10-2用样本估计总体基础巩固强化1.(2011·重庆文，4)从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)：125 120 122 105 130 114 116 95 120 134则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( )A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5[答案] C[解析] 在10个测出的数值中，有4个数据落在[114.5，124.5)内，它们是：120、122、116、120，故频率P＝＝0.4，选C.2．(2012·陕西理，6)从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则( )A.甲<乙，m甲>m乙B.甲<乙，m甲<m乙C.甲>乙，m甲>m乙D.甲>乙，m甲<m乙[答案] B[解析] 从茎叶图中知，甲：5,6,8,10,10,14,18,18,22,25,27,30,30,38,41,43；乙：10,12,18,20,22,23,23,27,31,32,34,34,38,42,43,48.甲＝，乙＝，m甲＝＝20，m乙＝＝29.故选B.3．(文)(2011·安徽江南十校联考)已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差为s2＝(x＋x＋x＋x－16)，则数据x1＋2，x2＋2，x3＋2，x4＋2的平均数为( )16\nA．2B．3C．4D．6[答案] C[解析] 设x1，x2，x3，x4的平均值为，则s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋(x3－)2＋(x4－)2]＝(x＋x＋x＋x－42)，∴42＝16，∴＝2，＝－2(舍)，∴x1＋2，x2＋2，x3＋2，x4＋2的平均数为4，故选C.(理)(2011·海南五校联考)一个容量为10的样本数据，组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1、a3、a7成等比数列，则此样本数据的平均数和中位数分别是( )A．13,13B．13,12C．12,13D．13,14[答案] A[解析] 设等差数列{an}的公差为d，因为a1a7＝a，所以(8－2d)(8＋4d)＝82，又d≠0，∴d＝2，易得这10个数据为4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，计算得其平均数为13，中位数为＝13.4．下表是某班50名学生综合能力测试的成绩分布表：分数12345人数51010205则该班成绩的方差为( )A.B．1.36C．2D．4[答案] B[解析] 平均成绩＝[1×5＋2×10＋3×10＋4×20＋5×5]＝3.2，方差s2＝[5×(1－3.2)2＋10×(2－3.2)2＋10×(3－3.2)2＋20×(4－3.2)2＋5×(5－3.2)2]＝1.36.16\n5．(2011·济宁模拟)为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中，底部周长小于110cm的株数大约是( )A．3000B．6000C．7000D．8000[答案] C[解析] ∵底部周长小于110cm的频率为(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，∴1万株中底部小于110cm的株数为0.7×10000＝7000.[点评] 用样本的频率作为总体频率的估计值．6．(文)(2012·四川文，3)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12、21、25、43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )A．101B．808C．1212D．2012[答案] B[解析] 由题意知，＝.解得N＝808.(理)(2012·青岛市模拟)一个样本容量为9的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1、a3、a7成等比数列，则此样本的中位数是( )A．12B．13C．14D．15[答案] A[解析] 设等差数列的公差为d，据题意得a＝a1a7，∴82＝(8－2d)(8＋4d)(d16\n≠0)，解得d＝2，∴an＝a3＋(n－3)d＝8＋2(n－3)＝2n＋2，数列为单位递增的数列，且样本容量为9，故其中位数为a5＝2×5＋2＝12.7．(2012·乌鲁木齐三诊)为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试．对200名学生测试所得数据作出频率分布直方图如图所示，若次数在110以上(含110次)为达标，则从图中可以看出高一学生的达标率是________．[答案] 80%[解析] 次数在110以上(含110次)的频率之和为(0.04＋0.03＋0.01)×10＝0.8，则高一学生的达标率为0.8×100%＝80%.8．(文)将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图，若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于________．[答案] 60[解析] 由条件知，×n＝27，解得n＝60.(理)容量为100的样本分为10组，若前7组频率之和为0.79，而剩下三组的频数成等比数列，且其公比不为1，则剩下的三组频数最大的一组的频率是________．[答案] 0.16或0.12[解析] 后三组频数和为100(1－0.79)＝21，设这三组频数依次为a、ap、ap2(a、p∈N*且p>1)，由题意设得，a＋ap＋ap2＝21，∵p>1，∴1＋p＋p2是21的大于3的约数，∴1＋p＋p2＝21或1＋p＋p2＝7，得p＝4或p＝2.当p＝4时，频数最大值为16，频率为0.16；当p＝2时，频数最大值为12，频率为0.12.9．(2012·山西省高考联合模拟)某校高中一年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示(如图)．S1、S216\n分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则S1________S2.