第十二章 统计与统计案例第一讲 随机抽样与用样本估计总体1.[2021惠州第二次调研]惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件,生产的件数分别是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.记这组数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a2.[2021黑龙江省六校阶段联考]一组数据的平均数为m,方差为n,将这组数据的每个数都乘以a(a>0)得到一组新数据,则下列说法正确的是( )A.这组新数据的平均数为mB.这组新数据的平均数为a+mC.这组新数据的方差为anD.这组新数据的标准差为an3.[2021合肥市调研检测]为了保障广大人民群众的身体健康,在新冠肺炎疫情防控期间,有关部门对辖区内15家药店所销售的A,B两种型号的口罩进行了抽检,每家药店抽检10包口罩(每包10只),15家药店中抽检的A,B型号口罩不合格数(Ⅰ,Ⅱ)的茎叶图如图12-1-1所示,则下列结论不正确的是( )A型号口罩(Ⅰ) B型号口罩(Ⅱ)6588065882424023622114106110215803图12-1-1A.估计A型号口罩的合格率小于B型号口罩的合格率B.Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数C.Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数D.Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差4.[2021江淮十校第一次联考]受新冠肺炎疫情的影响,学校停课,同学们通过三种方式在家自主学习,假设每人只选择一种方式,现学校想了解同学们对假期学习方式的满意程度,收集选择每种方式自主学习的人数数据,制成扇形统计图,如图12-1-2(1)所示.教务处通过分层抽样的方法抽取4%的同学进行调查,得到的数据如图12-1-2(2)所示.下列说法错误的是( )\n图12-1-2A.样本容量为240B.若m=50,则本次自主学习学生的满意率不低于40%C.总体中对方式二满意的学生约为300人D.样本中对方式一满意的学生为24人5.[2021河南省名校第一次联考]随着2022年北京冬奥会临近,中国冰雪产业快速发展,冰雪运动人数快速上升,冰雪运动市场需求得到释放,将引领户外用品行业市场增长.下面图12-1-3是2012年至2018年中国雪场滑雪人次(单位:万人次)与同比增长率的统计图,则下面结论中不正确的是( )图12-1-3A.2013年至2018年,中国雪场滑雪人次逐年增加B.2013年至2015年,中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加C.2018年与2013年相比,中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等,所以同比增长人数也近似相等D.2018年与2016年相比,中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%6.[2021大同市调研测试]中国传统文化是中华民族智慧的结晶,是中华民族的历史遗产在现实生活中的展现.某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况,随机抽取50名学生进行调查.将数据分组整理后,列表如下:参加场数01234567参加人数占调查人数的百分比8%10%20%26%18%m%4%2%\n以下四个结论中正确的是( )A.表中m的数值为10B.估计该校高一学生参加传统文化活动不高于2场的有180人C.估计该校高一学生参加传统文化活动不低于4场的有360人D.若采用系统抽样的方法进行调查,从该校高一1000名学生中抽取容量为50的样本,则分段间隔为257.[2021洛阳市统考]随着我国经济实力的不断提升,居民收入也在不断增加.抽样发现某市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍,实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化,现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例,得到如图12-1-4所示的折线图,则下列结论中正确的是( )图12-1-4A.该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B.该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍C.该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的6倍D.该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当8.[2020惠州市一调]某高校调查了320名学生每周的自习时间(单位:时),制成了如图12-1-5所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20],(20,22.5],(22.5,25],(25,27.5],(27.5,30].根据频率分布直方图,这320名学生中每周的自习时间不超过22.5时的人数是( )图12-1-5A.68B.72C.76D.809.[2020安徽蚌埠蚌山区模拟]现要完成下列三项抽样调查:①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查;②高二年级有1500名学生,为调查学生的学习情况,抽取一个容量为15的样本;③从某社区100户高收入家庭、270户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查.较为合理的抽样方法是( )A.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样B.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样C.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样D.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样\n10.