第四章 平面向量与复数第三节 平面向量的综合应用课时规范练A组——基础对点练1．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是( )A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，2·＝0，∴⊥，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到||＝||，故△ABC一定是直角三角形．答案：C2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若＝，·＝48，则抛物线的方程为( )A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝16xD．y2＝4x解析：如图所示，由＝，得F为线段AB的中点，∵|AF|＝|AC|，∴∠ABC＝30°，由·＝48，得|BC|＝4.则|AC|＝4，∴由中位线的性质，有p＝|AC|＝2，故抛物线的方程为y2＝4x.故选B.答案：B3．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )\nA．重心B．内心C．外心D．垂心解析：由条件，得＝λ，从而·＝λ＝λ(－||＋||)＝0，所以⊥，则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．答案：D4．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面说法错误的是( )A．若a与b共线，则a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙aC．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝a2b2解析：若a与b共线，则有a⊙b＝mq－np＝0，故A正确；因为b⊙a＝pn－qm，而a⊙b＝mq－np，所以有a⊙b≠b⊙a，故B项错误；(λa)⊙b＝λmq－λnp，λ(a⊙b)＝λ(mq－np)，∴(λa)⊙b＝λ(a⊙b)，故C正确；(a⊙b)2＋(a·b)2＝(mq－np)2＋(mp＋qn)2＝(p2＋q2)(m2＋n2)，a2·b2＝(p2＋q2)(m2＋n2)，故D正确．答案：B5．在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为________．解析：依题意得·＝1×(－4)＋2×2＝0，所以⊥，所以四边形ABCD的面积为||·||＝××＝5.答案：56．(2020·太原质检)设G为△ABC的重心，且sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，则角B的大小为________．解析：∵G是△ABC的重心，∴＋＋＝0，＝－(＋)，将其代入sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，\n得(sinB－sinA)＋(sinC－sinA)＝0.又，不共线，∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0.则sinB＝sinA＝sinC.根据正弦定理知，b＝a＝c，∴△ABC是等边三角形，则B＝60°.答案：60°7.如图，A是半径为5的圆C上的一个定点，单位向量在A点处与圆C相切，点P是圆C上的一个动点，且点P与点A不重合，则·的取值范围是________．解析：如图所示，以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设点P(x，y)，B(1，0)，A(0，0)，则＝(1，0)，＝(x，y)，所以·＝(x，y)·(1，0)＝x.因为点P在圆x2＋(y－5)2＝25上，所以－5≤x≤5，即－5≤·≤5.答案：[－5，5]8．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且＝，则||＝________．解析：画出图形如图所示．由题意得抛物线的焦点F(0，1)，准线为y＝－1.\n设抛物线的准线与y轴的交点为E，过M作准线的垂线，垂足为Q，交x轴于点P.由题意得△NPM∽△NOF，又＝，即M为FN的中点，∴||＝|OF|＝，|OP|＝＝，∴||＝＋1＝，|ON|＝2|OP|＝2，∴||＝||＝.又＝＝，即＝＝，解得||＝3.答案：39．已知A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边，向量m＝(，cosA＋1)，n＝(sinA，－1)，m⊥n.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，cosB＝，求b的值．解析：(1)∵m⊥n，∴m·n＝sinA＋(cosA＋1)×(－1)＝0，∴sinA－cosA＝1，∴sin＝.∵0<A<π，∴－<A－<，∴A－＝，∴A＝.(2)在△ABC中，A＝，a＝2，cosB＝，\n∴sinB＝＝＝.由正弦定理知＝，∴b＝＝＝.B组——素养提升练10．记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a·b＝c·(a＋2b－2c)＝2，则( )A．|a－c|max＝ B．|a＋c|max＝C．|a－c|min＝D．|a＋c|min＝解析：由已知可得a·b＝|a||b|cosθ＝2，cosθ＝，θ＝，建立平面直角坐标系，a＝＝(2，0)，b＝＝(1，)，c＝＝(x，y)，由c·(a＋2b－2c)＝2，可得(x，y)·(4－2x，2－2y)＝2，即4x－2x2＋2y－2y2＝2，化简得C点轨迹为(x－1)2＋＝，则|a－c|＝，转化为圆上点与(2，0)的距离|a－c|max＝＋＝.答案：A11.如图所示，在△ABC中，AD＝DB，点F在线段CD上，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则＋的最小值为( )\nA．6＋2B．6C．6＋4D．3＋2解析：由题意知＝xa＋yb＝2x＋y，因为C，F，D三点共线，所以2x＋y＝1，即y＝1－2x.由题图可知x＞0且x≠1.所以＋＝＋＝.令f(x)＝，则f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝－－1(舍)．当0＜x＜－1时，f′(x)＜0，当x＞－1且x≠1时，f′(x)＞0.所以当x＝－1时，f(x)取得极小值，亦为最小值，最小值为f(－1)＝＝3＋2.答案：D12．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________．答案：－13．(2020·德州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－.(1)求sinA的值；(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．\n解析：(1)由m·n＝－，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，所以cosA＝－.因为0＜A＜π，所以sinA＝＝＝.(2)由正弦定理，得＝，则sinB＝＝＝，因为a＞b，所以A＞B，且B是△ABC一内角，则B＝.由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1，c＝－7舍去，故向量在方向上的投影为||cosB＝ccosB＝1×＝.
