课后限时集训(七十四) 坐标系建议用时：25分钟1．(2020·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点．(1)求|AB|；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．[解] (1)因为t≠1，由2－t－t2＝0得t＝－2，所以C与y轴的交点为(0,12)；由2－3t＋t2＝0得t＝2，所以C与x轴的交点为(－4,0)．故|AB|＝4.(2)由(1)可知，直线AB的直角坐标方程为＋＝1，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得直线AB的极坐标方程为3ρcosθ－ρsinθ＋12＝0.2．在直角坐标系xOy中，圆C的圆心为，半径为，现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)设M，N是圆C上两个动点，且满足∠MON＝，求|OM|＋|ON|的最小值．[解] (1)∵圆C的圆心为，半径为，∴圆C的直角坐标方程为x2＋2＝，即x2＋y2－y＝0，∴圆C的极坐标方程为ρ2＝ρsinθ，即ρ＝sinθ.(2)设M(ρ1，θ)，N，则|OM|＋|ON|＝ρ1＋ρ2＝sinθ＋sin＝sinθ＋cosθ＝sin.由题意知解得0≤θ≤，∴≤θ＋≤，∴≤sin≤1，即|OM|＋|ON|的最小值为.1．(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.\n(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．[解] (1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin＝2.由已知得|OP|＝|OA|cos＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点，在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2，经检验，点P在曲线ρcos＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈.2．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．[解] (1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2\n与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.
