课后限时集训(三十一)正弦定理、余弦定理的综合应用建议用时：40分钟一、选择题1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°B [如图所示，由AC＝BC得∠CAB＝∠CBA＝45°.利用内错角相等可知，点A位于点B的北偏西15°，故选B.]2．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°，60°，则塔高为( )A.mB．mC.mD．mA [如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝120°，又AB＝200m，∴AC＝m.在△ACD中，由正弦定理，得＝，即DC＝＝(m)．]3．(2020·武昌区模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )A．6海里B．6海里C．8海里D．8海里\nA [由题意可知：∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°－65°＝45°，∴∠ABC＝180°－30°－45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12，在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，∴BC＝6，故选A.]4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A＋cos2B＝2cos2C，则cosC的最小值为( )A.B．C.D．－C [因为cos2A＋cos2B＝2cos2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cosC＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，故选C.]5．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝8，b<4，c＝7，且满足(2a－b)cosC＝ccosB，则下列结论正确的是( )A．C＝60° B．△ABC的面积为6C．b＝2D．△ABC为锐角三角形AB [∵(2a－b)cosC＝ccosB，∴(2sinA－sinB)cosC＝sinCcosB，∴2sinAcosC＝sinBcosC＋cosBsinC，即2sinAcosC＝sin(B＋C)，∴2sinAcosC＝sinA．∵在△ABC中，sinA≠0，∴cosC＝，∴C＝60°，A正确．由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得49＝64＋b2－2×8bcos60°，即b2－8b＋15＝0，解得b＝3或b＝5，又b<4，∴b＝3，C错误．∴△ABC的面积S＝absinC＝×8×3×＝6，B正确．又cosA＝＝<0，∴A为钝角，△ABC为钝角三角形，D错误．]6．(多选)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列四个结论中正确的是( )A．若＝，则B＝B．若B＝，b＝2，a＝，则满足条件的三角形共有两个\nC．若a，b，c成等差数列，sinA，sinB，sinC成等比数列，则△ABC为正三角形D．若a＝5，c＝2，△ABC的面积为4，则cosB＝AC [对于A，由正弦定理可得tanB＝1，又B∈(0，π)，所以B＝，故A正确；对于B，由于b>a，所以△ABC为钝角三角形，满足条件的三角形只有1个，故B错误；对于C，由等差数列的性质，可得a＋c＝2b≥2，得b2≥ac，由等比数列的性质得sinAsinC＝sin2B，得ac＝b2，所以a＝b＝c，△ABC为等边三角形，C正确；对于D，S＝acsinB＝5sinB＝4，sinB＝，又<<，所以<B<或<B<，所以cosB＝或－，故D错误．综上所述，选AC.]二、填空题7．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．10 [如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，AC＝10，∠CAB＝60°，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．]8．(2020·湖北孝感统考)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝2，A＝，则asinC＝________，a＋b的取值范围是________． (＋1,4＋2) [由正弦定理，可得＝，则asinC＝csinA＝2sin＝.由＝＝，可得a＝＝，b＝＝，所以a＋b＝＋＝1＋＝1＋＝1＋.由△ABC是锐角三角形，可得0<C<，0＜－C<，则<C<，所以<<，2－<tan<1，所以1＋<a＋b<1＋＝4＋2，所以a＋b的取值范围为(＋1,4＋2)．]\n9.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为________． [设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝，BC＝.在△ABD中，cos∠ADB＝＝，∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.在△BDC中，＝，∴sinC＝＝.]三、解答题10．(2020·福州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设bsinA＝a(2＋cosB)．(1)求B；(2)若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．[解] (1)因为bsinA＝a(2＋cosB)．由正弦定理得sinBsinA＝sinA(2＋cosB)．显然sinA＞0，所以sinB－cosB＝2.所以2sin＝2，∵B∈(0，π)．所以B－＝，∴B＝.(2)依题意＝，∴ac＝4.所以a＋c≥2＝4，当且仅当a＝c＝2时取等号．又由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2＋ac≥3ac＝12.∴b≥2.当且仅当a＝c＝2时取等号．所以△ABC的周长最小值为4＋2.11.(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD＝，BC＝.\n(1)若CD＝1＋，求四边形ABCD的面积；(2)若sin∠BCD＝，∠ADC∈，求sin∠ADC.[解] (1)连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，故BD＝2，△BCD中，由余弦定理可得，cosC＝＝＝，因为C为三角形的内角，故C＝，所以S△ABD＝AB·AD＝×1×＝，S△BCD＝BC·CDsinC＝××(1＋)×＝，故求四边形ABCD的面积S＝＋.(2)在△BCD中，由正弦定理可得＝，所以sin∠BDC＝＝，因为∠ADC∈，所以∠BDC∈，cos∠BDC＝，Rt△ABD中，tan∠ADB＝＝，故∠ADB＝，所以sin∠ADC＝sin＝×＋×＝.1．(2020·朝阳区二模)圭表(如图①)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图②是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a，则表高(即AC的长)为( )\n图①图②A．B．C．D．D [由题可知：∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°，在△BAD中，由正弦定理可知：＝，即＝，则AD＝，又在△ACD中，＝sin∠ADC＝sin73.5°，所以AC＝，故选D.]2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝30，c＝20，若bsinC＝20cos，则b＝________，sin(2C－B)＝________.10 [在△ABC中，由正弦定理＝，得bsinC＝csinB．又bsinC＝20cos，∴csinB＝ccos，sinB＝cos，∴tanB＝.又0<B<π，∴B＝.在△ABC中，由余弦定理得b2＝202＋302－2×20×30×cos＝700，∴b＝10，由bsinC＝20cos，得sinC＝.∵a>c，∴cosC＝，∴sin(2C－B)＝sin2CcosB－cos2CsinB＝2sinCcosCcos－(cos2C－sin2C)sin＝2×××－×＝.]\n3．(2020·凉山模拟)如图，在平面四边形ABCD中，∠D＝，sin∠BAC＝cosB＝，AB＝13.(1)求AC；(2)求四边形ABCD面积的最大值．[解] (1)在三角形ABC中，sin∠BAC＝cosB＝，可得AC⊥BC，AB＝13，所以BC＝AB·cosB＝13×＝5，AC＝AB·sinB＝13×＝12，所以AC＝12.(2)S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝AC·BC＋AD·CD·sinD＝×12×5＋×AD·CD＝30＋·AD·CD，在三角形ADC中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·DC·cos≥2AD·DC＋DC＝3AD·DC，所以3AD·DC≤AC2＝122，所以AD·DC≤48，所以S四边形ABCD≤30＋·48＝30＋12.所以四边形ABCD面积的最大值为30＋12.1．(2020·泉州模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．80 [由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理＝，\n得BC＝＝＝160sin15°＝40(－)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1600×(8＋4)＋1600×(8－4)＋2×1600×(＋)×(－)×＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32000，解得AB＝80.故图中海洋蓝洞的口径为80.]2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD＝5，CE＝3，且△EDC的面积为3.(1)求边DE的长；(2)若AD＝3，求sinA的值．[解] (1)如图，在△ECD中，S△ECD＝CE·CDsin∠DCE＝×3×5×sin∠DCE＝3，所以sin∠DCE＝.因为0°＜∠DCE＜90°，所以cos∠DCE＝＝.所以DE2＝CE2＋CD2－2CD·CEcos∠DCE＝9＋25－2×3×5×＝28，所以DE＝2.(2)因为∠ACB＝90°，所以sin∠ACD＝sin(90°－∠DCE)＝cos∠DCE＝，在△ADC中，由正弦定理得＝，即＝，所以sinA＝.
