课时规范练53 古典概型 基础巩固组1.(2020广东汕头高三质检)袋中共有完全相同的4只小球,编号为1,2,3,4,现从中任取2只小球,则取出的2只球编号之和是奇数的概率为( )A.25B.35C.13D.232.(2020内蒙古包头高三模拟)如图是按古典著作中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系画出的,现从五种不同属性的物质中任取两种,则取出的两种物质恰好是相生关系的概率为( )A.12B.23C.25D.153.甲乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5},若|a-b|≤1,就称甲乙“心有灵屏”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )A.1125B.1225C.1325D.14254.某城市有连接8个小区A,B,C,D,E,F,G,H和市中心O的整齐方格形道路网,每个小方格均为正方形,如图所示,某人从道路网中随机地选择一条最短路径,由小区A前往小区H,则他经过市中心O的概率是( )A.13B.23C.14D.345.投掷两枚质地均匀的正方体骰子,将两枚骰子向上点数之和记作S.在一次投掷中,已知S是奇数,则S=9的概率是( )A.16B.29C.19D.156.从装有3双不同鞋子的柜子里,随机取出2只鞋子,则取出的2只鞋子不成对的概率为( )\nA.1415B.45C.35D.157.如图的折线图是某公司2019年1月至12月份的收入与支出数据,若从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析,则这2个月中至少有一个月利润(利润=收入-支出)不低于40万的概率为( )A.15B.25C.35D.458.(2020吉林榆树高三质检)一张方桌有四个座位,A先坐在如图所示的座位上,B,C,D三人随机坐到其他三个位置上,则C与D不相邻的概率为 . 9.将一枚质地均匀的骰子投两次,得到的点数依次记为a和b,则方程x2-2ax+b=0没有实数解的概率为 . 10.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.若指针恰好停在各区域的分界线上,则这次转动作废,重新转动转盘.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.\n综合提升组11.(2020宁夏吴忠高三模拟)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作.其中的一道题“今有木,方三尺,高三尺,欲方五寸作枕一枚.问:得几何?”意思是:“有一块棱长为3尺的正方体木料,要把它做成边长为5寸的正方体枕头,可作多少个?”现有这样的一个正方体木料,其表面均已涂上油漆,则从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的概率为( )A.125216B.827C.49D.1412.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”,将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,从A,B,C,D四点中任取三点和顶点P所形成的四面体中,任取两个四面体,则其中一个四面体为鳖臑的概率为( )A.14B.23C.35D.31013.某研究机构在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时,得到的数据如下表所示.由表中数据求得y关于x的回归方程为y^=0.65x+a^,则在这些样本点中任取一点,该点落在回归直线上方的概率为( )x4681012y122.956.1A.25B.35C.45D.无法确定14.\n(2020重庆八中月考)如图,茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分(均为整数),其中一个数字模糊不清,则甲的平均得分高于乙的平均得分的概率为 . 15.甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)若以A表示和为6的事件,求P(A);(2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问B与C是否为互斥事件?为什么?(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.创新应用组16.如右图所示的图形中,每个三角形上各有一个数字,若六个三角形上的数字之和为20,则称该图形是“和谐图形”,已知其中四个三角形上的数字之和为14.现从1,2,3,4,5中任取两个数字标在另外两个三角形上,则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为( )A.310B.15C.110D.32017.已知数列{an}满足a1=2,an+1=-2an(n∈N*).若从数列{an}的前10项中随机抽取一项,则该项不小于8的概率是 . 18.(2020安徽合肥一中高三月考)近期某市组织高一年级全体学生参加了某项技能操作比赛,等级分为1至10分,有关部门随机调阅了A,B两所学校各60名学生的成绩,得到样本数据如下:A校样本数据条形图\nB校样本数据统计表成绩/分12345678910人数/个000912219630(1)计算两所学校样本数据的均值和方差,并根据所得数据进行比较并评价;(2)从A校样本数据成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样的方法抽取6人,从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛,求这2人成绩之和不小于15的概率.