课后限时集训(六十三) 二项式定理建议用时：25分钟一、选择题1．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C等于( )A．63B．64C．31D．32A [运用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.]2．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )A．12B．16C．20D．24A [展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12.]3．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2项的系数为( )A．10B．20C．30D．60C [法一：利用二项展开式的通项公式求解．(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2项的系数为CC＝30.故选C.法二：利用组合知识求解．(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.]4．(多选)在(1＋2x)8的展开式中，下列说法正确的是( )A．二项式系数最大的项为1120x4B．常数项为2C．第6项与第7项的系数相等D．含x3的项的系数为480AC [因为n＝8，所以二项式系数最大的项为T5，T5＝C(2x)4＝1120x4，A正确；(1＋2x)8展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr，令r＝0，得常数项为1，B错误；第6项为T6＝25Cx5＝1792x5，第7项为T7＝26Cx6＝1792x6，第6项与第7项的系数相等，C正确；含x3的项为\nT3＝C(2x)3＝448x3，其系数为448，D错误．故选AC.]5．在(x－2)6展开式中，二项式系数的最大值为a，含x5项的系数为b，则＝( )A．B．－C．D．－B [由条件知a＝C＝20，b＝C(－2)1＝－12，∴＝－，故选B.]6．(多选)已知4的展开式中各项系数之和为A，第二项的二项式系数为B，则( )A．A＝256B．A＋B＝260C．展开式中存在常数项D．展开式中含x2项的系数为54ABD [令x＝1，得4的展开式中各项系数之和为44＝256，所以A＝256，选项A正确；4的展开式中第二项的二项式系数为C＝4，所以B＝4，A＋B＝260，选项B正确；4的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(3x2)4－rr＝34－rCx8－3r，令8－3r＝0，则r＝，所以展开式中不存在常数项，选项C错误；令8－3r＝2，则r＝2，所以展开式中含x2项的系数是34－2C＝54，选项D正确．]7．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝( )A．284B．356C．364D．378C [令x＝0，则a0＝1；令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36， ①令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1， ②①②两式左右分别相加，得2(a0＋a2＋…＋a12)＝36＋1＝730，所以a0＋a2＋…＋a12＝365.又a0＝1，所以a2＋a4＋…＋a12＝364.]二、填空题\n8．在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展开式中，含x2项的系数是________．20 [含x2项的系数为C＋C＋C＋C＝20.]9．在6的展开式中，含x5项的系数为________________．－6 [由6＝C6－C5＋C4－…－C＋C，可知只有－C5的展开式中含有x5，所以6的展开式中含x5项的系数为－CC＝－6.]10．(2020·山东德州期末)6的展开式中，常数项为________，系数最大的项的系数是________．60 240 [6展开式的通项为Tr＋1＝C(2x2)6－r·r＝26－rCx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，故常数项为26－4C＝60.当r＝0时，系数为26×C＝64；当r＝1时，系数为25×C＝192；当r＝2时，系数为24×C＝240；当r＝3时，系数为23×C＝160；当r＝4时，系数为22×C＝60；当r＝5时，系数为21×C＝12；当r＝6时，系数为20C＝1.比较可得系数最大的项的系数是240.]1．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是( )A．5B．6C．7D．8B [由二项式定理知an＝C(n＝1,2,3，…，11)．又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，∴a6＝C，则k的最大值为6.]2．已知(2x－m)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7，若a0＋＋＋…＋＝－128，则下列等式不成立的是( )A．m＝2B．a3＝－280C．a0＝－1D．－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7＝14A [令1－x＝，即x＝，可得7＝(1－m)7＝a0＋＋＋…＋\n＝－128，得m＝3，则令x＝1，得a0＝(－1)7＝－1.(2x－3)7＝[－1－2(1－x)]7，所以a3＝C×(－1)7－3×(－2)3＝－280.对(2x－3)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7两边求导得14(2x－3)6＝－a1－2a2(1－x)－…－7a7(1－x)6，令x＝2，得－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7＝14.]3．(1＋ax)2(1－x)5的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a的值为________，展开式中x2项的系数为________．3 －11 [设(1＋ax)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，令x＝1得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7， ①令x＝－1得(1－a)225＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7， ②②－①得：(1－a)225＝－2(a1＋a3＋a5＋a7)，又a1＋a3＋a5＋a7＝－64，所以(1－a)225＝128，解得a＝3或a＝－1(舍)，则(1＋3x)2(1－x)5的展开式中x2项的系数为C32＋C×3×C(－1)＋C×30×C(－1)2＝－11.]4．若x10－x5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a5＝________.251 [x10－x5＝[(x－1)＋1]10－[(x－1)＋1]5，则a5＝C－C＝252－1＝251.]1．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm)．若a＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220,a≡b(mod10)，则b的值可以是( )A．2011B．2012C．2013D．2014A [因为a＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C1010－C109＋…－C10＋1，所以a被10除所得的余数为1.观察各选项，知2011被10除得的余数是1，故选A.]2．已知n(a＞0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法错误的是( )A．展开式中奇数项的二项式系数和为256B．展开式中第6项的系数最大C．展开式中存在常数项D．展开式中含x15项的系数为45A [因为n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，所以C＝C，得n＝10.因为展开式中各项系数之和为1024，所以令x＝1，得(a＋1)10＝1024，得a＝1.故给定的二项式为10，其展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝512，故A不正确．由\nn＝10可知二项式系数最大的项是展开式的第6项，而10展开式的系数与对应的二项式系数相等，故B正确．展开式的通项公式为Tk＋1＝C(x2)10－k·k＝Cx20－(k＝0,1,2，…，10)，令20－＝0，解得k＝8，即常数项为第9项，故C正确．令20－＝15，得k＝2.故展开式中含x15项的系数为C＝45.故D正确．]
