第六讲功和动能定理一．解题方法1.做功的分析和计算方法：做好受力分析找出力和运动分析找出位移，并确定力和位移方向夹角，根据功的公式或动能定理判断某个力（或合力）做功的正负或计算功，2.动能定理的解题思路和方法（1）明确研究对象、研究过程，找出初、末状态的速度情况． （2）要对物体进行正确受力分析（包括重力），明确各力的做功大小及正负情况．有些力在运动过程中不是始终存在，若物体运动过程中包含几个物理过程，物体运动状态受力情况均发生变化，因而在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待． （3）明确物体在过程的起始状态的动能和末了状态的动能． （4）列出动能定理的方程，及其它必要的解题方程进行求解．二．例题分析（一）正功、负功的判断方法1．根据力和位移方向之间的夹角判断2．根据力和瞬时速度方向的夹角判断3．从能的转化角度来进行判断此法常用于判断相互联系的两个物体之间的相互作用力做功的情况．例如车M静止在光滑水平轨道上，球m用细线悬挂在车上，由图中的位置无初速地释放，则可判断在球下摆过程中绳的拉力对车做正功．因为绳的拉力使车的动能增加了．又因为M和m构成的系统的机械能是守恒的，M增加的机械能等于m减少的机械能，所以绳的拉力一定对球m做负功．例题1.长为L的轻质细绳悬挂一个质量为m的小球，其下方有一个倾角为θ的光滑斜面体，放在水平面上，开始时小球与斜面刚刚接触且细绳恰好竖直，如图所示，现在用水平推力F缓慢向左推动斜面体，直至细绳与斜面体平行，则下列说法中正确的是( )．A．由于小球受到斜面的弹力始终与斜面垂直，故对小球不做功B．细绳对小球的拉力始终与小球的运动方向垂直，故对小球不做功C．小球受到的合外力对小球做功为零，故小球在该过程中机械能守恒D．若水平面光滑，则推力做功为mgL(1－cosθ)变式1.如图所示，电梯与水平地面成θ角，一人站在电梯上，电梯从静止开始匀加速上升，到达一定速度后再匀速上升．若以N表示水平梯板对人的支持力，G为人受到的重力，f为电梯对人的静摩擦力，则下列结论正确的是( )．A．加速过程中f≠0，f、N、G都做功B．加速过程中f≠0，N不做功C．加速过程中f＝0，N、G都做功D．匀速过程中f＝0，N、G都不做功（二）功的计算1．恒力的功：W＝Fscosα或动能定理．2．变力做功：(1)用动能定理：W＝mv22－mv12.(2)若功率恒定，则用W＝Pt计算．3．滑动摩擦力做的功有时可以用力和路程的乘积计算4．多个力的合力做的功(1)先求F合，再根据W＝F合scosα计算，一般适用于整个过程中合力恒定不变的情况．8\n(2)先求各个力做的功W1、W2Wn，再根据W总＝W1＋W2＋＋Wn计算总功，这是求合力做功常用的方法．例题2.起重机以1m/s2的加速度将质量为1000kg的货物由静止开始匀加速向上提升，若g取10m/s2，则在1s内起重机对货物所做的功是( )．A．500JB．4500JC．5000JD．5500J变式2.一物体在水平面上，受恒定的水平拉力和摩擦力作用沿直线运动，已知在第1秒内合力对物体做的功为45J，在第1秒末撤去拉力，其v－t图象如图所示，g取10m/s2，则( )．A．物体的质量为5kgB．物体与水平面间的动摩擦因数为0.2C．第1秒内摩擦力对物体做的功为60JD．第1秒内拉力对物体做的功为60J例题3.如图所示，一质量为m＝2.0kg的物体从半径为R＝5.0m的圆弧轨道的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变始终为15N，方向始终与物体在该点的切线成37°角．圆弧所对应的圆心角为45°，BO边为竖直方向．求这一过程中：(g取10m/s2)(1)拉力F做的功．(2)重力G做的功．(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功．(4)圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功．