第九章 直线和圆的方程第二讲 圆的方程及直线、圆的位置关系1.[2021南京市学情调研]在平面直角坐标系xOy中,已知圆A:(x-1)2+y2=1,点B(3,0),过动点P引圆A的切线,切点为T.若|PT|=2|PB|,则动点P的轨迹方程为( )A.x2+y2-14x+18=0B.x2+y2+14x+18=0C.x2+y2-10x+18=0D.x2+y2+10x+18=02.[2021云南省部分学校统一检测]圆x2+y2-4y-4=0上恰有两点到直线x-y+a=0(a>0)的距离为2,则a的取值范围是( )A.(4,8)B.[4,8)C.(0,4)D.(0,4]3.[2021河南省名校第一次联考]已知圆C:(x-a)2+y2=4(a≥2)与直线x-y+22-2=0相切,则圆C与直线x-y-4=0相交所得弦长为( )A.1B.2C.2D.224.[2021安徽省示范高中联考]已知两个不相等的实数a,b满足关系式b2cosθ+bsinθ+2=0和a2cosθ+asinθ+2=0,则经过A(a2,a),B(b2,b)两点的直线l与圆x2+y2=4的位置关系是( )A.相交B.相离C.相切D.与θ的取值有关5.[2020武汉市高三学习质量检测]圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦的长为( )A.2B.2C.22D.236.[2020贵阳市高三摸底测试]“m=43”是“直线x-my+4m-2=0与圆x2+y2=4相切”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.[2020湖北武汉部分学校测试]已知A(-1,0),B(1,0)两点以及圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),若圆C上存在点P,满足AP·PB=0,则r的取值范围是( )A.[3,6]B.[3,5]C.[4,5]D.[4,6]8.[2020浙江名校联考]设圆x2+y2-2x-3=0截x轴和y轴所得的弦分别为AB和CD,则四边形ACBD的面积是( )A.83B.43C.8D.49.[原创题]已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,若点A,B在圆C上,满足|AB|=23,且AB的中点M在直线2x+y+k=0上,则实数k的取值范围是( )A.[-25,25]B.[-5,5]C.(-5,5)D.[-5,5]第9页共9页\n10.[2021合肥市调研检测]若直线l经过抛物线x2=-4y的焦点且与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切,则直线l的方程为 . 11.[2020湖北孝感模拟]在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a+2).若存在点P,使得|PA|=2|PB|,|PC|=|PD|,则实数a的取值范围是 . 12.[2020山东省质检]过直线x+y+1=0上一点P作圆C:x2+y2-4x-2y+4=0的两条切线,切点分别为A,B,若四边形PACB的面积为3,则点P的横坐标为 . 13.[2020湖南模拟]若函数f(x)=-1beax(a>0,b>0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是 . 14.[2018全国卷Ⅱ,19,12分][理]设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.15.[2021山西省晋南检测]过圆x2+y2=4上一点P作圆O:x2+y2=m2(m>0)的两条切线,切点分别为A,B,若∠APB=π3,则实数m=( )A.13B.12C.1D.216.[2021陕西百校联考]已知圆M:x2+y2+2x-1=0,直线l:x-y-3=0,点P在直线l上运动,直线PA,PB分别与圆M相切于点A,B,当切线长PA最小时,弦AB的长度为( )A.62B.6C.26D.4617.[2021陕西省部分学校摸底检测]已知圆C1:x2+y2-kx-y=0和圆C2:x2+y2-2ky-1=0的公共弦所在的直线恒过定点M,且点M在直线mx+ny=2上,则m2+n2的最小值为( )A.15B.55C.255D.4518.[2021黑龙江省高三六校联考]已知直线3x-y-3=0与x轴交于点A,与圆M:(x-2)2+(y+3)2=4交于B,C两点,过点A的直线与过B,C两点的动圆N相切于点P,当△PBC的面积最大时,切线AP的方程为( )第9页共9页\nA.x+3y+3=0B.3x+y+3=0C.3x+y-3=0D.x+3y-3=019.