专题检测（二）平面向量一、选择题1.设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于( )A.－ B.－C.D.解析：选A 因为c＝a＋kb＝(1＋k，2＋k)，又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.2.(2019·洛阳市统考)已知向量a＝(1，)，|b|＝3，且a与b的夹角为，则|2a＋b|＝( )A.5B.C.7D.37解析：选B ∵a＝(1，)，∴|a|＝2，∵|b|＝3，a与b的夹角为，∴a·b＝3，∴|2a＋b|2＝4a2＋4a·b＋b2＝16＋12＋9＝37，∴|2a＋b|＝，故选B.3.已知在平面直角坐标系中，点A(0，1)，向量＝(－4，－3)，＝(－7，－4)，则点C的坐标为( )A.(11，8)B.(3，2)C.(－11，－6)D.(－3，0)解析：选C 设C(x，y)，∵在平面直角坐标系中，点A(0，1)，向量＝(－4，－3)，＝(－7，－4)，∴＝＋＝(－11，－7)，∴解得x＝－11，y＝－6，故C(－11，－6).4.(2019·广州市综合检测一)a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于( )A.－B.－C.D.解析：选B 设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以解得故b＝(1，－2)，|b|＝，|a|＝2，cos〈a，b〉＝＝\n＝－，故选B.5.(2019·广州市调研测试)已知△ABC的边BC上有一点D满足＝4，则可表示为( )A.＝＋B.＝＋C.＝＋D.＝＋解析：选D 因为＝4，所以＝，故＝＋＝－＝－(－)＝＋，故选D.6.(2019·合肥市第一次质检)设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为( )A.B.(－6，8)C.D.(6，－8)解析：选D 法一：因为a与b的方向相反，所以可设b＝(3t，－4t)(t＞0)，又|b|＝10，则9t2＋16t2＝100，解得t＝2或t＝－2(舍去)，所以b＝(6，－8)，故选D.法二：与a方向相反的单位向量为，令b＝t(t＞0)，由|b|＝10，得t＝10，所以b＝(6，－8)，故选D.7.(2019·东北四市联合体模拟一)已知e1，e2是两个单位向量，且夹角为，则e1＋te2与te1＋e2数量积的最小值为( )A.－B.－C.D.解析：选A (e1＋te2)·(te1＋e2)＝te＋e1·e2＋t2e1·e2＋te＝t＋|e1||e2|cos＋t2|e1||e2|cos＋t＝t2＋2t＋＝(t＋2)2－≥－，所以e1＋te2与te1＋e2数量积的最小值为－\n，故选A.8.已知a和b是非零向量，m＝a＋tb(t∈R)，若|a|＝1，|b|＝2，当且仅当t＝时，|m|取得最小值，则向量a，b的夹角θ为( )A.B.C.D.解析：选C 由m＝a＋tb，及|a|＝1，|b|＝2，得|m|2＝(a＋tb)2＝4t2＋4tcosθ＋1＝(2t＋cosθ)2＋sin2θ，由题意得，当t＝时，cosθ＝－，则向量a，b的夹角θ为，故选C.9.(2019·长春市质量监测二)如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边的中点，F为CD边上一点，若·＝||2，则||＝( )A.3B.5C.D.解析：选D 法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，0)，E(2，1).设|→|＝x，则F(x，2)，故＝(x，2)，＝(2，1).∵·＝||2，∴(x，2)·(2，1)＝2x＋2＝5，解得x＝，∴||＝＝，故选D.法二：连接EF，∵·＝||||cos∠EAF＝||2，∴||cos∠EAF＝||，∴EF⊥AE.∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝1.设DF＝x，则CF＝2－x.在Rt△AEF中，AE2＋EF2＝AF2，即22＋12＋(2－x)2＋12＝22＋x2，解得x＝，∴AF＝＝.故选D.10.(2019·四川泸州第二次教学质量诊断)在△ABC中，|＋|＝|－|，AB＝3，AC＝4，则在方向上的投影是( )A.4B.－4\nC.3D.－3解析：选B ∵|＋|＝|－|，∴2＋2·＋2＝2－2·＋2，∴·＝0，∴⊥.又AB＝3，AC＝4，∴在方向上的投影是||·cos〈，〉＝||·cos(π－∠ACB)＝－||·cos∠ACB＝－4，故选B.11.(2019·广东六校第一次联考)如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为( )A.B.C.D.解析：选C 法一：∵＝，∴＝.设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝＋λ＝λ＋(1－λ)，又＝t＋，∴t＋＝λ＋(1－λ)，得解得t＝λ＝，故选C.法二：∵＝，∴＝，∴＝t＋＝t＋.∵B，P，N三点共线，∴t＋＝1，∴t＝，故选C.12.(2019·辽宁鞍山一中一模)△ABC中，AB＝5，AC＝4，＝λ＋(1＋λ)(0＜λ＜1)，且·＝16，则·的最小值等于( )A.－B.－C.－D.－21\n解析：选C 由题意可得点D在边BC上，且||·||·cos∠DAC＝16，所以||cos∠DAC＝4＝||，则BC⊥AC，所以△ABC是以C为直角的直角三角形，BC＝3.如图建立平面直角坐标系，设A(x，4)，则B(x－3，0)，则·＝x(x－3)，0＜x＜3，则当x＝时，·最小，最小值为－.故选C.二、填空题13.设向量a，b满足|a＋b|＝2|a－b|，|a|＝3，则|b|的最大值是________，最小值是________.解析：由|a＋b|＝2|a－b|两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝4(a2－2a·b＋b2)，化简得到3a2＋3b2＝10a·b≤10|a||b|，|b|2－10|b|＋9≤0，解得1≤|b|≤9.答案：9 114.(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.解析：由题意，得cos〈a，c〉＝＝＝＝.答案：15.(2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.解析：法一：△AEB为等腰三角形，易得|BE|＝2，所以＝＋＝－，则·＝(－)·＝－2－2＋·＝－10－12＋21＝－1.法二：如图，如点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，垂直BC且过点B的直线为y轴，建立平面直角系标系，则B(0，0)，易知E(－2，0)，A(－3，)，又BD＝＝，所以D(2，)，于是＝(2，)，＝(1，－)，所以·＝(2，)·(1，－)＝2－3＝－1.\n答案：－116.(2019·成都第一次诊断性检测)已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.若＝λ，则当△ABC与△APQ的面积之比为20∶9时，实数λ的值为________.解析：设＝μ，则由＝λ，＝.可得＝＝，所以λμ＝ ①.又G为△ABC的重心，所以＝(＋)＝＝＋，结合P，G，Q三点共线，得＋＝1 ②.联立①②消去μ，得20λ2－27λ＋9＝0，解得λ＝或.答案：或