(填“>”、“<”或“＝”)[答案] <[解析] 甲＝(8＋11＋14＋15＋22)＝14，乙＝(6＋7＋10＋24＋28)＝15，S＝[(8－14)2＋(11－14)2＋(14－14)2＋(15－14)2＋(22－14)2]＝22，S＝[(6－15)2＋(7－15)2＋(10－15)2＋(24－15)2＋(28－15)2]＝84，∴S1＝，S2＝2，∴S1<S2.[点评] 甲组数据较集中，乙组数据较分散，故S1>S2.10．(2012·石家庄市二模)我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准，用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：t)，制作了频率分布直方图．(1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(2)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超过标准，则月均用水量的最低标准定为多少吨？并说明理由；16\n(3)从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的平均数．(同一组中的数据用该区间的中点值代表)[解析] (1)(2)月均用水量的最低标准应定为2.5t.样本中月均用水量不低于2.5t的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5t.(3)这100位居民的月均用水量的平均数为0．5×(×0.10＋×0.20＋×0.30＋×0.40＋×0.60＋×0.30＋×0.10)＝1.875(t).能力拓展提升11.(2011·厦门质检)某工厂对一批产品进行了抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数是( )16\nA．90B．75C．60D．45[答案] A[解析] 产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，设样本容量为n，则＝0.300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.12．(2012·广东佛山市质检)随机抽取某花场甲、乙两种计划在植树节期间移种的树苗各10株，测量它们的高度(单位：cm)，获得高度数据的茎叶图如图，则下列关于甲、乙两种各10株树苗高度的结论正确的是( )A.甲种树苗高度的方差较大B．甲种树苗高度的平均值较大16\nC．甲种树苗高度的中位数较大D．甲种树苗高度在175以上的株数较多[答案] A[解析] 甲种树苗高度的平均值为甲＝＝170，甲种树苗高度的方差为S＝＝57.2；乙种树苗高度的平均值为乙＝＝171.1，乙种树苗高度的方差为S＝＝51.29.故甲种树苗高度的方差较大，平均值较小，中位数较小，高度在175以上的株数较少．故选A.13．(文)(2012·温州适应性测试)如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数之和是________．[答案] 48[解析] 依题意，甲、乙两组数据的中位数分别是22、26，因此甲、乙两组数据的中位数之和是22＋26＝48.16\n(理)(2011·浙江五校联考)为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图，据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为________．[答案] 60[解析] 由茎叶图知，抽取的20名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为6，频率为，故200名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为×200＝60.14．(文)(2011·温州月考)某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是________．[答案] 600[解析] 1000×[(0.035＋0.015＋0.01)×10]＝600.(理)(2011·浙江文，13)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．16\n[答案] 600[解析] 成绩小于60分的学生频率为：(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2故3000名学生中成绩小于60分的学生数为：3000×0.2＝600.15．某学校为了了解学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了n名同学进行调查．下表是这n名同学的日睡眠时间的频率分布表.序号(i)分组(睡眠时间)频数(人数)频率1[4,5)60.122[5,6)0.203[6,7)a4[7,8)b5[8,9)0.08(1)求n的值．若a＝20，将表中数据补全，并画出频率分布直方图．(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[4,5)的中点值是4.5)作为代表．若据此计算的上述数据的平均值为6.52，求a、b的值，并由此估计该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率．[解析] (1)由频率分布表可得n＝＝50.补全数据如下表序号(i)分组(睡眠时间)频数(人数)频率1[4,5)60.122[5,6)100.203[6,7)200.404[7,8)100.205[8,9)40.08频率分布直方图如下：16\n(2)由题意知，解得a＝15，b＝15设“该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上”为事件A，则P(A)≈＝0.38答：该学校学生的日平均睡眠时间在7小时以上的概率约为0.38.16．(文)某校高三(1)班共有40名学生，他们每天自主学习的时间全部在180min到330min之间，按他们学习时间的长短分5个组统计得到如下频率分布表：分组频数频率[180,210)40.1[210,240)8s[240,270)120.3[280,300)100.25[300,300]nt(1)求分布表中s、t的值；(2)某兴趣小组为研究每天自主学习的时间与学习成绩的相关性，需要在这40名学生中按时间用分层抽样的方法抽取20名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？(3)已知第一组的学生中男、女生均为2人，在(2)的条件下抽取第一组的学生，求既有男生又有女生被抽中的概率．