[2020惠州市一调]已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3的公共点的个数为( )A.1B.2C.4D.020.[2020江苏,14,5分]在平面直角坐标系xOy中,已知P(32,0),A,B是圆C:x2+(y-12)2=36上的两个动点,满足|PA|=|PB|,则△PAB面积的最大值是 . 21.[2020广东省茂名市联考]已知圆C:x2+y2-8x-6y+F=0与圆O:x2+y2=4相外切,切点为A,过点P(4,1)的直线与圆C交于点M,N,线段MN的中点为Q.(1)求点Q的轨迹方程;(2)若|AQ|=|AP|,点P与点Q不重合,求直线MN的方程及△AMN的面积.22.[2019湖北省模拟]已知圆C经过点A(74,174),B(-318,338),直线x=0平分圆C,直线l与圆C相切,与圆C1:x2+y2=1相交于P,Q两点,且满足OP⊥OQ(O为坐标原点).(1)求圆C的方程;(2)求直线l的方程.23.[递进型]已知圆C:x2+y2-2x-6y+4=0与直线l:x+y+b=0,若直线l与圆C交于A,B两点,且∠AOB=90°(O为坐标原点),则b= ,|AB|= . 第9页共9页\n24.[与不等式综合]点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,若a,b均为正实数,则1a+1+1b的最小值为 . 25.[2020南昌市一模][递进型]如图9-2-1,一列圆Cn:x2+(y-an)2=rn2(an>0,rn>0)逐个外切,且所有的圆均与直线y=±22x相切,若r1=1,则a1= ,rn= . 图9-2-1答案第二讲 圆的方程及直线、圆的位置关系1.C 设P(x,y),由圆的切线的性质知,|PT|2+|AT|2=|PA|2.因为|PT|=2|PB|,所以2|PB|2+|AT|2=|PA|2,即2[(x-3)2+y2]+1=(x-1)2+y2,整理得x2+y2-10x+18=0,故选C.2.A 将圆的方程x2+y2-4y-4=0化为标准方程得x2+(y-2)2=8,则该圆的圆心坐标为(0,2),半径为22.设圆心到直线x-y+a=0(a>0)的距离为d,因为圆x2+(y-2)2=8上恰有两点到直线x-y+a=0(a>0)的距离为2,所以2<d<32,即2<|0-2+a|2<32,又a>0,解得4<a<8,即a的取值范围是(4,8).故选A.3.D 圆心(a,0)到直线x-y+22-2=0的距离d1=|a+22-2|2,因为圆C:(x-a)2+y2=4(a≥2)与直线x-y+22-2=0相切,所以d1=|a+22-2|2=2,解得a=2或a=2-42.因为a≥2,所以a=2.(x-2)2+y2=4的圆心(2,0)到直线x-y-4=0的距离d2=|2-4|2=2,所以圆C与直线x-y-4=0相交所得弦长为222-d22=22,故选D.4.C 由题意,点A,B的坐标都满足xcosθ+ysinθ+2=0,所以直线l的方程为xcosθ+ysinθ+2=0,由xcosθ+ysinθ+2=0,x2+y2=4,可得y2+(4sinθ)y+4sin2θ=0,因为Δ=16sin2θ-4×4sin2θ=0,所以直线l和圆x2+y2=4相切.故选C.第9页共9页\n5.C 解法一 因为C1:x2+y2=4,C2:x2+y2-4x+4y-12=0,所以圆C1的圆心为C1(0,0),半径r=2,两圆的公共弦所在直线的方程为4x-4y+8=0,即x-y+2=0.因为C1(0,0)到直线x-y+2=0的距离d=22=2,所以两圆的公共弦的长为2r2-d2=222-(2)2=22,故选C.解法二 因为C1:x2+y2=4,C2:x2+y2-4x+4y-12=0,所以圆C2的圆心为C2(2,-2),半径r=25,两圆的公共弦所在的直线方程为4x-4y+8=0,即x-y+2=0.因为C2(2,-2)到直线x-y+2=0的距离d=|2-(-2)+2|2=62=32,所以两圆的公共弦的长为2r2-d2=2(25)2-(32)2=22,故选C.6.A 由直线x-my+4m-2=0与圆x2+y2=4相切,可知圆心到直线的距离等于半径,可得到|4m-2|1+m2=2,即(2m-1)2=1+m2,解得m=0或m=43,所以“m=43”是“直线x-my+4m-2=0与圆x2+y2=4相切”的充分不必要条件.7.D 因为AP·PB=0,所以AP⊥PB,所以点P在以原点为圆心,AB为直径的圆上,且该圆的方程为x2+y2=1.