课后限时集训(三十七) 数列的概念与简单表示法建议用时：40分钟一、选择题1．已知数列，，，…，，，则3是这个数列的( )A．第20项B．第21项C．第22项D．第23项C [由题意知，数列的通项公式为an＝，令＝3得n＝22，故选C．]2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( )A．15B．16C．49D．64A [当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]3．数列{an}中，an＋1＝2an＋1，a1＝1，则a6＝( )A．32B．62C．63D．64C [数列{an}中，an＋1＝2an＋1，故an＋1＋1＝2(an＋1)，因为a1＝1，故a1＋1＝2≠0，故an＋1≠0，所以＝2，所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以an＋1＝2n，即an＝2n－1，故a6＝63，故选C．]4．(2020·柳州模拟)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2020的值为( )A．2B．－3C．－D．D [由题意知，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，a6＝＝－3，…，因此数列{an}是周期为4的周期数列，∴a2020＝a505×4＝a4＝.故选D．]5．已知各项都为正数的数列{an}满足a－an＋1an－2a＝0，且a1＝2，则数列{an}的通项公式为( )A．an＝2n－1B．an＝3n－1C．an＝2nD．an＝3nC [∵a－an＋1an－2a＝0，\n∴(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0.∵数列{an}的各项均为正数，∴an＋1＋an＞0，∴an＋1－2an＝0，即an＋1＝2an(n∈N*)，∴数列{an}是以2为公比的等比数列．∵a1＝2，∴an＝2n.]6．记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A [∵“an>0”⇒“数列{Sn}是递增数列”，∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分条件．如数列{an}为－1,1,3,5,7,9，…，显然数列{Sn}是递增数列，但是an不一定大于零，还有可能小于零，∴“数列{Sn}是递增数列”不能推出“an>0”，∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的不必要条件．∴“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件．]二、填空题7．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－n，则数列{an}的通项公式an＝.n－1 [当n＝1时，a1＝S1＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－＝－1.又a1＝适合上式，则an＝n－1.]8．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝.－ [∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．\n∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.]9．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝，数列{nan}中数值最小的项是第项．2n－11(n∈N*) 3 [∵Sn＝n2－10n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．∴an＝2n－11(n∈N*)．记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N*，∴当n＝3时，f(n)取最小值．∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．]三、解答题10．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．[解] (1)由题意可得a2＝，a3＝.(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因为{an}的各项都为正数，所以＝.故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.11．已知数列{an}满足a1＝50，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，(1)求{an}的通项公式；(2)已知数列{bn}的前n项和为an，若bm＝50，求正整数m的值．[解] (1)当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×2＋2×1＋50\n＝2×＋50＝n2－n＋50.又a1＝50＝12－1＋50，∴{an}的通项公式为an＝n2－n＋50，n∈N*.(2)b1＝a1＝50，当n≥2时，bn＝an－an－1＝n2－n＋50－[(n－1)2－(n－1)＋50]＝2n－2，即bn＝当m≥2时，令bm＝50，得2m－2＝50，解得m＝26.又b1＝50，∴正整数m的值为1或26.1．(2020·大同模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1,3,6,10,15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛(如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…)．若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总共球的个数为( )三角锥垛A．55B．220C．285D．385B [数列{an}如1,3,6,10,15，…，可得通项公式an＝.∴Sn＝＋＝＋.n＝10时，可得S10＝＋＝220.故选B．]2．(2020·承德模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N*，an＋1＞an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝.n－6，n∈N*(答案不唯一) [由∀n∈N*，an＋1＞an可知数列{an}是递增数列，又Sn≥S6\n，故数列{an}从第7项开始为正．而a6≤0，因此不妨设数列是等差数列，公差为1，a6＝0，所以an＝n－6，n∈N*.(答案不唯一)]3．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．[解] (1)∵2Sn＝(n＋1)an，∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，即nan＋1＝(n＋1)an，∴＝，∴＝＝…＝＝1，∴an＝n(n∈N*)．(2)由(1)知bn＝3n－λn2.bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)．∵数列{bn}为递增数列，∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<.令cn＝，即＝·＝>1.∴{cn}为递增数列，∴λ<c1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．
