函数的单调性与最值[考试要求] 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．提醒：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为y＝f(x)的最大值M为y＝f(x)的最小值\n1．函数单调性的结论(1)∀x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0⇔f(x)在D上是增函数；＜0⇔f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．(3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．(4)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．(5)函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝的单调性相反．(6)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”．2．函数最值存在的两个结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)若定义在R上的函数f(x)有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．( )(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( )(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√二、教材习题衍生1．下列函数中，定义域为R且为减函数的是( )A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝|x|A [函数y＝e－x定义域为R且为减函数．y＝x3定义域为R且为增函数．函数y＝lnx定义域为(0，＋∞)．函数y＝|x|定义域为R，但在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，故选A．]2．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________．[1，＋∞) [f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，因此函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)．]3．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________． [因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，\n即k＜－.]4．已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．2 [易知函数f(x)＝在x∈[2,6]上为减函数，故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.]考点一 求函数的单调区间 1.求函数单调区间的常用方法2．求复合函数单调区间的一般步骤(1)求函数的定义域(定义域先行)．(2)求简单函数的单调区间．(3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”．[典例1] 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋1；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝.[解] (1)由于y＝即y＝画出函数图象如图所示．由图象可知，函数的单调递增区间为(－∞\n，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)由x＋1≠0得x≠－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f(x)＝＝＝2－，其图象如图所示．由图象知，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)．(3)由x2＋x－6≥0得x≤－3或x≥2，即函数f(x)的定义域为(－∞，－3]∪[2，＋∞)，令u＝x2＋x－6，则y＝可以看作是由y＝与u＝x2＋x－6复合而成的函数．易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝在[0，＋∞)上是增函数，所以y＝的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．[母题变迁]若把本例T(1)函数解析式改为f(x)＝|x2－4x＋3|，试求函数f(x)的单调区间．[解] 先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数y＝|x2－4x＋3|的图象．如图所示．由图可知f(x)在(－∞，1]和[2,3]上为减函数，在[1,2]和[3，＋∞)上为增函数，故f(x)的单调递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]，[2,3]．点评：(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．(2)重视函数f(x)＝(ac≠0)的图象与性质(对称中心、单调性、渐近线)．1．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是( )A．[1,2]B．[－1,0]\nC．(0,2]D．[2，＋∞)A [由题意得，f(x)＝当x≥2时，[2，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间；当x＜2时，(－∞，1]是函数f(x)的单调递增区间，[1,2]是函数f(x)的单调递减区间．]2．函数f(x)＝的单调递减区间为________．(－∞，1)和(1，＋∞) [由x－1≠0得x≠1，即函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，又f(x)＝＝＝1＋，其图象如图所示，由图象知，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．]3．函数f(x)＝的单调递增区间为________．[－1,1) [由3－2x－x2＞0得－3＜x＜1，即函数f(x)的定义域为(－3,1)，令u＝3－2x－x2，则u＝－(x＋1)2＋4，易知u在(－3，－1]上是增函数，在[－1,1)上是减函数，而y＝在(0，＋∞)上是减函数，则f(x)＝的单调递增区间为[－1,1)．]考点二 函数单调性的判断与证明 1.定义法证明函数单调性的步骤2．判断函数单调性的四种方法(1)图象法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法．3．证明函数单调性的两种方法\n(1)定义法；(2)导数法．[典例2] 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] 法一：设－1＜x1＜x2＜1，f(x)＝a＝a，f(x1)－f(x2)＝a－a＝，由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递增．法二：f′(x)＝＝，所以当a＞0时，f′(x)＜0，当a＜0时，f′(x)＞0，即当a＞0时，f(x)在(－1,1)上为减函数，当a＜0时，f(x)在(－1,1)上为增函数．判断函数f(x)＝x＋(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性．[解] 设x1，x2是任意两个正数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1x2－a)．当0＜x1＜x2≤时，0＜x1x2＜a，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)在(0，]上是减函数；当≤x1＜x2时，x1x2＞a，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f(x)＝x＋(a＞0)在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．考点三 函数单调性的应用\n 1.比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．2．求解含“f”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．此时要特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数的范围(或值)的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点函数值的大小关系． 比较函数值的大小[典例3－1] 已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．c＞a＞b B．c＞b＞aC．a＞c＞bD．b＞a＞cD [根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．所以a＝f＝f，f(2)＞f(2.5)＞f(3)，所以b＞a＞c.]点评：本例先由[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0得出f(x)在(1，＋∞)上是减函数，然后借助对称性，化变量－，2,3于同一单调区间，并借助单调性比较大小． 解函数不等式[典例3－2] 已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1,1)，则不等式f(1－m)＜f(m2－1)的解集为________．(0,1) [f(x)＝则f(x)在(－1,1)上单调递减，不等式f(1－m)＜f(m2－1)可转化为解得0＜m＜1.]点评：解答此类题目时，应注意隐含条件，如本例 求参数的值或取值范围[典例3－3] (1)函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )A．{－3}B．(－∞，3)C．(－∞，－3]D．[－3，＋∞)\n(2)已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是( )A．(1,2)B．C．D．(1)C (2)C [(1)y＝＝1＋＝1＋，由题意知得a≤－3.所以a的取值范围是(－∞，－3]．(2)由已知条件得f(x)为增函数，所以解得≤a＜2，所以a的取值范围是.故选C．]点评：分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．如本例(2)．1．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)A [因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数．所以f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2)．]2．定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为( )A．[－1,2)B．[0,2)C．[0,1)D．[－1,1)C [因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，所以函数在[－2,2]上单调递增，所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，解得0≤a＜1，故选C．]\n3．若函数y＝与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．(－∞，－4) [函数y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上是增函数．y＝＝＝2＋，由题意知函数y＝在(3，＋∞)上是增函数，则有4＋k＜0，解得k＜－4.]4．若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为________． [由题意知，解得所以a∈.]考点四 函数的最值(值域) 求函数最值的五种常用方法[典例4] (1)若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是( )A．[－1,2]B．[－1,0]C．[1,2]D．[0,2](2)函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．(3)函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．(1)D (2)3 (3) [(1)当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝，\n即x＝1时，等号成立．故当x＝1时取得最小值2＋a，∵f(x)的最小值为f(0)，∴当x≤0时，f(x)＝(x－a)2单调递减，故a≥0，此时的最小值为f(0)＝a2，故2＋a≥a2，得－1≤a≤2.又a≥0，得0≤a≤2.故选D．(2)∵f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1,1]上单调递减，∴f(x)max＝f(－1)＝3－log21＝3.(3)令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－＋，当t＝，即x＝时，ymax＝.]1．函数f(x)＝的最大值为________．2 [当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.]2．函数f(x)＝x＋的最小值为________．1 [法一：(换元法)令t＝，且t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数变为y＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝＋，又因为t≥0，所以y≥＋＝1，故函数y＝x＋的最小值为1.法二：(单调性法)因为函数y＝x和y＝在定义域内均为增函数，故函数y＝x＋在[1，＋∞)内为增函数，所以ymin＝1.]
