课后限时集训(三十) 正弦定理、余弦定理建议用时：40分钟一、选择题1．(2020·大连测试)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cosC＝( )A．B．±C．－D．D [由正弦定理得＝，∴sinC＝＝＝.又AB＜AC，∴0＜C＜B＝60°，∴cosC＝＝.故选D.]2．(2020·南昌模拟)在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c＝( )A．2B．2C．2D．B [由S＝absinC＝2a×＝2，解得a＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12，故c＝2.]3．(多选)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，以下四个结论中，正确的是( )A．若a＞b＞c，则sinA＞sinB＞sinCB．若A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinCC．acosB＋bcosA＝cD．若a2＋b2＞c2，则△ABC是锐角三角形ABC [对于A，由于a＞b＞c，由正弦定理＝＝，可得sinA＞sinB＞sinC，故A正确；对于B，A＞B＞C，由大边对大角可知，a＞b＞c，由正弦定理＝＝，可得sinA＞sinB＞sinC，故B正确；对于C，根据正弦定理可得acosB＋bcosA＝2R(sinAcosB＋sinBcosA)＝2Rsin(B＋A)＝2Rsin(π－C)＝2RsinC＝c(其中R为△ABC的外接圆半径)，故C正确；对于D，a2＋b2＞c2，由余弦定理可得cosC＝＞0，由C∈(0，π)，可得C\n是锐角，但A或B可能为钝角，故D错误．]4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则cosB＝( )A．B．C．D．A [由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝16＋9－2×4×3×＝9，AB＝3，所以cosB＝＝，故选A.]5．(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则( )A．若2cosC(acosB＋bcosA)＝c，则C＝B．若2cosC(acosB＋bcosA)＝c，则C＝C．若边BC的高为a，则当＋取得最大值时，A＝D．若边BC的高为a，则当＋取得最大值时，A＝AC [因为在△ABC中，0＜C＜π，所以sinC≠0.对于A，B，利用正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，整理得2cosCsin(A＋B)＝sinC，即2cosCsin[π－(A＋B)]＝sinC，即2cosCsinC＝sinC，又sinC≠0，所以cosC＝，所以C＝，故A正确，B错误．对于C，D，由等面积法得×a2＝bcsinA，所以a2＝2bcsinA，又b2＋c2＝a2＋2bccosA＝2bcsinA＋2bccosA，则＋＝＝2sinA＋2cosA＝4sin≤4，当且仅当A＋＝＋2kπ，k∈Z，即A＝＋2kπ，k∈Z时，＋取得最大值4，又0＜A＜π，所以A＝.故C正确，D错误．]6．(多选)(2020·山东烟台期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是( )A．sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6B．△ABC是钝角三角形C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍\nD．若c＝6，则△ABC的外接圆的半径为ACD [因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可设(其中x＞0)，解得所以由正弦定理可得sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，所以A正确．由上可知边a最短，边c最长，所以角A最小，角C最大．又cosA＝＝＝，cosC＝＝＝，所以cos2A＝2cos2A－1＝，所以cos2A＝cosC，由三角形中角C最大且角C为锐角，可得△ABC是锐角三角形，且2A∈(0，π)，C∈，所以2A＝C，所以B错误，C正确．设△ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理得2R＝，又sinC＝＝，所以2R＝，解得R＝，所以D正确．故选ACD.]二、填空题7．在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________.1 [由a＝c得sinA＝sinC，即sin＝sinC，∴sinC＝，又0＜C＜，∴C＝，从而B＝，∴b＝c，因此＝1.]8．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，则B＝________. [∵bsinA＋acosB＝0，∴＝.由正弦定理，得－cosB＝sinB，∴tanB＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝.]9．(2020·北京高考适应性考核)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a\n＝4，b＝5，c＝6，则cosA＝________，△ABC的面积为________． [依题意得cosA＝＝，所以sinA＝＝，所以△ABC的面积为bcsinA＝.]三、解答题10．[结构不良试题](2020·北京西城区统一测试)已知△ABC满足________，且b＝，A＝，求sinC的值及△ABC的面积．从①B＝，②a＝，③a＝3sinB这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．[解] 当选择条件①时，∵B＝，A＝，∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×－×＝.