又点P在圆C上,所以两圆有公共点.因为两圆的圆心距d=32+42=5,所以|r-1|≤5≤r+1,解得4≤r≤6.故选D.8.B 把圆的方程x2+y2-2x-3=0化成标准方程为(x-1)2+y2=4,所以该圆的圆心坐标为(1,0),半径为2,所以该圆截x轴所得的弦AB的长|AB|=4,截y轴所得的弦CD的长|CD|=24-1=23,所以四边形ACBD的面积S=12|AB|×|CD|=12×4×23=43.故选B.9.D 圆C的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=4,易知圆心C的坐标为(-1,2),半径r=2,连接CM,因为|AB|=23,所以|CM|=r2-(|AB|2)2=1,因此点M在以C(-1,2)为圆心、1为半径的圆上.又点M在直线2x+y+k=0上,故直线2x+y+k=0与圆(x+1)2+(y-2)2=1有公共点,于是|-2+2+k|5≤1,解得-5≤k≤5.故选D.10.x=0或4x-3y-3=0 由题意,知抛物线的焦点为(0,-1),圆的圆心为(1,2),半径为1.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,与圆相切,满足题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,则由直线与圆相切,得|k-2-1|k2+1=1,解得k=43,所以直线l的方程为y=43x-1,即4x-3y-3=0.综上所述,直线l的方程为x=0或4x-3y-3=0.11.[-22-1,22-1] 设P(x,y),则由|PA|=2|PB|,得(x-1)2+y2=2·(x-3)2+y2,整理得(x-5)2+y2=8,即动点P在以(5,0)为圆心,22为半径的圆上运动.又由|PC|=|PD|,知动点P在线段CD的垂直平分线y=a+1上运动,因而问题转化为直线y=a+1与圆(x-5)2+y2=8有交点,所以|a+1|≤22,解得-22-1≤a≤22-1,即实数a的取值范围是[-22-1,22-1].12.-1或1 圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=1,可知圆心为C(2,1),半径为1.因为四边形PACB的面积为3,所以|PA|×1=3,即|PA|=3.连接PC,在Rt△PAC中,|PC|=|PA|2+|AC|2=32+12=10,设P(a,-a-1),则(a-2)2+(-a-2)2=10,整理得a2=1,解得a=-1或a=1,即点P的横坐标为-1或1.第9页共9页\n13.2 因为f(x)=-1beax(a>0,b>0),所以f'(x)=-abeax,所以f'(0)=-ab,又f(0)=-1b,所以在x=0处的切线的方程为y+1b=-abx,即ax+by+1=0.因为切线与圆x2+y2=1相切,所以圆x2+y2=1的圆心到切线的距离d=1a2+b2=1,即a2+b2=1,因为a>0,b>0,所以a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2,所以a+b≤2,所以a+b的最大值是2.14.(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,x1+x2=2k2+4k2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=4k2+4k2.由题设知4k2+4k2=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线的方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0=-x0+5,(x0+1)2=(y0-x0+1)22+16,解得x0=3,y0=2或x0=11,y0=-6.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.15.C 如图D9-2-3,连接OA,OB,OP,则∠APO=12∠APB=π6,∴m=|OA|=|PO|·sin∠APO=2×12=1,故选C.图D9-2-316.B 解法一 由题意可得圆M的标准方程为(x+1)2+y2=2.设P(a,a-3),则|PA|2=|PM|2-|MA|2=(a+1)2+(a-3)2-2=2(a-1)2+6,所以当a=1时,|PA|2取得最小值6,所以|PA|min=6,此时|PM|=22,S△PAM=12×|MA|×|PA|=12×|PM|×|AB|2,即2×6=22×|AB|2,解得|AB|=6,故选B.