参考答案课时规范练53 古典概型1.D 在编号为1,2,3,4的小球中任取2只小球,则有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种取法,则取出的2只球编号之和是奇数的有(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共4种取法,所以取出的2只球编号之和是奇数的概率为46=23.2.A 金、木、水、火、土任取两种,共有:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果,其中两种物质相生的有:火木、火土、木水、水金、金土共5种结果,所以两类元素相生的概率为510=12,故选A.\n3.C 甲乙两人猜数字时互不影响,故各有5种可能,故基本事件是5×5=25种,“心有灵犀”的情况包括:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)共13种,故他们“心有灵犀”概率为1325,故选C.4.B 此人从小区A前往H的所有最短路径为:A→G→O→H,A→E→O→H,A→E→D→H,共3条.记“此人经过市中心O”为事件M,则M包含的基本事件为:A→G→O→H,A→E→O→H,共2条.∴P(M)=23,即他经过市中心的概率为23,故选B.5.B 设两枚骰子向上点数分别为X,Y,则符合X+Y为奇数的基本事件有18个(见表格),其中符合X+Y=9的基本事件为4,根据古典概型知所求概率为418=29.故选B. YX 123456135723573579457957911679116.B 设三双鞋子分别为A1,A2,B1,B2,C1,C2,则取出2只鞋子的情况有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A2,C2),(B1,B2),(B1,C1),(B1,C2),(B2,C1),(B2,C2),(C1,C2),其中,不成对的情况有(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A2,C2),(B1,C1),(B1,C2),(B2,C1),(B2,C2),共12种.由古典概型的公式可得,所求概率为1215=45,故选B.7.D 由题图可知,7月,8月,11月的利润不低于40万元,从6个月中任选2个月的所有可能结果有(7,8),(7,9),(7,10),(7,11),(7,12),(8,9),(8,10),(8,11),(8,12),(9,10),(9,11),(9,12),(10,11),(10,12),(11,12)共15种,其中至少有1个月的利润不低于40万元的结果有(7,8),(7,9),(7,10),(7,11),(7,12),(8,9),(8,10),(8,11),(8,12),(9,11),(10,11),(11,12)共12种,故所求概率为1215=45.故选D.8.13 由题意,B,C,D三人随机坐到其他三个位置上,有6种坐法,其中C与D不相邻的坐法有2种,即C与D分别坐在A的两边,所以C与D不相邻的概率为26=13.\n9.736 一次事件结果记为(a,b),则共有6×6=36种不同结果,因此共有36个基本事件.若方程x2-2ax+b=0没有实根,则必有Δ=(-2a)2-4b<0.即b>a2.若a=1,则b=2,3,4,5,6,即基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6);若a=2,则b=5,6,即基本事件为(2,5),(2,6),所以事件“方程x2-2ax+b=0没有实根”包含的基本事件共5+2=7个,由古典概型的概率公式可知,所求事件的概率为736.10.解(1)用数对(x,y)表示小亮参加活动先后记录的数,则基本事件构成的集合是S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}.因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本事件总数n=16.记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),所以P(A)=516,即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C.则事件B包含的基本事件共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)=616=38.事件C包含的基本事件共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=516.因为38>516,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.11.C 有一块棱长为3尺的正方体木料,要把它做成边长为5寸的正方体枕头,可作216个,由正方体的结构及锯木块的方法,可知一面带有油漆的木块是每个面的中间那16块,共有6×16=96(块),所以从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的概率为96216=49.12.B 从A,B,C,D四点中任取三点和顶点P所形成的4个四面体为P-ABC,P-ABD,P-ACD,P-BCD,其中四面体P-ABD,P-BCD为鳖臑.在4个四面体中任取2个有6种情况,其中一个四面体为鳖臑的情况有4种,则其中一个四面体为鳖臑的概率P=46=23.故选B.13.B 由题可得