由正弦定理＝，得＝，解得a＝3，∴S△ABC＝absinC＝.当选择条件②时，∵a＜b，∴A＜B，又A为钝角，∴无解．当选择条件③时，由题意得B为锐角．由正弦定理＝，得＝，得sinB＝，∴a＝3，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×－×＝.∴S△ABC＝absinC＝.11．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cosA＝.(1)求A；\n(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．[解] (1)由已知得sin2A＋cosA＝，即cos2A－cosA＋＝0.所以2＝0，cosA＝.由于0<A<π，故A＝.(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sinB－sinC＝sinA.由(1)知B＋C＝，所以sinB－sin＝sin.即sinB－cosB＝，sin＝.由于0<B<，故B＝.从而△ABC是直角三角形．1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的外接圆的面积为3π，且cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sinAsinC，则△ABC的最大边长为( )A．2B．3C．D．2C [由cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sinAsinC得1－sin2A－1＋sin2B＋1－sin2C＝1＋sinAsinC，即－sin2A＋sin2B－sin2C＝sinAsinC，由正弦定理得b2－a2－c2＝ac，即c2＋a2－b2＝－ac，则cosB＝＝＝－，则B＝150°，即最大值的边为b，∵△ABC的外接圆的面积为3π，设外接圆的半径为R，∴πR2＝3π，得R＝，则＝2R＝2，即b＝2sinB＝2×＝，故选C.]2．(2020·广西桂林模拟)在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形D [由已知＝＝＝，\n所以＝或＝0，即C＝90°或＝，由正弦定理，得sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B，因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.]3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sinAsinB＝cos2，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的面积．[解] (1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，得a2－b2－c2＝－bc，∴cosA＝＝，又0＜A＜π，∴A＝.由sinAsinB＝cos2，得sinB＝，即sinB＝1＋cosC，则cosC＜0，即C为钝角，∴B为锐角，且B＋C＝，则sin＝1＋cosC，化简得cos＝－1，解得C＝，∴B＝.(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，由余弦定理得AM2＝b2＋2－2b··cosC＝b2＋＋＝()2，解得b＝2，故S△ABC＝absinC＝×2×2×＝.1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sinAsinC，且sinA＋sinC＝1，则△ABC的形状为( )\nA．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为150°的等腰三角形D．顶角为120°的等腰三角形D [∵cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sinAsinC，∴(1－sin2A)－(1－sin2B)＋(1－sin2C)＝1＋sinAsinC，∴可得sin2A＋sin2C－sin2B＝－sinAsinC，∴根据正弦定理得a2＋c2－b2＝－ac，∴由余弦定理得cosB＝＝＝－，∵B∈(0°，180°)，∴B＝120°，∵sin2B＝sin2A＋sin2C＋sinAsinC.∴变形得＝(sinA＋sinC)2－sinAsinC，又∵sinA＋sinC＝1，得sinAsinC＝，∴上述两式联立得sinA＝sinC＝，∵0°＜A＜60°，0°＜C＜60°，∴A＝C＝30°，∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形，故选D.]2．[结构不良试题](2020·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sinC和△ABC的面积．条件①：c＝7，cosA＝－；条件②：cosA＝，cosB＝.[解] 选条件①：c＝7，cosA＝－，且a＋b＝11.(1)在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝＝＝－，解得a＝8.(2)∵cosA＝－，A∈(0，π)，∴sinA＝.\n在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴sinC＝＝＝.∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，∴S△ABC＝absinC＝×8×3×＝6.若选条件②：cosA＝，cosB＝，且a＋b＝11.(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cosA＝，cosB＝，∴sinA＝，sinB＝.在△ABC中，由正弦定理，可得＝，∴＝＝＝.又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5.(2)sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝＝.∴S△ABC＝absinC＝×6×5×＝.
