滚动测试卷四(第一~九章)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x2-3x+2<0},B=,则( ) A.A⊆BB.B⊆AC.A∩∁RB=RD.A∩B=⌀2.下列函数中周期为π且为偶函数的是( )A.y=sinB.y=cosC.y=sinD.y=cos3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,a1=2,a5=3a3,则S9=( )A.90B.54C.-54D.-724.已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A.若l⊥m,l⊥n,且m,n⊂α,则l⊥αB.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥βC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥n,n⊥α,则m⊥α5.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆,则这个几何体的表面积是( )A.16πB.14πC.12πD.8π6.(2014广东广州三校联考)∃x∈R,x2-ax+1≤0为假命题,则a的取值范围为( )A.(-2,2)B.[-2,2]C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-2]∪[2,+∞)7.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与b-a的夹角为( )A.B.C.D.8.(2014福建三明模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点,且两条曲线的交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为( )A.B.2C.+1D.-19.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PA⊥l,垂足为A,|PF|=4,则直线AF的倾斜角等于( )A.B.C.D.10.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点,则实数m的取值范围为( )A.B.C.D.11.已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4-x),且当x≠2时其导函数f'(x)满足xf'(x)>2f'(x),若2<a<4,则( )A.f(2a)<f(3)<f(log2a)B.f(3)<f(log2a)<f(2a)C.f(log2a)<f(3)<f(2a)D.f(log2a)<f(2a)<f(3)12.设双曲线4x2-y2=1的两条渐近线与直线x=围成的三角形区域(包含边界)为D,P(x,y)为D内的一个动点,则目标函数z=x-y的最小值为( )A.-2B.-C.0D.-7\n二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在题中横线上)13.若曲线y=x2+x-的某一切线与直线y=4x+3平行,则切线方程为 . 14.直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2= . 15.设函数f(x)=数列{an}满足an=f(n),n∈N*,且数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是 . 16.设f(x)是R上的奇函数,且f(-1)=0,当x>0时,(x2+1)·f'(x)+2xf(x)<0,则不等式f(x)>0的解集为 . 三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)已知数列{an}满足a1=1,a3+a7=18,且an-1+an+1=2an(n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若cn=2n-1·an,求数列{cn}的前n项和Tn.18.(12分)(2014福建泉州模拟)设△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,已知a=1,b=2,cosC=.(1)求△ABC的边c的长;(2)求cos(A-C)的值.7\n19.(12分)(2014北京西城一模)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD=2AB,SA=SD,SA⊥AB,N是棱AD的中点.(1)求证:AB∥平面SCD;(2)求证:SN⊥平面ABCD;(3)在棱SC上是否存在一点P,使得平面PBD⊥平面ABCD?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.20.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.21.(12分)已知向量m=(ex,lnx+k),n=(1,f(x)),m∥n(k为常数,e是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,F(x)=xexf'(x).(1)求k的值及F(x)的单调区间;7\n(2)已知函数g(x)=-x2+2ax(a为正实数),若对于任意x2∈[0,1],总存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),求实数a的取值范围.22.(14分)已知F1,F2分别是椭圆E:+y2=1的左、右焦点,F1,F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点.(1)求圆C的方程;(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a,b,当ab最大时,求直线l的方程.答案：1.D 解析:∵x2-3x+2<0,∴1<x<2.又∵log4x>=log42,∴x>2,∴A∩B=⌀,故选D.2.A 解析:因为y=sin=-cos2x为偶函数,且周期是π,故选A.3.C 解析:由a1=2,a5=3a3得a1+4d=3(a1+2d),即d=-a1=-2,所以S9=9a1+d=9×2-9×8=-54,故选C.4.D 解析:依次判断各选项,A错误,只有直线m,n相交时命题才成立;B错误,其中两点与另一点在平面异侧时,α与β相交;C错误,直线n可在平面α内;D正确.5.A 解析:由三视图可知,该几何体是一个球挖去.其中两个半圆的面积为π×22=4π,个球的表面积为×4π×22=12π,所以这个几何体的表面积是12π+4π=16π,故选A.6.A 解析:∃x∈R,x2-ax+1≤0为假命题,即对∀x∈R,x2-ax+1>0为真命题.需Δ=(-a)2-4<0,即a2-4<0,解得-2<a<2,故a的取值范围为(-2,2).7.B 解析:由|a+b|=|a-b|得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0.由|a+b|=2|a|,得a2+2a·b+b2=4a2,即b2=3a2,所以|b|=|a|,所以(a+b)·(b-a)=b2-a2=3a2-a2=2a2,所以向量a+b与b-a的夹角的余弦值为cosθ=,所以θ=,故选B.8.C 解析:因为两条曲线交点的连线过点F,所以两条曲线交点为,代入双曲线方程得=1,又=c,所以-4×=1,化简得c4-6a2c2+a4=0,所以e4-6e2+1=0,所以e2=3+2=(1+)2,所以e=+1,故选C.9.B 解析:抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1.