【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第8章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．(2014·浙江高考)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是________．[解析] 由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r＝.圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝.由r2＝d2＋2得2－a＝2＋4，所以a＝－4.[答案] －42．(2012·安徽高考改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是________．[解析] 由题意知，圆心为(a,0)，半径r＝.若直线与圆有公共点，则≤.∴|a＋1|≤2.∴－3≤a≤1.[答案] [－3,1]3．(2014·连云港检测)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝________.[解析] 依题意，可设圆心坐标为(a，a)、半径为r，其中r＝a>0，因此圆的方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝×＝8.[答案] 84．(2014·宿迁模拟)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_________________．[解析] 由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知2＋2＝(a－1)2，解得a＝3或a＝－1，又圆心在x轴的正半轴上，∴a＝3，故圆心坐标为(3,0)．∵圆心(3,0)在所求的直线上，∴3＋0＋m＝0，即m5\n＝－3，故所求的直线方程为x＋y－3＝0.[答案] x＋y－3＝05．(2014·山东高考)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为______________________．[解析] 设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，由题意得a＝2b>0，且a2＝()2＋b2，解得a＝2，b＝1.∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.[答案] (x－2)2＋(y－1)2＝46．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程是________．[解析] 圆心Q(2,0)，点P(1，)在圆上，则过点P的切线与直线PQ垂直，∵kPQ＝＝－，∴过点P的切线方程为y－＝(x－1)即x－y＋2＝0.[答案] x－y＋2＝07．(2014·南京质检)从原点向圆x2＋y2－12y＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．[解析] 设过原点的圆的切线是y＝kx，由x2＋(y－6)2＝9，容易求得k＝±.所以两切线的夹角为.所以两条切线间的劣弧所对的圆心角为π－＝，劣弧长为l＝αR＝×3＝2π.[答案] 2π8．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为________．[解析] 将圆的方程化为标准方程，得(x＋a)2＋y2＝4，x2＋(y－2b)2＝1，两圆有三条公切线，即两圆相外切，所以圆心距等于两半径之和．故有a2＋4b2＝9，∴(a2＋4b2)＝1，∴＋＝(a2＋4b2)＝≥(5＋2)＝1当且仅当a2＝2b2时，等号成立，即＋的最小值为1.[答案] 1二、解答题9．(2014·盐城一中检测)已知圆C：x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线l：x＋2y－3＝0.(1)若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；5\n(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．[解] (1)圆的方程化为2＋(y－3)2＝，故有>0，解得m<.由消去y，得x2＋2＋x－6×＋m＝0，整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0.①∵直线l与圆C没有公共点，∴方程①无解．故有Δ＝102－4×5(4m－27)<0，解得m>8.∴m的取值范围是.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由OP⊥OQ，得·＝0，即x1x2＋y1y2＝0.②由①及根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝.③又P，Q在直线x＋2y－3＝0上，∴y1y2＝×＝[9－3(x1＋x2)＋x1x2]．将③代入上式，得y1y2＝，④将③④代入②得x1x2＋y1y2＝＋＝0，解得m＝3.代入方程①检验得Δ>0成立，∴m＝3.10．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x－y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)若圆O上有两点M、N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝2，求直线MN的方程．[解] (1)依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，即r＝＝2.所以圆O的方程为x2＋y2＝4.(2)由题意，可设直线MN的方程为2x－y＋m＝0.5\n则圆心O到直线MN的距离d＝.由垂径分弦定理得：＋()2＝22，即m＝±.所以直线MN的方程为：2x－y＋＝0或2x－y－＝0.[B级 能力提升练]一、填空题1．(2014·北京高考改编)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为________．[解析] 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.[答案] 62．(2014·扬州质检)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．[解析] 由题意⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O1A⊥OA.又∵|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5，又A、B关于OO1对称，5\n所以AB为Rt△OAO1斜边上高的2倍，∴|AB|＝2×＝4.[答案] 4二、解答题3．已知平面直角坐标系xOy中O是坐标原点，A(6,2)，B(8,0)，圆C是△OAB的外接圆，过点(2,6)的直线l被圆C所截得的弦长为4.(1)求圆C的方程及直线l的方程；(2)设圆N的方程为(x－4－7cosθ)2＋(y－7sinθ)2＝1(θ∈R)，过圆N上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求·的最大值．[解](1)因为A(6,2)，B(8,0)，所以△OAB为以OB为斜边的直角三角形，所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.当直线l的斜率不存在时，l：x＝2，被圆C截得的弦长为4，所以l：x＝2符合题意．当直线l的斜率存在时，设l：y－6＝k(x－2)，即kx－y＋6－2k＝0.因为被圆C截得弦长为4，所以圆心C到直线的距离为2.所以＝2，解得k＝－，所以l：y－6＝－(x－2)，即4x＋3y－26＝0.综上，直线l的方程为x＝2或4x＋3y－26＝0.(2)因为圆心N(4＋7cosθ，7sinθ)，若设N(x，y)，则所以(x－4)2＋y2＝49.即圆心N在以(4,0)为圆心，7为半径的圆周上运动．如图，设∠ECF＝2α，则·＝||·||·cos2α＝16cos2α＝32cos2α－16.在Rt△PCF中，cosα＝＝.由圆的几何性质得NC＋1≥PC≥NC－1＝7－1＝6，所以≤cosα≤.由此可得·≤－，则·的最大值为－.5