(二)动能定理分析多过程问题对多过程问题可采用分段法和整段法处理,解题时应活处理,通常用整段法解题往往比较简洁。用动能定理分析多过程问题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出物体运动过程的示意图，通过示意图帮助我们理解物理过程和各量关系，有些力在物体运动全过程中不是始终存在的，在计算外力做功时更应引起注意。例题4.以初速度v0竖直向上抛出一质量为m的小物块。假定物块所受的空气阻力f大小不变。已知重力加速度为g，则物体上升的最大高度和返回到原抛出点的速率分别为（）8\n(三)动能定理分析变力功问题用动能定理分析变力的功时要注意弄清物体始末两个状态的速度，以及在中间过程中其他力对物体做的功．例题5.如图所示，一个质量为m的圆环套在一根固定的水平直杆上，环与杆的动摩擦因数为μ，现给环一个向右的初速度v0，如果在运动过程中还受到一个方向始终竖直向上的力F的作用，已知力F的大小为F＝kv(k为常数，v为环的运动速度)，则环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功(假设杆足够长)可能为()例题6.如图所示为汽车在水平路面上启动过程中的速度图象，oa为过原点的倾斜直线，ab段表示以额定功率行驶时的加速阶段，bc段是与ab段相切的水平直线，则下述说法正确的是()A.0～t1时间内汽车做匀加速运动且功率恒定B.t1～t2时间内汽车牵引力做功为(mv－mv)/2C.t1～t2时间内的平均速度为(v1＋v2)/2D.在全过程中t1时刻的牵引力及其功率都是最大值，t2～t3时间内牵引力最小(四)动能定理分析连结体问题在连结体问题中，若不涉及常系统内的相互作用时，常以整体为研究对象求解，对系统应用动能定理列式时要特别注意防止遗漏系统内物体的动能。这类问题也可以运用隔离法选择研究对象，运用牛顿运动定律求解，但解题过程一般比较复杂，而运用功能原理求解时则就显得简单多了.例题6.如图所示,mA=4kg,mB=1kg,A与桌面间的动摩擦因数μ=0.2,B与地面间的距离s=0.8m,A、B间绳子足够长，A、B原来静止，求： （1）B落到地面时的速度为多大； （2）B落地后,A在桌面上能继续滑行多远才能静止下来。（g取10m/s2）8\n(五)动能定理分析相互作用问题子弹打木块类问题:分析这类问题常常分别以相互作用的两个物体为研究对象，对对象进行受力情况、运动情况，力作功情况的分析，然后分别对不同对象应用动能定理列式求解。例题7.如图所示，质量为M的木块放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0沿水平射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v运动.已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L，子弹进入木块的深度为s.若木块对子弹的阻力Ff视为恒定，则下列关系式中正确的是（）A.FfL=Mv2/2B.Ffs=mv2/2C.Ffs=mv02/2－（M＋m）v2/2D.Ff（L＋s）=mv02/2－mv2/2例题8.如图所示，水平传送带由电动机带动，并始终保持以速度v匀速运动.现将质量为m的某物块无初速地放在传送带的左端，经过时间f物块保持与传送带相对静止.设物块与传送带间的动摩擦因数为，对于这一过程，下列说法正确的是（）A.摩擦力对物块做的功为B.传送带克服摩擦力做的功为C.系统摩擦生热为D.电动机多做的功为(六)动能定理与图象结合问题动能定理与图象相结合的试题，综合信息强，这类题对考生的能力也相对较高。此类试题常常涉及v-t、F-t等图象，分析时应从图象中提取与速度，功，动能等相关的信息，然后用动能定理进行解题。例题9.质量为1kg的物体以某一初速度在水平面上滑行，由于摩擦阻力的作用，其动能随位移变化的图线如图所示，g取10m/s2，则以下说法中正确的是（）A．