由题意知|PF|=|PA|=4,则xP-(-1)=4,即xP=3,所以=4×3,7\n即yP=2(点P在第一象限,故负值舍去),所以A(-1,2).设直线AF的倾斜角为θ,则tanθ==-,所以θ=,故选B.10.C 解析:由g(x)=f(x)-m=0得f(x)=m,作出函数y=f(x)的图象,当x>0时,f(x)=x2-x=≥-,所以要使函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点,只需直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个交点即可,如图只需-<m<0,故选C.11.C 解析:由f(x)=f(4-x)可知函数图象关于直线x=2对称.由xf'(x)>2f'(x)⇒(x-2)f'(x)>0,故当x>2时,f'(x)>0,函数单调递增;当x<2时,f'(x)<0,函数单调递减.若2<a<4,则1<log2a<2;22<2a<24,即4<2a<16.又f(log2a)=f(4-log2a),2<4-log2a<3,所以2<4-log2a<3<2a,所以由函数的单调性得f(4-log2a)<f(3)<f(2a),即f(log2a)<f(3)<f(2a),故选C.12.B 解析:双曲线4x2-y2=1的两条渐近线方程为y=±2x,作出由y=±2x和x=围成的三角形区域,由y=x-z,所以经过点(,2)时,z取得最小值-.13.y=4x-2 解析:设切点为(x0,y0),切线的斜率k=y'=3x0+1,3x0+1=4,∴x0=1.又y0=+x0-=2,则切点为(1,2),故切线的方程为y-2=4(x-1),∴y=4x-2.14.2 解析:由题意,得圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧的长度都是圆周的,即=cos45°=,所以a2=b2=1,故a2+b2=2.15.2<a<3 解析:∵数列{an}是递增数列,又an=f(n)(n∈N*),∴⇒2<a<3.16.(-∞,-1)∪(0,1) 解析:令g(x)=(x2+1)f(x),则g'(x)=(x2+1)f'(x)+2xf(x).x>0时有g'(x)<0成立,即g(x)在(0,+∞)上为减函数.又g(1)=2f(1)=-2f(-1)=0知x∈(0,1)时g(x)>0,又因为x2+1>0,所以x∈(0,1)时,f(x)>0;x∈(1,+∞)时g(x)<0,即f(x)<0.根据f(x)是奇函数可得当x∈(-∞,-1)时f(x)>0,当x∈(-1,0)时,f(x)<0.可知f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).17.解:(1)由an-1+an+1=2an(n≥2)知,数列{an}是等差数列,设其公差为d,则a5=(a3+a7)=9,所以d==2,an=a1+(n-1)d=2n-1,即数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)cn=(2n-1)·2n-1,7\nTn=c1+c2+c3+…+cn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)×2n-1.2Tn=1×21+3×22+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,相减得-Tn=1+2×(21+22+23+…+2n-1)-(2n-1)·2n,整理得-Tn=1+2×-(2n-1)·2n=-(2n-3)·2n-3,所以Tn=(2n-3)·2n+3.18.解:(1)由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=1+4-2×1×2×=4,因为c>0,所以c=2.(2)sin2C=1-cos2C=1-.因为0<C<π,所以sinC=.由正弦定理,得,即,解得sinA=,cos2A=1-sin2A=1-,在△ABC中,因为a<b,所以A<B.所以A为锐角,所以cosA=,cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC=.19.(1)证明:因为底面ABCD是矩形,所以AB∥CD,又因为AB⊄平面SCD,CD⊂平面SCD,所以AB∥平面SCD.(2)证明:因为AB⊥SA,AB⊥AD,SA∩AD=A,所以AB⊥平面SAD,又因为SN⊂平面SAD,所以AB⊥SN.因为SA=SD,且N为AD中点,所以SN⊥AD.又因为AB∩AD=A,所以SN⊥平面ABCD.(3)解:存在点P,使得平面PBD⊥平面ABCD.理由如下:如图,连接BD交NC于点F,在平面SNC中过F作FP∥SN交SC于点P,连接PD,PB.因为SN⊥平面ABCD,所以FP⊥平面ABCD.又因为FP⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面ABCD.在矩形ABCD中,因为ND∥BC,所以.在△SNC中,因为FP∥SN,所以.所以在棱SC上存在点P,使得平面PBD⊥平面ABCD,此时.20.解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设y2+2=r2,x2+3=r2.从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y0).由已知得.7\n又P点在双曲线y2-x2=1上,从而得由此时,圆P的半径r=.由此时,圆P的半径r=.故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.21.解:(1)由已知可得f(x)=,∴f'(x)=,由已知,f'(1)==0,∴k=1,∴F(x)=xexf'(x)=x=1-xlnx-x,故F'(x)=-lnx-2.由F'(x)=-lnx-2≥0⇒0<x≤,由F'(x)=-lnx-2<0⇒x>,∴F(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)∵对于任意x2∈[0,1],总存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),∴g(x)max<F(x)max.由(1)知,当x=时,F(x)取得最大值F=1+,对于g(x)=-x2+2ax,其对称轴为x=a.当0<a≤1时,g(x)max=g(a)=a2,∴a2<1+,从而0<a≤1;当a>1时,g(x)max=g(1)=2a-1,∴2a-1<1+,从而1<a<1+,综上可知0<a<1+.22.解:(1)由题设知,F1,F2的坐标分别为(-2,0),(2,0),圆C的半径为2,圆心为原点O关于直线x+y-2=0的对称点.设圆心的坐标为(x0,y0),由解得所以圆C的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.(2)由题意,可设直线l的方程为x=my+2,则圆心到直线l的距离d=.所以b=2.由得(m2+5)y2+4my-1=0.设l与E的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-.于是a=====.从而ab===≤=2.当且仅当,即m=±时,等号成立.故当m=±时,ab最大,此时,直线l的方程为x=y+2或x=-y+2,即x-y-2=0或x+y-2=0.7
