功能关系动量能量综合一、功能关系功是一种过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；而能是一种状态量，它个一个时刻相对应。两者的单位是相同的（都是J），但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。做功的过程是能量转化的过程，功是能量转化的量度。⑴物体动能的增量由外力做的总功来量度：W外=ΔEk，这就是动能定理。⑵物体重力势能的增量由重力做的功来量度：WG=-ΔEP，这就是势能定理。⑶物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W其它=ΔE机，（W其它表示除重力以外的其它力做的功），这就是机械能守恒定律。⑷物体电势能的改变由重力做的功来量度。（5）弹性势能的改变由弹力做功来完成（6）一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能。fd=Q（d为这两个物体间相对移动的路程）。FGva【例1】质量为m的物体在竖直向上的恒力F作用下减速上升了H，在这个过程中，以下说法中正确的有A、CA.物体的重力势能增加了mgHB.物体的动能减少了FHC.物体的机械能增加了FHD.物体重力势能的增加小于动能的减少-8-/8\nABCD【例2】如以下图，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开场下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段以下说法中正确的选项是（B、C、D）A．在B位置小球动能最大B．在C位置小球动能最大C．从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加D．从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加abc二、动量能量综合问题我们已经复习了牛顿定律、动量定理和动量守恒、动能定理和机械能守恒。它们分别反映了力的瞬时作用效应、力的时间积累效应和力的空间积累效应。解决力学问题离不开这三种解题思路。【例3】如以下图，a、b、c三个相同的小球，a从光滑斜面顶端由静止开场自由下滑，同时b、c从同一高度分别开场自由下落和平抛。以下说法正确的有A．它们同时到达同一水平面B．重力对它们的冲量相同C．它们的末动能相同D．它们动量变化的大小相同解析：b、c飞行时间相同（都是）；a与b比较，两者平均速度大小相同（末动能相同）；但显然a的位移大，所以用的时间长，因此A、B都不对。由于机械能守恒，c的机械能最大（有初动能），到地面时末动能也大，因此C-8-/8\n也不对。a、b的初动量都是零，末动量大小又相同，所以动量变化大小相同；b、c所受冲量相同，所以动量变化大小也相同，故D正确。【例4】海岸炮将炮弹水平射出。炮身质量（不含炮弹）为M，每颗炮弹质量为m。当炮身固定时，炮弹水平射程为s，那么当炮身不固定时，发射同样的炮弹，水平射程将是多少？解析：两次发射转化为动能的化学能E是相同的。第一次化学能全部转化为炮弹的动能；第二次化学能转化为炮弹和炮身的动能，而炮弹和炮身水平动量守恒，由动能和动量的关系式知，在动量大小相同的情况下，物体的动能和质量成反比，炮弹的动能，由于平抛射高相等，两次射程的比等于抛出时初速度之比Mmv【例5】质量M的小车左端放有质量m的铁块，以共同速度v沿光滑水平面向竖直墙运动，车与墙碰撞的时间极短，不计动能损失。动摩擦因数μ，车长L，铁块不会到达车的右端。到最终相对静止为止，摩擦生热多少？解析：车与墙碰后瞬间，小车的速度向左，大小是v，而铁块的速度未变，仍是v，方向向左。根据动量守恒定律，车与铁块相对静止时的速度方向决定于M与m的大小关系：当M>m时，相对静止是的共同速度必向左，不会再次与墙相碰，可求得摩擦生热是；当M=m时，显然最终共同速度为零，当M<-8-/8\nm时，相对静止时的共同速度必向右，再次与墙相碰，直到小车停在墙边，后两种情况的摩擦生热都等于系统的初动能【例6】用轻弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块都以v＝6m／s的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量4kg的物块C静止在前方，如以下图.B与C碰撞后二者粘在一起运动.求：在以后的运动中：（1）当弹簧的弹性势能最大时，物体A的速度多大?（2）弹性势能的最大值是多大?（3）A的速度有可能向左吗?为什么?解析：（1）当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大.