课后限时集训(六十) 用样本估计总体建议用时：40分钟一、选择题1．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A．45B．50C．55D．60B [由频率分布直方图，知低于60分的频率为(0.010＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n＝＝50.]2．(多选)在某次大学生辩论赛中，辩论赛有7位评委进行评分，首先这7位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从7个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分，则5个有效评分与7个原始评分相比，可能变化的数字特征是( )A．中位数B．平均数C．方差D．极差BCD [因为5个有效评分是7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化，所以变化的数字特征是平均数、方差、极差，故选BCD.]3．小凯利用上下班时间跑步健身，随身佩戴的手环记录了近11周的跑步里程(单位：km)的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是( )A．剔除第8周数据，周跑步里程逐周增加B．周跑步里程的极差为20km\nC．周跑步里程的平均数低于第7周对应的里程数D．周跑步里程的中位数为第6周对应的里程数C [剔除第8周数据，周跑步里程逐周有增有减，A错；周跑步里程的极差比20km稍小，B错；周跑步里程的中位数为第5周对应的里程数，D错．故选C.]4．(多选)已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论正确的有( )A．甲命中个数的极差是29B．甲命中个数的中位数是25C．甲的命中率比乙高D．乙命中个数的众数是21ACD [对于A，甲命中个数的极差是37－8＝29，所以A正确；对于B，甲命中个数从小到大排列为8,12,13,20,22,24,25,26,27,37，所以中位数是×(22＋24)＝23，B错误；对于C，甲组数据多集中在20以上，乙组数据多集中在20以下，所以甲的命中率比乙高，C正确；对于D，乙组数据出现次数最多的是21，所以它的众数是21，D正确．故选ACD.]5．某教研机构随机抽取某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是( )A BC D\nA [由频率分布直方图可知，[0,5)的频数为20×0.01×5＝1，[5,10)的频数为20×0.01×5＝1，[10,15)的频数为20×0.04×5＝4，[15,20)的频数为20×0.02×5＝2，[20,25)的频数为20×0.04×5＝4，[25,30)的频数为20×0.03×5＝3，[30,35)的频数为20×0.03×5＝3，[35,40]的频数为20×0.02×5＝2，则对应的茎叶图为A.]6．(多选)新冠肺炎疫情的出现警示我们，人类不文明的行为为各种致病细菌和病毒提供了传播途径，成为现代文明生活的致命软肋，对人类的健康和生命构成了严重威胁．首都文明工程基金会和文明杂志社倡议启动新时代文明工程：呼吁社会公益组织、新媒体和企业机构携手——“餐桌革命公筷行动”！某机构调查了某地区部分居民疫情前后对餐桌革命(公筷公勺、分餐制)的支持情况，得到如下统计图，则下列说法正确的是( )疫情前对餐桌革命的支持情况①不支持 ②仅支持分餐 ③仅支持公筷公勺 ④支持疫情后对餐桌革命的支持情况①不支持 ②仅支持分餐 ③仅支持公筷公勺 ④支持A．疫情后仅支持公筷公勺和仅支持分餐的居民均增多B．疫情前后仅支持公筷公勺的居民均多于仅支持分餐的居民C．疫情后，不支持餐桌革命的比例下降幅度低于支持餐桌革命的上升幅度D．疫情后，人们的健康饮食意识明显提高ABD [由饼图可知，疫情后仅支持公筷公勺和仅支持分餐的比例分别上升至10%,7%，故A正确；疫情前后，仅支持公筷公勺的比例分别为8%,10%，仅支持分餐的比例分别为5%,7%，故B正确；疫情后，不支持餐桌革命的比例下降了42%，支持餐桌革命的比例上升了38%，故C错误；由题图易得，人们的健康饮食意识明显提高，故D正确．]二、填空题7．已知样本数据x1，x2，…，xn的平均数＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为________．\n11 [由x1，x2，…，xn的平均数＝5，得2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为2＋1＝2×5＋1＝11.]8．(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为____________．0.98 [经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为＝0.98.]9．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度为________；(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)的人数为________．(1)0.04 (2)440 [设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.则志愿者年龄在[25,35)年龄组的频率为5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25,35)年龄组的人数约为0.55×800＝440.]三、解答题10．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41．6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？\n[解] (1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为，由观测结果可得＝×(0.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.8＋1.8＋2.2＋2.3＋3.2＋3.5＋2.5＋2.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.9＋3.0＋3.1＋2.3＋2.4)＝2.3，＝×(3.2＋1.7＋1.9＋0.8＋0.9＋2.4＋1.2＋2.6＋1.3＋1.4＋1.6＋0.5＋1.8＋0.6＋2.1＋1.1＋2.5＋1.2＋2.7＋0.5)＝1.6.由以上计算结果可得>，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎“2.”“3.”上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎“0.”“1.”上，由此可看出A药的疗效更好．11．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．[解] (1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.\n(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×＝20.(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中分数不小于70的男生人数为60×＝30.所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.1．(多选)某校高三年级共有800名学生参加了数学测验(满分150分)，已知这800名学生的数学成绩均不低于90分，将这800名学生的数学成绩分组如下：[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是( )A．a＝0.045B．