解法二 因为|PA|2=|PM|2-|MA|2=|PM|2-2,所以当|PA|取得最小值时,|PM|取得最小值,此时直线PM与直线l垂直,则|PM|=|-1-0-3|2=42=22,|PA|=|PM|2-2=6,所以S△PAM=12×|MA|×|PA|=12×|PM|×|AB|2,即2×6=22×|AB|2,解得|AB|=6,故选B.第9页共9页\n17.C 由圆C1:x2+y2-kx-y=0和圆C2:x2+y2-2ky-1=0,可得两圆的公共弦所在的直线方程为k(x-2y)+(y-1)=0,联立x-2y=0,y-1=0,解得x=2,y=1,即点M(2,1),又点M在直线mx+ny=2上,所以2m+n=2.因为原点(0,0)到直线2x+y=2的距离d=222+12=255,所以m2+n2的最小值为255,故选C.18.D 由题意得,A(3,0),圆M的圆心M(2,-3),所以|AM|2=(3-2)2+32=16-43.如图D9-2-4,图D9-2-4设H是BC的中点,则|AP|2=|AN|2-|NP|2=|AN|2-|NC|2=(|AH|2+|NH|2)-(|CH|2+|NH|2)=|AH|2-|CH|2=(|AM|2-|MH|2)-(|MC|2-|MH|2)=|AM|2-|MC|2=12-43,所以|AP|为定值.在△PBC中,设BC边上的高为h,则S△PBC=12|BC|·h,由于|BC|不变,则当PA⊥BC时,h最大,此时S△PBC取得最大值,此时AP的方程为y=-33(x-3),即x+3y-3=0,故选D.19.B 双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线的方程为y=bax.由离心率e=ca=2得c2a2=4,即a2+b2a2=4,得ba=3,所以这条渐近线的方程为y=3x.由y=3x,(x-2)2+y2=3消去y整理得4x2-4x+1=0,因为Δ=16-4×4=0,所以渐近线y=3x与圆(x-2)2+y2=3只有一个公共点.由对称性可得该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3的公共点的个数为2,故选B.20.105 解法一 连接CA,CB,则|CA|=|CB|,连接CP,由|PA|=|PB|且|CA|=|CB|得AB的垂直平分线是直线CP,设圆心C到AB的距离为d(0≤d<6),易知当△PAB的面积最大时,点P到直线AB的距离为d+|PC|=d+1,|AB|=236-d2,△PAB的面积S=12|AB|(d+1)=12×236-d2(d+1)=36(d+1)2-d2(d+1)2,令d+1=t,t∈[1,7),则S=36t2-(t-1)2t2,令f(t)=36t2-(t-1)2t2=-t4+2t3+35t2,t∈[1,7),则f'(t)=-4t3+6t2+70t=-2t(t-5)(2t+7),由f'(t)=0,得t=5,则当t∈[1,5)时,f'(t)>0,f(t)单调递增,当t∈(5,7)时,f'(t)<0,f(t)单调递减,所以f(t)max=f(5)=500,则△PAB面积的最大值为105.解法二 如图D9-2-5,连接CA,CB,则|CA|=|CB|,连接PC,图D9-2-5第9页共9页\n由|PA|=|PB|且|CA|=|CB|,得AB的垂直平分线是直线CP.当AB经过点C时,△PAB的面积S=12×12×1=6.当AB在点C的左上方时,记直线PC与AB的交点为D,设∠ACD=θ,θ∈(0,π2),则|AB|=2|AD|=12sinθ,|CD|=6cosθ,则△PAB的面积S=12|AB|·|PD|=12×12sinθ(6cosθ+1)=36sinθcosθ+6sinθ,则S'=36cos2θ-36sin2θ+6cosθ=36cos2θ+6cosθ=6(12cos2θ+cosθ-6),由S'=0得cosθ=23(舍去cosθ=-34),且当0<cosθ<23时,S'<0,S单调递减;当23<cosθ<1时,S'>0,S单调递增,所以当cosθ=23时,S取得最大值,且Smax=36×1-(23)2×23+6×1-(23)2=105.综上,△PAB面积的最大值为105.21.(1)圆C的标准方程为(x-4)2+(y-3)2=25-F,圆心C(4,3),半径为25-F,由圆C与圆O相外切知25-F+2=16+9,所以F=16.圆C:(x-4)2+(y-3)2=9,点P(4,1)在圆C内,弦MN过点P,Q是MN中点,则CQ⊥MN,所以点Q的轨迹是以CP为直径的圆,方程为(x-4)2+(y-2)2=1.