物体与水平面间的动摩擦因数为0.58\nB．物体与水平面间的动摩擦因数为0.2C．物体滑行的总时间为4sD．物体滑行的总时间为2.5s例题10.如图为质量相等的两个质点A、B在同一直线上运动的v-t图像，由图可知（）A.在t时刻两个质点在同一位置B.在t时刻两个质点速度相等C.在0-t时间内质点B比质点A位移大D.在0-t时间内合外力对两个质点做功相等例题11.质量为1kg的物体静止在光滑水平面上，从t=0时刻开始受到水平力F的作用。力F与时间t的关系如图所示，则此物体（）A．前2s内动能先增后减，2s末动能8JB．从t=0s开始，每经2s动能增加8JC．前10s内F力做功400JD．每个奇数秒内的F的平均功率比前一奇数秒内的平均功率多32W（七）动能定理与生活科技结合问题以生活科技材料为背景，试题情景新颖，物理过程与规律隐蔽性强。分析时应从题中材料提取有效的物理信息，构建物理模型，弄清物理过程，选择合理的物理规律进行解题。例题12.民用航空客机的机舱，除了有正常的舱门和舷梯连接，供旅客上下飞机外，一般还设有紧急出口，发生意外情况的飞机在着地后，打开紧急出口的舱门，会自动生成一个电气囊构成的斜面，机舱的人可沿该斜面滑行到地面上来，若机舱离气囊底端的竖直高度为3.2m，气囊所构成斜面长度为4.0m，一个质量为60kg的人在气囊上滑下时所受到的阻力为240N，试求出人滑到气囊底端的速度大小。（g取10m/s2）课后练习1．一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速，后匀速，再减速的运动过程，则电梯支持力对人做功情况是( )A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功B．加速时做正功，匀速和减速时做负功8\nC．加速和匀速时做正功，减速时做负功D．始终做正功2.一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速率v随时间的变化规律分别如图3甲和乙所示．设在第1秒内、第2秒内、第3秒内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是( )A．W1＝W2＝W3B．W1＜W2＜W3C．W1＜W3＜W2D．W1＝W2＜W33．一物体在外力的作用下从静止开始做直线运动，合外力方向不变，大小随时间的变化如图所示．设该物体在t0和2t0时刻相对于出发点的位移分别是x1和x2，速度分别是v1和v2，合外力从开始至t0时刻做的功是W1，从t0至2t0时刻做的功是W2，则( )．A．x2＝5x1 v2＝3v1B．x2＝9x1 v2＝5v1C．x2＝9x1 W2＝9W1D．v2＝3v1 W2＝9W14.质量为1kg的物体，放在动摩擦因数为0.2的水平面上，在水平拉力的作用下由静止开始运动，水平拉力做的功W和物体发生的位移x之间的关系如图所示，重力加速度取10m/s2，则下列说法正确的是()A.x=3m时速度大小为m/sB.x=9m时速度大小为m/sC.OA段加速度大小为3m/s2D.AB段加速度大小为3m/s25.如图所示，一质量为M，长为L的木板，放在光滑的水平地面上，在木板的右端放一质量为m的小木块，用一根不可伸长的轻绳通过光滑的定滑轮分别与m、M连接，木块与木板间的动摩擦因数为μ，开始时木块和木板静止，现用水平向右的拉力F作用在M上，将m拉向木板左端的过程中，拉力至少做功为()A.2μmgLB.mgLC.μ(M+m)gLD.μmgL6.低碳、环保是未来汽车的发展方向.某汽车研发机构在汽车的车轮上安装了小型发电机，将减速时的部分动能转化并储存在蓄电池中，以达到节能的目的.某次测试中，汽车以额定功率行驶一段距离后关闭发动机，测出了汽车动能Ek与位移x的关系图象如图，其中①是关闭储能装置时的关系图线，②是开启储能装置时的关系图线.已知汽车的质量为1000kg,设汽车运动过程中所受地面阻力恒定，空气阻力不计.根据图象所给的信息可求出()8\nA.