这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为160C．这800名学生数学成绩的中位数约为121.4D．这800名学生数学成绩的平均数为125BC [对于A，由频率和为1得(0.010×2＋0.025＋a＋0.015＋0.005)×10＝1，解得a＝0.035，所以A错误；对于B，这800名学生中数学成绩在110分以下的人数为：0．010×2×10×800＝160，所以B正确；对于C，这800名学生数学成绩的中位数为：120＋≈121.4，所以C正确；\n对于D，这800名学生数学成绩的平均数为：95×0.010×10＋105×0.010×10＋115×0.025×10＋125×0.035×10＋135×0.015×10＋145×0.005×10＝120.所以D错误．故选BC.]2．气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数，单位：℃)：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.其中肯定进入夏季的地区有( )A．①②B．①③C．②③D．①②③B [甲地的5个数据的中位数为24，众数为22，则甲地连续5天的日平均温度的记录数据中必有22,22,24，其余2天的记录数据大于24，且不相等，故甲地符合进入夏季的标准．乙地的5个数据的中位数为27，总体均值为24，当5个数据为19,20,27,27,27时，其连续5天的日平均温度中有低于22℃的，此时乙地不符合进入夏季的标准．丙地的5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，设其余4个数据分别为x1，x2，x3，x4，则总体方差s2＝×[(32－26)2＋(x1－26)2＋(x2－26)2＋(x3－26)2＋(x4－26)2]＝7.2＋[(x1－26)2＋(x2－26)2＋(x3－26)2＋(x4－26)2]．若x1≤21，则s2≥7.2＋5＝12.2，即s2>10.8，不满足题意，所以x1，x2，x3，x4均大于或等于22，故丙地符合进入夏季的标准．综上所述，肯定进入夏季的地区有①③.故选B.]3．某小区为了让居民了解更多垃圾分类的知识，对500名小区居民进行了培训，并进行了培训结果测试，从中随机抽取50名居民的成绩(单位：分)，按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，并制成了如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是________(填序号)．①所抽取的50名居民成绩的平均数约为74②所抽取的50名居民成绩的中位数约为75\n③所抽取的50名居民成绩的众数约为65、75④参加培训的居民中约有100人的成绩不低于85分①④ [由频率分布直方图可得，成绩在[80,90)内的频率为1－(0.01＋0.03＋0.03＋0.01)×10＝0.2，则x＝0.02.故可估计所抽取的50名居民成绩的平均数为(55×0.01＋65×0.03＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01)×10＝74，所以①正确．由频率分布直方图可知，成绩在[50,60)内的频率为0.1，成绩在[60,70)内的频率为0.3，成绩在[70,80)内的频率为0.3，所以中位数在[70,80)内．设中位数约为70＋y，则0.03y＝0.5－0.1－0.3＝0.1，解得y≈3.33，所以所求中位数约为73.33，所以②错误．最高矩形是第二个、第三个(从左往右数)，这两个最高矩形数据的中间值为70，所以所求众数约为70，所以③错误．由频率分布直方图可得成绩在[80,90)内的频率为0.2，则成绩在[85,90)内的频率为0.1，又成绩在[90,100]内的频率为0.1，所以参加培训的居民中成绩不低于85分的约有500×0.1＋500×0.1＝100(人)．故④正确．]4．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表．A地区用户满意度评分的频率分布直方图图①B地区用户满意度评分的频率分布表满意度评分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数2814106(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；B地区用户满意度评分的频率分布直方图图②\n(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．[解] (1)作出频率分布直方图如图：通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．1．近年来，我国国内文化和旅游市场潜力不断释放，大众出游热情持续高涨，行业发展整体呈好的趋势，以下为2011－2019年我国国内旅游收入情况统计图．根据统计图，下列结论正确的是( )A．与2018年相比，2019年国内旅游收入增幅约为19.61%B．2011－2019年国内旅游收入的中位数为3.3万亿元C．2011－2019年国内旅游收入的平均数约为3.5万亿元\nD．若每年国内旅游收入y(万亿元)与年份x线性相关，且满足＝(x－2010)＋1.205，则估计2020年的国内旅游收入为7.2万亿元A [选项A，由图可知，2019年国内旅游收入比2018年增长了1万亿元，增幅约为×100%≈0.1961×100%＝19.61%，故A选项正确．选项B，将2011－2019年这九年的国内旅游收入的金额按照由小到大的顺序排列，可得中位数是3.4万亿元，故B选项不正确．选项C,2011－2019年国内旅游收入的平均数约为≈3.69(万亿元)，故C选项不正确．选项D，由题意可得＝＝2015，将(2015,3.69)代入＝(x－2010)＋1.205，得5b＋1.205＝3.69，可得＝0.497，所以＝0.497(x－2010)＋1.205，将x＝2020代入，可得＝6.175，D选项不正确．]2．随着“互联网＋交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现．某“共享自行车”运营公司为了了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了40名用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.(1)请你列出抽到的10个样本的评分数据；(2)计算所抽到的10个样本的均值和方差s2；(3)在(2)的条件下，若用户的满意度评分在(－s，＋s)之间，则满意度等级为“A级”．试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比是多少？(精确到0.1%)\n参考数据：≈5.48，≈5.74，≈5.92.[解] (1)由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,2,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据分别为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.(2)由(1)中样本的评分数据可得＝(92＋84＋86＋78＋89＋74＋83＋78＋77＋89)＝83，则有s2＝[(92－83)2＋(84－83)2＋(86－83)2＋(78－83)2＋(89－83)2＋(74－83)2＋(83－83)2＋(78－83)2＋(77－83)2＋(89－83)2]＝33.(3)由题意知用户的满意度评分在(83－，83＋)即(77.26,88.74)之间满意度等级为“A级”．由(1)中样本容量为10的样本评分在(77.26,88.74)之间的用户有5人，则该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为×100%＝50.0%.
