专题1.7极值点偏移第五招---函数的选取于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题，过程都需要构造新函数.那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就自然会选取不同的函数.★已知函数有两个不同的零点，，其极值点为．（1）求的取值范围；（2）求证：；（3）求证：；（4）求证：．解：（1），若，则，在上单调递增，至多有一个零点，舍去；则必有，得在上递减，在上递增，要使有两个不同的零点，则须有．（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当时，；当时，）．30\n（3）由所证结论可以看出，这已不再是的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件：（ii）构造函数，则30\n（4）（i）同上；（ii）构造函数，则当时，，但因式的符号不容易看出，引进辅助函数30\n，则，当时，，得在上递增，有，则，得在上递增，有，即；（iii）将代入（ii）中不等式得，又，，在上递增，故，．点评：虽然做出来了，但判定因式及的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数．再次回到题设条件：，记函数，则有．接下来我们选取函数再解（3）、（4）两问．（3）（i），得在上递减，在上递增，有极小值，又当时，；当时，，由不妨设．30\n【点评】用函数来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度．注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将，相加得．注2：在第（ii）步中，我们为什么总是给定的范围？这是因为的范围较的范围小，以第（3）问为例，若给定，因为所构造的函数为，这里，且，得，则当时，无意义，被迫分为两类：30\n①若，则，结论成立；②当时，类似于原解答．而给字，则不会遇到上述问题．当然第（4）问中给定或的范围均可，请读者自己体会其中差别．【思考】练习1：（查看热门文章里极值点偏移（1））应该用哪个函数来做呢？提示：用函数来做，用函数来做．练习2：（安徽合肥2022高三第二次质量检测）已知（1）求的单调区间；（2）设,，为函数的两个零点，求证.提示：将，两边取对数转化为指数方程处理.【招式演练】★已知函数有两个零点，求证：.30\n只要证：即证：，即证：，由的单调性知，只需证：，同理构造函数，利用单调性证明，下略.★已知的图像上有两点，其横坐标为，且.（1）证明：；（2）证明：.30\n又构造函数：，则，故在上单调递增，由于时，，且，故必存在，使得，故在上单调递减，在上单调递增，又时，，且，故在上恒成立，也即在上恒成立，令，有，再由，且在上单调递增，故，即证：成立.30\n综上：即证成立.从而对恒成立，同理得出：.综上：即证成立，也即原不等式成立.★已知函数．（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值；（3）若函数有两个不同的零点，，求证：．30\n【答案】（1）；（2）当时，，当时，，当时，；（3）证明见解析.试题解析：（1）因为点在曲线上，所以，解得．因为，所以切线的斜率为0，所以切线方程为．（2）因为，①当时，，，所以函数在上单调递增，则；②当，即时，，，所以函数在上单调递增，则；③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则；④当，即时，，，30\n函数在上单调递减，则．综上，当时，；当时，；当时，．令，则，于是，令（），则，故函数在上是增函数，所以，即成立，所以原不等式成立．30\n所以，即成立，所以原不等式成立．【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数，然后利用导数求其最小值来求.★已知函数.（1）当时，求函数在上的最大值；（2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；（3）当时，函数的图象与轴交于两点且，又是的导函数.若正常数满足条件.证明：<0.【答案】（1）（2）（3），理由见解析用分离参数在上恒成立，即求的最大值.（3）有两个实根，，两式相减，又，．要证：，只需证：30\n，令可证.试题解析：（1）函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，所以．于是．要证：，只需证：只需证：．(*)30\n令，∴(*)化为，只证即可．在（0，1）上单调递增，，即．∴．★已知函数f(x)=(lnx−k−1)x,(k∈R).（1）当x>1时，求f(x)的单调区间和极值.（2）若对于任意x∈[e,e2]，都有f(x)<4lnx成立，求的取值范围；（3）若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明：x1x2<e2k.【答案】⑴详见解析；⑵详见解析.试题解析：⑴f'(x)=1x⋅x+lnx-k-1=lnx-k,①k≤0时,因为x>1,所以f'(x)=lnx-k>0,函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞)，无单调递减区间,无极值；30\n②当k>0时，令lnx-k=0,解得x=ek，当1<x<ek时，f'(x)<0;当x>ek,f'(x)>0．所以函数f(x)的单调递减区间是(1,ek)，单调递增区间是(ek,+∞)，在区间(1,+∞)上的极小值为f(ek)=(k-k-1)ek=-ek,无极大值．⑵由题意，f(x)-4lnx<0,即问题转化为(x-4)lnx-(k+1)x<0对于x∈[e,e2]恒成立．即k+1>(x-4)lnxx对于x∈[e,e2]恒成立,令g(x)=(x-4)lnxx,则g'(x)=4lnx+x-4x2,令t(x)=4lnx+x-4,x∈[e,e2],则t'(x)=4x+1>0,所以t(x)在区间[e,e2]上单调递增,故t(x)min=t(e)=e-4+4=e>0,故g'(x)>0,所以g(x)在区间[e,e2]上单调递增,函数g(x)max=g(e2)=2-8e2．