由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，（mA+mB）v＝（mA+mB+mC）vA′解得vA′=m/s=3m/s（2）B、C碰撞时B、C系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为v′，那么mBv=（mB+mC）v′v′==2m/s设物A速度为vA′时弹簧的弹性势能最大为Ep，根据能量守恒Ep=（mB+m C）+mAv2-（mA+mB+mC）=×（2+4）×22+×2×62-×（2+2+4）×32=12J（3）A不可能向左运动系统动量守恒，mAv+mBv=mAvA+（mB+mC）vB设A向左，vA＜0，vB＞4m/s那么作用后A、B、C动能之和E′=mAvA2+（mB+mC）vB2＞（mB+mC）vB2=48J-8-/8\n实际上系统的机械能E=Ep+（mA+mB+mC）·=12+36=48J根据能量守恒定律，＞E是不可能的【例7】如以下图，滑块A的质量m＝0.01kg，与水平地面间的动摩擦因数μ=0.2，用细线悬挂的小球质量均为m=0.01kg，沿x轴排列，A与第1只小球及相邻两小球间距离均为s=2m，线长分别为L1、L2、L3…（图中只画出三只小球，且小球可视为质点），开场时，滑块以速度v0＝10m/s沿x轴正方向运动，设滑块与小球碰撞时不损失机械能，碰撞后小球均恰能在竖直平面内完成完整的圆周运动并再次与滑块正碰（1）滑块能与几个小球碰撞?（2）求出碰撞中第n个小球悬线长Ln的表达式.解析：（1）因滑块与小球质量相等且碰撞中机械能守恒，滑块与小球相碰撞会互换速度，小球在竖直平面内转动，机械能守恒，设滑块滑行总距离为s0，有得s0＝25m（2）滑块与第n个球碰撞，设小球运动到最高点时速度为vn′对小球,有:①②对滑块，有：③解①②③三式:-8-/8\n【例8】如以下图，两个小球A和B质量分别是mA=2.0kg，mB=1.6kg.球A静止在光滑水平面上的M点，球B在水平面上从远处沿两球的中心连线向着球A运动.假设两球相距L≤18m时存在着恒定的斥力F，L＞18m时无相互作用力.当两球相距最近时，它们间的距离为d＝2m，此时球B的速度是4m／s.求：（1）球B的初速度；（2）两球之间的斥力大小；（3）两球从开场相互作用到相距最近时所经历的时间.解析：（1）设两球之间的斥力大小是F，两球从开场相互作用到两球相距最近时的时间是t0当两球相距最近时球B的速度是vB=4m/s，此时球A的速度与球B的速度大小相等，vA＝vB＝4m/s.由动量守恒定律可得：mBvB0＝mAvA+mBvB①代人数据解得vB0＝9m/s（1分）（2）两球从开场相互作用到它们之间距离最近时它们之间的相对位移Δs＝L-d由功能关系可得：FΔs=mBvB02-（mAvA2+mBvB2）②代人数据解得F=2.25N（3）根据动量定理，对A球有：Ft=mAvA-0t=代入数值解得t=s=3.56s三、针对训练1．物体在恒定的合力作用下做直线运动，在时间Δt1内动能由0增大到E1，在时间Δt2内动能由E1增大到E2.设合力在Δt1内做的功是W1、冲量是I1；在Δt2内做的功是W2、冲量是I2.那么AA.I1＞I2，W1＝W2B.I1＜I2，W1＝W2-8-/8\nC.I1＜I2，W1＜W2D.I1＝I2，W1＜W22．如以下图，分别用两个恒力F1和F2先后两次将质量为m的物体从静止开场，沿着同一个粗糙的固定斜面由底端推到顶端，第一次力F1的方向沿斜面向上，第二次力F2的方向沿水平向右，两次所用时间相同.在这两个过程中BDA.F1和F2所做功相同B.物体的机械能变化相同C.F1和F2对物体的冲量大小相同D.物体的加速度相同3．一轻质弹簧，上端悬挂于天花板，下端系一质量为M的平板，处在平衡状态.一质量为m的均匀环套在弹簧外，与平板的距离为h，如以下图，让环自由下落，撞击平板.已知碰后环与板以相同的速度向下运动，使弹簧伸长ACA.假设碰撞时间极短，那么碰撞过程中环与板的总动量守恒B.假设碰撞时间极短，那么碰撞过程中环与板的总机械能守恒C.环撞击板后，板的新的平衡位置与h的大小无关D.在碰后板和环一起下落的过程中，它们减少的动能等于抑制弹簧力所做的功4．如以下图，质量均为的木块并排放在光滑水平面上，上固定一根轻质细杆，轻杆上端的小钉（质量不计）O上系一长度为L的细线，细线的另一端系一质量为的小球，现将球的细线拉至水平，由静止释放，求：（1）两木块刚别离时，速度各为多大？-8-/8\n（2）两木块别离后，悬挂小球的细线与竖直方向的最大夹角多少？解：（1）三者组成的系统满足动量守恒和机械能守恒，选取最低点，球到达最低点时共同速度为，速度为，规定向左为正方向： 解得：（2）、从球在最低点开场，与组成一个系统满足动量守恒和机械能守恒，设摆到最高处为，此时，共同速度为： 解得：； w.w.w.k.s.5.u.c.o.mwww.ks5u.com-8-/8