[解析] (1)s＝＝0.2，t＝1－0.1－s－0.3－0.2516\n＝0.15.(2)设应抽取x名第一组的学生，则＝，得x＝2.故应抽取2名第一组的学生．(3)在(2)的条件下应抽取2名第一组的学生．记第一组中2名男生为a1，a2,2名女生为b1，b2，按时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有6种等可能的结果，列举如下：a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2.其中既有男生又有女生被抽中的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，共4种结果，所以既有男生又有女生被抽中的概率为P＝＝.(理)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；(3)从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．[解析] (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170～185cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185cm之间的频率f＝＝0.5，故由f估计该校学生身高在170～185cm之间的概率p1＝0.5.(3)样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，从上述6人中任取2人的树状图为：16\n故从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率p2＝＝.1．(2011·广州调研)甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是( )甲乙丙丁平均环数8.68.98.98.2方差s23.53.52.15.6A.甲B．乙C．丙D．丁[答案] C[解析] 由表可知，乙、丙的平均成绩最好，平均环数为8.9；但乙的方差大，说明乙的波动性大，所以丙为最佳人选，故选C.2．(2012·山东文，4)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是( )A．众数B．平均数C．中位数D．标准差[答案] D[解析] A的众数88，B的众数为88＋2＝90.“各样本都加2”后，平均数显然不同．A的中位数＝86，B的中位数16\n＝88，而由标准差公式S＝知D正确．3．(2012·洛阳市模拟)从某女子跳远运动员的多次测试中，随机抽取20次成绩作为样本，按各次的成绩(单位：cm)分成五组，第一组[490,495)，第二组[495,500)，第三组[500,505)，第四组[505,510)，第五组[510,515]，相应的样本频率分布直方图如图所示．(1)样本落入第三组[500,505)的频数是多少？(2)现从第二组和第五组的所有数据中任意抽取两个，分别记为m、n，求事件“|m－n|≤5”的概率．[解析] (1)由频率分布直方图可知，样本落入[500,505)的频率是1－(0.01＋0.02＋0.04＋0.03)×5＝0.5，所以，样本落入[500,505)的频数是0.5×20＝10.(2)第二组中有0.02×5×20＝2个数据，记为a、b；第五组中有0.03×5×20＝3个数据，记为A、B、C.则{m，n}的所有可能结果为{a，b}，{a，A}，{a，B}，{a，C}，{b，A}，{b，B}，{b，C}，{A，B}，{A，C}，{B，C}，共10种．其中使|m－n|≤5成立的有{a，b}，{A，B}，{A，C}，{B，C}，共4种．所以事件“|m－n|≤5”的概率为P＝＝.4．从某校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高，据测量被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，……，第八组[190.195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．16\n(1)根据已知条件填写下列表格：组别一二三四五六七八样本数(2)试估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上(含180cm)的人数为多少；(3)在样本中，若第二组有1名男生，其余为女生，第七组有1名女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰有一男一女的概率是多少？[解析] (1)由频率分布直方图得第七组频率为：1－(0.008×2＋0.016×2＋0.04×2＋0.06)×5＝0.06，∴第七组的人数为0.06×50＝3.由各组频率可得以下数据：组别一二三四五六七八样本数24101015432(2)由频率分布直方图得后三组频率和为0.08＋0.06＋0.04＝0.18，估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上(含180cm)的人数为800×0.18＝144.(3)第二组中四人可记为a、b、c、d，其中a为男生，b、c、d为女生，第七组中三人可记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下：abcd11a1b1c1d22a2b2c2d33a3b3c3d所以基本事件有12个．16\n实验小组中恰有一男一女的事件有1b,1c,1d,2b,2c,2d,3a，共7个，因此实验小组中恰有一男一女的概率是.5．某校举行了“环保知识竞赛”，为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分100分)，进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：频率分布表分组频数频率[50,60)50.05[60,70)b0.20[70,80)35c[80,90)300.30[90,100)100.10合计a1.00按成绩分层抽样抽取20人参加社区志愿者活动，并从中指派2名学生担任负责人，记这2名学生中“成绩低于70分”的人数为ξ，求ξ的分布列及期望．[解析] 由频率分布表可知，“成绩低于70分”的概率为0.25，∴按成绩分层抽样抽取20人时，“成绩低于70分”的应抽取5人，ξ的取值为0、1、2，p(ξ＝0)＝＝，p(ξ＝1)＝，p(ξ＝2)＝＝.∴ξ的分布列为ξ012p∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.16
