高考大题专项练3 数列问题1.在等比数列{an}(n∈N*)中,a1>1,公比q>0,设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{bn}的前n项和Sn及数列{an}的通项an.2.(2014福建质检)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a4=2a3,S2=6.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足:bn=an+log2an,求数列{bn}的前n项和Tn.4\n3.如图,从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y=ex于点Q1(0,1),曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2,再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2,依次重复上述过程得到一系列点:P1,Q1;P2,Q2;…;Pn,Qn.记Pk点的坐标为(xk,0)(k=1,2,…,n).(1)试求xk与xk-1的关系(2≤k≤n);(2)求|P1Q1|+|P2Q2|+…+|PnQn|.4.(2014湖北七市模拟)已知数列{an}是公比为的等比数列,且1-a2是a1与1+a3的等比中项,前n项和为Sn;数列{bn}是等差数列,b1=8,其前n项和Tn满足Tn=nλ·bn+1(λ为常数,且λ≠1).(1)求数列{an}的通项公式及λ的值;(2)比较+…+Sn的大小.5.(2014福建福州质检)已知数列{log3(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=4,a2=10.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:+…+.4\n6.已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足:an+1=,n∈N*.(1)设bn+1=1+,n∈N*,求证:数列是等差数列;(2)设bn+1=,n∈N*,且{an}是等比数列,求a1和b1的值.答案：1.(1)证明:∵bn=log2an,∴bn+1-bn=log2=log2q为常数.∴数列{bn}为等差数列,且公差d=log2q.(2)解:设数列{bn}的公差为d,∵b1+b3+b5=6,∴b3=2.∵a1>1,∴b1=log2a1>0.∵b1b3b5=0,∴b5=0.∴解得∴Sn=4n+×(-1)=.∵∴an=25-n(n∈N*).2.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,由解得所以an=a1qn-1=2n.(2)bn=an+log2an=2n+log22n=2n+n,所以Tn=(21+1)+(22+2)+…+(2n+n)=(21+22+…+2n)+(1+2+…+n)==2n+1+-2.3.解:(1)设Pk-1(xk-1,0),由y'=ex得Qk-1(xk-1,)点处的切线方程为y-(x-xk-1).由y=0得xk=xk-1-1(2≤k≤n).(2)由x1=0,xk-xk-1=-1,得xk=-(k-1),所以|PkQk|==e-(k-1),于是Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+…+|PnQn|=1+e-1+e-2+…+e-(n-1)=.4.解:(1)由题意得(1-a2)2=a1(a3+1),即=a1,解得a1=,∴an=.设{bn}的公差为d,又即解得(舍),∴λ=.(2)由(1)知Sn=1-,∴Sn=.①又Tn=4n2+4n,=,∴+…+=,②由①②可知+…+Sn.5.(1)解:设等差数列的公差为d,由a1=4,a2=10,得log3(4-1)=1,log3(10-1)=2,所以d=1,所以log3(an-1)=1+(n-1)×1=n,即an=3n+1.4\n(2)证明:因为,所以+…+===.6.解:(1)证明:由题设知an+1=,所以,从而=1(n∈N*),所以数列是以1为公差的等差数列.(2)因为an>0,bn>0,所以<(an+bn)2,从而1<an+1=.(*)设等比数列{an}的公比为q,由an>0知q>0.下证q=1.若q>1,则a1=<a2≤,故当n>logq时,an+1=a1qn>,与(*)矛盾;若0<q<1,则a1=>a2>1,故当n>logq时,an+1=a1qn<1,与(*)矛盾.综上,q=1,故an=a1(n∈N*),所以1<a1≤.又bn+1=·bn(n∈N*),所以{bn}是公比为的等比数列.若a1≠,则>1,于是b1<b2<b3.又由a1=得bn=,所以b1,b2,b3中至少有两项相同,矛盾.所以a1=,从而bn=.所以a1=b1=.4
