，要使恒成立，只要即可，∴，∴的取值范围为．9．已知函数，其中为常数.（1）当，且时，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值点；若不存在，说明理由；（2）若，对任意的正整数，当时，求证：.【思路引导】（1）令，求出的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；17\n（Ⅱ）时，求的导数，通过讨论是奇数，偶数，结合函数的单调性证明结论即可．（2）证：因为，所以.当为偶数时，令，则∴所以当时，单调递增，的最小值为.因此所以成立.当为奇数时，要证，由于，所以只需证.令，则，当时，单调递增，又，所以当时，恒有,命题成立.10．已知函数.(1)求函数的极值点；(2)若f(x)≥x2+1在(0,2)上恒成立,求实数t的取值范围.17\n【思路引导】(1)首先对函数求导，考虑到导函数含有参数，对参数大于等于0,和小于0两种情况进行讨论．(2)恒成立问题,首先利用参数分离，得到，再令，原问题转化为，从而求出参数的范围．17
