绝密«使用完毕前2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷分第一卷和第二卷两局部。第一卷1至2页、第二卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试完毕后，将本试卷和答题卡。第一卷（选择题共140分）一、本大题共8小题，每题5分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）集合，那么=(A){1,2}(B){0,1,2}(C){x|0≤x<3}(D){x|0≤x≤3}（2）在等比数列中，，公比.假设，那么m=（A）9（B）10（C）11（D）12（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，那么该几何体的俯视图为（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位教师不相邻的排法种数为（A）（B）（C）（D）（5）极坐标方程（p-1）（）=（p0）表示的图形是（A）两个圆（B）两条直线（C）一个圆和一条射线（D）一条直线和一条射线（6）a、b为非零向量。“”是“函数为一次函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件9/9\n（7）设不等式组表示的平面区域为D，假设指数函数y=的图像上存在区域D上的点，那么a的取值范围是（A）(1,3](B)[2,3](C)(1,2](D)[3,](8)如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，假设EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），那么四面体PEＦＱ的体积 （Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关 （Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关 （Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关 （Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关第II卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。（9）在复平面内，复数对应的点的坐标为。（10）在△ABC中，假设b=1，c=，，那么a=。（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝。假设要从身高在[120,130），[130，140),[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，那么从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为。（12）如图，的弦ED，CB的延长线交于点A。假设BDAE，AB＝4,BC＝2,AD＝3,那么DE＝；CE＝。（13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。（14）（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。9/9\n设顶点p（x，y）的轨迹方程是，那么的最小正周期为；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为。说明：“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知函数。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值。（16）（本小题共14分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。(17)(本小题共13分)某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ01239/9\n(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求，的值；(Ⅲ)求数学期望ξ。(18)(本小题共13分)已知函数()=In(1+)-+(≥0)。(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；(Ⅱ)求()的单调区间。（19）（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由。（20）（本小题共13分）已知集合对于，，定义A与B的差为A与B之间的距离为（Ⅰ）证明：，且;（Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数(Ⅲ)设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P).证明：（P）≤.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）()9/9\n2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）（1）B（2）C（3）C（4）A（5）C（6）B（7）A（8）D二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）（9）（-1,1）（10）1（11）0.0303（12）5（13）（，0）（14）4三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I）（II）==,因为，所以，当时，取最大值6；当时，取最小值（16）（共14分）证明：（I）设AC与BD交与点G。因为EF//AG，且EF=1，AG=AC=1.所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF//平面EG，因为平面BDE，AF平面BDE，所以AF//平面BDE.（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-.那么C（0，0，0），A（，，0），B（0，，0）.所以，，.所以,所以,.9/9\n所以BDE.(III)由（II）知，是平面BDE的一个法向量.设平面ABE的法向量,那么，.即所以且令那么.所以.从而。因为二面角为锐角，所以二面角的大小为.（17）（共13分）解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知，，（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是，（II）由题意知整理得，由，可得，.（III）由题意知===（18）（共13分）解：（I）当时，，由于，，所以曲线在点处的切线方程为即（II），.当时，.所以，在区间上，；在区间上，.9/9\n故得单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，故得单调递增区间是.当时，，得，.所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是（19）（共14分）（I）解：因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为.设点的坐标为由题意得化简得.故动点的轨迹方程为（II）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.那么直线的方程为，直线的方程为令得，.于是得面积又直线的方程为，，点到直线的距离.于是的面积当时，得9/9\n又，所以=，解得。因为，所以故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.解法二：假设存在点使得与的面积相等，设点的坐标为那么.因为,所以所以即，解得因为，所以故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.（20）（共13分）证明：（I）设，，因为，，所以,从而又由题意知，，.当时，;当时，所以(II)设，，，，.记，由（I）可知所以中1的个数为，的1的个数为。设是使成立的的个数，那么由此可知，三个数不可能都是奇数，9/9\n即,,三个数中至少有一个是偶数。（III）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0那么=由于所以从而9/9