汽车行驶过程中所受地面的阻力为1000NB.汽车的额定功率为80kWC.汽车加速运动的时间为22.5sD.汽车开启储能装置后向蓄电池提供的电能为5×105J7.如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体．电梯在钢索的拉力作用下由静止开始竖直向上加速运动，当上升高度为H时，电梯的速度达到v，则在这个过程中，以下说法中正确的是( )．A．电梯地板对物体的支持力所做的功等于B．电梯地板对物体的支持力所做的功小于C．钢索的拉力所做的功等于＋MgHD．钢索的拉力所做的功大于＋MgH8.人通过滑轮将质量为m的物体，沿粗糙的斜面由静止开始匀加速地由底端拉上斜面，物体上升的高度为h，到达斜面顶端的速度为v，如图所示，则在此过程中( )．A．物体所受的合外力做功为mgh＋mv2B．物体所受的合外力做功为mv2C．人对物体做的功为mghD．以上说法都不对9.如图所示，用特定材料制作的细钢轨竖直放置，半圆形轨道光滑，半径分别为R、2R、3R和4R，R＝0.5m，水平部分长度L＝2m，轨道最低点离水平地面高h＝1m．中心有孔的钢球(孔径略大于细钢轨直径)，套在钢轨端点P处，质量为m＝0.5kg，与钢轨水平部分的动摩擦因数为μ＝0.4.给钢球一初速度v0＝13m/s.取g＝10m/s2.求：(1)钢球运动至第一个半圆形轨道最低点A时对轨道的压力．(2)钢球落地点到抛出点的水平距离．10.如图所示，质量为2kg的木块套在光滑的竖直杆上，用60N的恒力F通过轻绳拉木块，木块在A点的速度vA＝3m/s则木块运动到B点的速度vB是多少？(木块可视为质点，g取10m/s2)11.一滑块(可视为质点)经水平轨道AB进入竖直平面内的四分之一圆弧形轨道BC.已知滑块的质量m=0.50kg，滑块经过A点时的速度vA=5.0m/s,AB长x=4.5m8\n，滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.10,圆弧形轨道的半径R=0.50m，滑块离开C点后竖直上升的最大高度h=0.10m.取g=10m/s2.求：(1)滑块第一次经过B点时速度的大小；(2)滑块刚刚滑上圆弧形轨道时，对轨道上B点压力的大小；(3)滑块在从B运动到C的过程中克服摩擦力所做的功.12.在如图所示的装置中，两个光滑的定滑轮的半径很小，表面粗糙的斜面固定在地面上，斜面的倾角为θ=30°，用一根跨过定滑轮的细绳连接甲、乙两物体，把甲物体放在斜面上且连线与斜面平行，把乙物体悬在空中，并使悬线拉直且偏离竖直方向α=60°.现同时释放甲、乙两物体，乙物体将在竖直平面内振动，当乙物体运动经过最高点和最低点时，甲物体在斜面上均恰好未滑动.已知乙物体的质量为m=1kg，若取重力加速度g=10m/s2.求:甲物体的质量及斜面对甲物体的最大静摩擦力.13.如图所示，质量为m的物体静止于光滑圆弧轨道的最低点A，现以始终沿切线方向、大小不变的外力F作用于物体上使其沿圆周转过到达B点，随即撤去外力F，要使物体能在竖直圆轨道内维持圆周运动，外力F至少为多大？14.如图所示，物体在有动物毛皮的斜面上运动，由于毛皮的特殊性，引起物体的运动有如下特点：①顺着毛的生长方向运动时，毛皮产生的阻力可以忽略，②逆着毛的生长方向运动时，会受到来自毛皮的滑动摩擦力，且动摩擦因数μ恒定．斜面顶端距水平面高度为h＝0.8m，质量为m＝2kg的小物块M从斜面顶端A由静止滑下，从O点进入光滑水平滑道时无机械能损失，为使M制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线B处的墙上，另一端恰位于水平轨道的中点C.已知斜面的倾角θ＝53°，动摩擦因数均为μ＝0.5，其余各处的摩擦不计，重力加速度g＝10m/s2，下滑时逆着毛的生长方向．求：(1)弹簧压缩到最短时的弹性势能(设弹簧处于原长时弹性势能为零)．(2)若物块M能够被弹回到斜面上，则它能够上升的最大高度是多少？(3)物块M在斜面上下滑过程中的总路程．8