要使k+1>(x-4)lnxx对于x∈[e,e2]恒成立,只要k+1>g(x)max,又f(x1)=f(x2),即证f(x1)<f(e2kx1),构造函数h(x)=f(x)-f(e2kx)=(lnx-k-1)x-(lne2kx-k-1)e2kx,即h(x)=xlnx-(k+1)x+e2k(lnxx-k-1x2),x∈(0,ek)．h'(x)=lnx+1-(k+1)+e2k(1-lnxx2+k-1x2)=(lnx-k)(x2-e2k)x2,因为x∈(0,ek),所以lnx-k<0,x2<e2k,即h'(x)>0,30\n所以函数h(x)在区间(0,ek)上单调递增,故h(x)<h(ek),而h(ek)=f(ek)-f(e2kek)=0,故h(x)<0,所以f(x1)<f(e2kx1),即f(x2)=f(x1)<f(e2kx1),所以x1x2<e2k成立．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题．处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会．★已知函数(Ⅰ)求的单调区间；（Ⅱ）设极值点为，若存在，且，使，求证：【答案】（1）增区间为：减区间为：；（2）见解析.试题解析：（Ⅰ）的定义域为，30\n由得:由得增区间为：由得减区间为：（Ⅱ）要证，只需证由（Ⅰ）知在上为增函数，在上是增函数，，即又成立，即★已知函数.30\n(1)求的单调区间；(2)若函数，是函数的两个零点，是函数的导函数，证明：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数，根据导函数是否变号进行讨论，当时，，递增，当时，导函数有一零点，导函数先正后负，故得增区间为，减区间为；（2）利用分析法先等价转化所证不等式：要证明，只需证明，即证明，即证明，再令，构造函数，利用导数研究函数单调性，确定其最值：在上递增，所以，即可证得结论.试题解析：(1)的定义域为，当时，，递增当时，递增；递减综上：∴当时，的单调增区间为，单调减区间为当时，的单调增区间为30\n即证明，即证明令，则则，∴在上递减，，∴在上递增，所以成立，即点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.★已知函数与的图象关于直线对称.（1）不等式对任意恒成立，求实数的最大值；（2）设在内的实根为，，若在区间30\n上存在，证明：.【答案】（1）1（2）见解析：要证：，即证：，只要证，即证，构造函数，其中.利用导数可得在上单调递增，即得试题解析：（1）由，所以，设，∴.由，∴，在上单调递增；，∴，在上单调递减，所以，即，所以实数的最大值为.30\n而，故，而，从而，因此当，即单调递增.从而当时，，即，故得证.★已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.（1）求实数的值及函数的单调区间；（2）设函数，证明时，.30\n【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析.30\n★已知.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）设，，为函数的两个零点，求证：.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析:（Ⅰ）根据导数，分类讨论，当时，；当时，，由30\n得，时，，时，，即可得出单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的单调递增区间为，单调递减区间为．不妨设，由条件知，即，构造函数，与图像两交点的横坐标为，，利用单调性只需证构造函数利用单调性证明．30\n30\n点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题．处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会．★已知函数，．（Ⅰ）若函数为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数存在两个极值点，，且，证明：．30\n【答案】（1）．（2）详见解析.②若，即，方程的两根为，，当时，，所以函数单调递减，当时，，所以函数单调递增，不符合题意．综上，若函数为定义域上的单调函数，则实数的取值范围为．（Ⅱ）因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根，即在有两个不等的实根，，于是，且满足，，，30\n同理可得．，令，．，，∵，∴，又时，，∴，则在上单调递增，所以，即，得证．★已知函数与的图象在点处有相同的切线．（Ⅰ）若函数与的图象有两个交点，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数有两个极值点，，且，证明：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程见解析；30\n（Ⅱ）由题意，函数，其定义域为，，令，得，其判别式，函数有两个极值点，，等价于方程在内有两不等实根，又，故．所以，且，，，令，，则，由于，∴，故在上单调递减．故．所以，所以．点睛：此题主要考查函数导数的几何意义，以及函数单调性、最值在不等式证明中的综合应用能力等有关方面的知识，属于高档题型，也是高频考点.在问题（Ⅰ30\n）中根据导数几何意义建立方程组，求出函数解析式，再由题意构造函数，将问题转化为求函数的零点个数，利用导数求出函数的最值、单调区间，从而求出实数的取值范围；在问题（Ⅱ）中，由（Ⅰ）可求出函数的解析式，依据导数与极值点的关系求出参数的范围，并求出参数与极值点的关系式，根据问题构造新的函数，再用函数的单调性证明不等式成立.30