(2)连接OC,线段OC与圆O的交点为A,联立y=34x与x2+y2=4,解得点A(85,65).若|AQ|=|AP|,则P,Q是以点A为圆心,AP为半径的圆与点Q的轨迹的交点,由(x-85)2+(y-65)2=(85-4)2+(65-1)2与(x-4)2+(y-2)2=1得3x+y-13=0,所以直线MN的方程为3x+y-13=0.点C(4,3)到直线MN的距离d=|12+3-13|10=210,|MN|=29-d2=22155.点A到直线MN的距离h=|245+65-13|10=710,所以△AMN的面积S=12|MN|·h=71086.22.(1)依题意知圆心C在y轴上,可设圆心C(0,b),圆C的方程为x2+(y-b)2=r2(r>0).因为圆C经过A,B两点,所以(74)2+(174-b)2=(-318)2+(338-b)2,即716+28916-172b+b2=3164+108964-334b+b2,解得b=4,进而可得r=22.所以圆C的方程为x2+(y-4)2=12.(2)当直线l的斜率不存在时,由l与C相切得l的方程为x=22或x=-22,此时直线l与C1交于P,Q两点,不妨设P在Q点上方,则P(22,22),Q(22,-22)或P(-22,22),Q(-22,-22),则OP·OQ=0,所以OP⊥OQ,满足题意.当直线l的斜率存在时,易知其斜率不为0,纵截距不为0,故可设直线l的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),第9页共9页\n将直线l的方程与圆C1的方程联立,得y=kx+m,x2+y2=1,消去y,整理得(1+k2)x2+2kmx+m2-1=0,则Δ=4k2m2-4(1+k2)(m2-1)=4(k2-m2+1)>0,即1+k2>m2,x1+x2=-2km1+k2,x1x2=m2-11+k2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2(m2-1)1+k2-2k2m21+k2+m2=m2-k21+k2,又OP⊥OQ,所以OP·OQ=0,即x1x2+y1y2=m2-11+k2+m2-k21+k2=0,故2m2=1+k2,满足Δ>0,符合题意.因为直线l:y=kx+m与圆C:x2+(y-4)2=12相切,所以圆心C(0,4)到直线l的距离d=|m-4|1+k2=22,可得m2-8m+16=1+k22,故m2-8m+16=m2,得m=2,故1+k2=2×22,得k=7或k=-7,故直线l的方程为y=7x+2或y=-7x+2.综上,直线l的方程为x=22或x=-22或y=7x+2或y=-7x+2.23.-2 4 由x2+y2-2x-6y+4=0,x+y+b=0,得2x2+2(b+2)x+b2+6b+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得x1+x2=-b-2,x1x2=b2+6b+42.因为∠AOB=90°,所以OA⊥OB,所以OA·OB=x1x2+y1y2=0,即x1x2+(-x1-b)(-x2-b)=0,即2x1x2+b(x1+x2)+b2=0,所以b2+6b+4+b(-b-2)+b2=0,解得b=-2,故直线l为x+y-2=0.易知圆C的圆心为(1,3),半径为6,故圆心到直线x+y-2=0的距离为|1+3-2|2=2,所以|AB|=2×6-2=4.24.1 曲线C的方程可整理为(x-2)2+y2=25,则曲线C表示圆心为(2,0),半径为5的圆.t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,设d=(x+6)2+(y-6)2,则d表示圆C上的点到点(-6,6)的距离,则dmax=(2+6)2+(0-6)2+5=15,所以tmax=152-222-a=b,整理得a+1+b=4.所以1a+1+1b=14(1a+1+1b)(a+1+b)=14×(1+ba+1+a+1b+1).又ba+1+a+1b≥2ba+1·a+1b=2(当且仅当ba+1=a+1b,即a=1,b=2时取等号),所以1a+1+1b≥14×4=1,即1a+1+1b的最小值为1.25.3 2n-1 圆Cn:x2+(y-an)2=rn2与直线y=±22x相切,所以圆心(0,an)到切线的距离dn=an3=rn,所以an=3rn,因为r1=1,所以a1=3.圆Cn与圆Cn+1外切,所以|CnCn+1|=an+1-an=3(rn+1-rn)=rn+1+rn,所以rn+1rn=2,数列{rn}是以1为首项,2为公比的等比数列,所以rn=2n-1.第9页共9页
