第56课立体几何中的翻折问题1.（2022东城一模）如图，在边长为的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将沿折起到的位置，使平面平面，连结，.（如图）（1）若为中点，求证：∥平面；（2）求证：.证明：（1）取中点，连结．在中，分别为的中点，∴∥，且．∵，∴∥,且，∴∥，且．∴四边形为平行四边形，∴∥．又∵平面，且平面，∴∥平面．（2）取中点，连结.∵，，∴，而，即是正三角形.又∵,∴.∴在图2中有.∵平面平面，平面平面，∴⊥平面.4\n又平面，∴⊥.2．（2022海淀一模）已知菱形中，，（如图1所示），将菱形沿对角线翻折，使点翻折到点的位置（如图2所示），点，，分别是，，的中点．（1）证明：//平面；（2）证明：；（3）当时，求线段的长．证明：（1）∵点分别是的中点，∴．又平面，平面，∴平面．（2）在菱形中，设为的交点， 则． ∴在三棱锥中，. 又 ∴平面． 又平面，∴． （3）连结．在菱形中，， ∴是等边三角形，∴． ∵为中点，∴．又，．∴平面，即平面．又平面，∴．∵，，∴．4\n3．（2022汕头二模）如图，在边长为4的菱形中，，点、分别在边、上．点与点、不重合，，，沿将翻折到的位置，使平面平面．（1）求证：平面；（2）记三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，且，求此时线段的长．【解析】（1）证明：在菱形中，∵，∴．∵，∴，∵平面⊥平面，平面平面，且平面，∴平面，∵平面，∴．∵，∴平面．（2）设．由（1）知，平面，∴为三棱锥及四棱锥的高，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴∽．∴，∴，4\n∴．4．（2022西城一模）如图，矩形中，，．，分别在线段和上，∥，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．（1）求证：∥平面；（2）若，求证：；（3）求四面体体积的最大值．【解析】（1）证明：∵四边形，都是矩形，∴∥∥，．∴四边形是平行四边形，∴∥，∵平面，∴∥平面．（2）证明：设．∵平面平面，且，∴平面，∴．又，∴四边形为正方形，∴．∴平面，∴．（3）设，则，其中．由（1）得平面，∴四面体的体积为．∴．当且仅当，即时，取等号，∴时，四面体的体积最大．4
