机械能守恒定律一、机械能守恒定律1、条件⑴在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。（和只受到重力不同）⑵只有系统内的弹力做功，动能和弹性势能相互转化，机械能的总量保持不变。(3)其它力的总功为零,机械能守恒（举例：木块压缩弹簧）2、对机械能守恒定律的理解：①“守恒”是时时刻刻都相等。②“守恒”是“进出相等”③要分清“谁”、“什么时候”守恒④、是否守恒与系统的选择有关⑤、⑴机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在内，因为重力势能就是小球和地球所共有的。另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。3、机械能守恒定律的各种表达形式⑴初状态=末状态⑵增加量=减少量用⑴时，需要规定重力势能的参考平面。用⑵时那么不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。尤其是用ΔE增=ΔE减，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。4、解题步骤⑴确定研究对象和研究过程。⑵判断机械能是否守恒。⑶选定一种表达式，列式求解。5、动能定理与机械能守恒的联系1、动能定理适用于任何物体（质点），机械能守恒定律适用于系统2、动能定理没有条件，机械能守恒定理有条件限制3、动能定理有时可改写成守恒定律-7-/7\n二、机械能守恒定律的综合应用BO例1、如以下图，质量分别为2m和3m的两个小球固定在一根直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。AO、BO的长分别为2L和L。开场时直角尺的AO局部处于水平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开场自由转动，求：⑴当A到达最低点时，A小球的速度大小v；⑵B球能上升的最大高度h；⑶开场转动后B球可能到达的最大速度vm。解析：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。v1/2ABOv1OABαBOθαθA⑴⑵⑶⑴过程中A的重力势能减少，A、B的动能和B的重力势能增加，A的即时速度总是B的2倍。，解得⑵B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向左偏了α角。2mg2Lcosα=3mgL（1+sinα），此式可化简为4cosα-3sinα=3，解得sin（53°-α）=sin37°，α=16°⑶B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功WG。设OA从开场转过θ角时B球速度最大，=2mg2Lsinθ-3mgL（1-cosθ）-7-/7\n=mgL（4sinθ+3cosθ-3）≤2mgL，解得例2、如以下图，半径为的光滑半圆上有两个小球，质量分别为，由细线挂着，今由静止开场无初速度自由释放，求小球升至最高点时两球的速度？解析：球沿半圆弧运动，绳长不变，两球通过的路程相等，上升的高度为；球下降的高度为；对于系统，由机械能守恒定律得：；例3、如以下图，均匀铁链长为，平放在距离地面高为的光滑水平面上，其长度的悬垂于桌面下，从静止开场释放铁链，求铁链下端刚要着地时的速度？解：选取地面为零势能面：得：K例4、如以下图，粗细均匀的U形管内装有总长为4L的水。开场时阀门K闭合，左右支管内水面高度差为L。翻开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（管的内部横截面很小，摩擦忽略不计）解析：由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L-7-/7\n/2的水柱由左管移到右管。系统的重力势能减少，动能增加。该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力势能的减少。不妨设水柱总质量为8m，那么，得。点评：需要注意的是研究对象仍然是整个水柱，到两个支管水面相平时，整个水柱中的每一小局部的速率都是相同的。例5、如以下图，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动，在轨道的任何地方都不能脱轨。试问：在没有任何动力的情况下，列车在水平轨道上应具有多大初速度v0，才能使列车通过圆形轨道而运动到右边的水平轨道上？解析：当游乐车灌满整个圆形轨道时，游乐车的速度最小，设此时速度为v，游乐车的质量为m，那么据机械能守恒定律得：要游乐车能通过圆形轨道，那么必有v>0，所以有 例6、小球在外力作用下，由静止开场从A点出发做匀加速直线运动，到B点时消除外力。然后，小球冲上竖直平面内半径为R的光滑半圆环，恰能维持在圆环上做圆周运动，到达最高点C后抛出，最后落回到原来的出发点A处，如以下图，试求小球在AB段运动的加速度为多大？ 解析：要题的物理过程可分三段：从A到孤匀加速直线运动过程；从B沿圆环运动到C的圆周运动，且注意恰能维持在圆环上做圆周运动，在最高点满足重力全部用来提供向心力；从C回到A的平抛运动。-7-/7\n根据题意，在C点时，满足①从B到C过程，由机械能守恒定律得②由①、②式得从C回到A过程，满足③水平位移s=vt，④由③、④式可得s=2R从A到B过程，满足⑤∴例7、如以下图，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道。假设小球在两圆轨道的最高点对轨道压力都恰好为零，试求水平CD段的长度。解析：（1）小球在光滑圆轨道上滑行时，机械能守恒，设小球滑过C点时的速度为，通过甲环最高点速度为v′，根据小球对最高点压力为零，由圆周运动公式有①取轨道最低点为零势能点，由机械守恒定律②由①、②两式消去v′，可得同理可得小球滑过D点时的速度，设CD段的长度为l，对小球滑过CD段过程应用动能定理，将、代入，可得-7-/7\n三、针对训练1．将一球竖直上抛，假设该球所受的空气阻力大小不变，那么其力大小不变，那么其上升和下降两过程的时间及损失的机械能的关系是（Ｃ）A．>，>B．<，<C．<，=D．=，=2．如以下图，质量、初速度大小都相同的A、B、C三个小球，在同一水平面上，A球竖直上抛，B球以倾斜角θ斜和上抛，空气阻力不计，C球沿倾角为θ的光滑斜面上滑，它们上升的最大高度分别为、、，那么（Ｃ）A．B．C．D．3．质量相同的两个小球，分别用长为l和2l的细绳悬挂在天花板上，如以下图，分别拉起小球使线伸直呈水平状态，然后轻轻释放，当小球到达最低位置时（ＣＤ）A．两球运动的线速度相等B．两球运动的角速度相等C．两球运动的加速度相等D．细绳对两球的拉力相等4．一个人站在阳台上，以相同的速率v0，分别把三个球竖直向上抛出，竖直向下抛出，水平抛出，不计空气阻力，那么三球落地时的速率（Ｄ）A．上抛球最大B．下抛球最大C．平抛球最大D．三球一样大-7-/7\n5．质量为m的人造地球卫星，在环绕地球的椭圆轨道上运行，在运行过程中它的速度最大值为，当卫星由远地点运行到近地点的过程中，地球引力对它做的功为W，那么卫星在近地点处的速度为________，在远地点处的速度为______。（，）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mwww.ks5u.com-7-/7
