专题03导数的几何意义与运算一、选择题1.【导数的几何意义，两直线垂直关系，直线方程的应用，三角形面积取值范围】【2022·四川文科】设直线l1，l2分别是函数f(x)=图象上点P1，P 2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)【答案】A2.【平均变化率】【2022·北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）年月日年月日注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（）A．升B．升C．升D．升【答案】B二、非选择题3.【导数的几何意义，函数的奇偶性、解析式】【2022·新课标Ⅲ文数】已知为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程式_____________________________.【答案】4.【导数的几何意义，函数的单调性】【2022·新课标2文数】已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.7\n【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）5.【利用导数研究曲线的切线，函数的零点】【2022·北京文数】设函数（I）求曲线在点处的切线方程；（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（III）略.6.【导数的运算法则】【2022·天津，文11】已知函数,其中a为实数,为的导函数,若,则a的值为．【答案】37.【导数的几何意义】【2022·陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为____________.【答案】8.【利用导数的几何意义求函数的切线，常见函数的导数】【2022·新课标1，文14】已知函数的图像在点的处的切线过点，则.【答案】19.【导数的几何意义，直线与抛物线相切问题】【2022新课标2文16】已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=．【答案】87\n10.【导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值，函数零点存在性定理】【2022·山东，文20】设函数.已知曲线在点处的切线与直线平行.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；（Ⅲ）设函数（表示，中的较小值），求的最大值.【答案】（I）；(II)；(III).11.【导数的几何意义，导数的应用】【2022·天津，文20】已知函数（I）求的单调区间;（II）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;（III）若方程有两个正实数根且,求证:.【答案】（I）的单调递增区间是,单调递减区间是;（II）略;（III）略2022年真题1.【导数的几何意义】【2022课标1，文14】曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】7\n【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．2.【导数的几何意义】【2022天津，文10】已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为.【答案】【解析】，切点为，，则切线的斜率为，切线方程为：，令得出，在轴的截距为.【名师点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题型，函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．相应地，切线方程为．注意：求曲线切线时，要分清在点处的切线与过点的切线的不同,谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点.3.【导数的几何意义，利用导数求函数的最值】【2022北京，文20】已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【解析】试题解析：（Ⅰ）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.7\n（Ⅱ）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是恒成立，这样就能知道函数的单调性，根据单调性求最值，从而判断的单调性，求得最值.4.【导数的几何意义，导数的应用】【2022山东，文20】（本小题满分13分）已知函数.,(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】(I),（2）(II)⑴无极值；⑵极大值为,极小值为；⑶极大值为,极小值为.【解析】(I)根据求出切线斜率,再用点斜式写出切线方程；(II)由,通过讨论确定单调性,再由单调性确定极值.试题解析：（I）由题意，所以，当时，，，所以，7\n因此，曲线在点处的切线方程是，即.（II）因为，所以，令，则，所以在上单调递增，因为，所以，当时，；当时，.所以，当时，取到极大值，极大值是，当时，取到极小值，极小值是.（2）当时，，当时，，单调递增；所以，在上单调递增，无极大值也无极小值.（3）当时，，7\n当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以，当时，取到极大值，极大值是；当时，取到极小值，极小值是.综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.【考点】导数的几何意义及导数的应用【名师点睛】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．7