[2020江西红色七校第一次联考]高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”,为评估共享单车的使用情况,选了n座城市作试验基地,这n座城市共享单车的使用量(单位:人次/天)分别为x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( )A.x1,x2,…,xn的标准差B.x1,x2,…,xn的平均数C.x1,x2,…,xn的最大值D.x1,x2,…,xn的中位数11.[2021山东新高考模拟]某校3个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名学生只参加一个小组).篮球组书画组乐器组高一4530★高二152010已知用分层抽样的方法从参加这3个兴趣小组的学生中共抽取30人,其中篮球组被抽出12人,则★处的值为 . 12.[2020陕西省部分学校摸底检测]如图12-1-6,茎叶图表示甲、乙两人在5次测验中的数学分数,其中有一个数据被污损,若乙的数学分数的中位数恰好等于甲的数学分数的平均数,则处的值为 . 图12-1-613.[2020四省八校二检][并列型]若a1,a2,…,a2020的平均数、方差分别是2和1,bI=3aI+2(I=1,2,…,2020),则b1,b2,…,b2020的平均数为 ,方差为 . 14.[数学文化题]《九章算术》第三章“衰分”中有如下表述:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱,欲以钱数多少衰出之.”其意为:“今有甲带了560钱,乙带了350钱,丙带了180钱,三人一起出关,共需要交关税100钱,依照钱的多少按比例出钱.”则丙应出 钱(结果保留整数). 15.[2020武汉市高三学习质量检测]一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖,每袋白糖的标准质量是500g,为了了解这些白糖的实际质量,称出各袋白糖的实际质量(单位:g)如下:503,502,496,499,491,498,506,504,501,510.(1)求这10袋白糖的平均质量x和标准差s;(2)从这10袋中任取2袋白糖,那么其中恰有1袋的质量不在(x-s,x+s)内的概率是多少?附:25.8≈5.08,258≈16.06,25.9≈5.09,259≈16.09.\n16.[2021江西红色七校第一次联考][决策问题]为了解消费者购物情况,某购物中心随机抽取了n张电脑小票进行消费金额(单位:元)的统计,将结果分成6组,分别是[0,100),[100,200),[200,300),[300,400),[400,500),[500,600],制成如图12-1-7所示的频率分布直方图(假设消费金额均在区间[0,600]内).(1)若在消费金额为区间[400,600]内按分层抽样的方法抽取6张电脑小票,再从中任选2张,求这2张小票中1张来自区间[400,500),另1张来自区间[500,600]的概率.(2)为做好春节期间的商场促销活动,该购物中心设计了两种不同的促销方案.方案一:全场商品打八五折;方案二:全场购物满100元减20元,满300元减80元,满500元减120元,以上减免只取最高优惠,不重复减免.试用频率分布直方图的信息分析哪种方案优惠力度更大,并说明理由.图12-1-717.[2020湖北部分重点中学高三测试]在新高考的“3+3”模式中,语、数、外三门为必考科目,剩下三门为选考科目.选考科目成绩采用“赋分制”,即原始成绩(单位:分)不直接使用,而是按照原始成绩在本科目考试中的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.假定A省规定:选考科目按考生的原始成绩从高到低排列,按照占总体15%,35%,35%,15%分别赋予70分、60分、50分、40分.为了让学生体验“赋分制”计算最后得分的方法,A省某高中高一(1)班(共40人)举行了一次摸底考试(选考科目全考,单科全班排名),已知这次摸底考试中的物理原始成绩(满分100分)的频率分布直方图、化学原始成绩(满分100分)的茎叶图分别如图12-1-8和图12-1-9所示,小明同学在这次考试中物理原始成绩为82分,化学原始成绩为70多分.图12-1-8图12-1-9(1)采用“赋分制”后,求小明的物理最后得分;(2)若小明的化学最后得分为60分,求小明的原始成绩的可能值;(3)若小明在“3+3”模式新高考中必选物理,其他两科从化学、生物、历史、地理、政治五科中任选,求小明在“3+3”模式新高考中选考的科目包括化学的概率.\n18.[2020河北重点中学联考]搪瓷制品是通过在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的,曾经是人们不可或缺的生活用品,厨房用具中的锅碗瓢盆、喝茶用到的杯子、洗脸用到的脸盆、婚嫁礼品等中都有它的影子,它浓缩了一个时代的记忆.某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯,将其细分成6个等级,等级系数X依次为3,4,5,6,7,8.该公司将该款水杯的生产任务交给生产水平不同的M,N两厂,从N厂生产的该款搪瓷水杯中随机抽取30个,样本数据如图12-1-10所示.图12-1-10图12-1-11(1)依据图12-1-10,若从等级系数为7和8的搪瓷水杯中随机抽取2个,求这2个搪瓷水杯等级系数均为8的概率;(2)图12-1-11是5位网友对M,N两厂生产的搪瓷水杯的评分图,利用评分的平均数和标准差比较两厂生产的搪瓷水杯的评分情况,并说明理由.(参考数据:2.96≈1.72)19.[2020洛阳市第一次联考]前些年有部分企业只重视经济效益而没有环保意识,把大量的污染物排放到空中与地下,严重影响了人们的正常生活.为此政府进行强制整治,对不合格企业进行关闭、整顿,同时通过大量的绿化来净化环境.通过几年的整治,环境得到明显改善,针对政府这一行为,老百姓大大点赞.(1)某机构随机访问50名居民,这50名居民对政府的评分(满分为100分)如下表:分数[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]频数231114119请在图12-1-12中作出居民对政府评分的频率分布直方图.\n图12-1-12(2)环境整治后,当地环保部门随机抽测了2019年某月(共30天)的空气质量指数,其数据如下表:空气质量指数0~5051~100101~150151~200天数21882用空气质量指数的平均值作为判断该月空气质量指数级别的依据,则该月空气质量指数级别为几级?(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表,将频率视为概率,相关知识参见附表)(3)空气受到污染,呼吸系统疾病患者最易感染.根据以往经验,凡遇到空气污染,小李都会服用有关药品,遇到轻度污染,每天的服药费用为50元,遇到中度污染,每天的服药费用为100元.环境整治前的2015年11月份小李因空气污染而受到感染,服药花费了5000元,试估计小李2019年11月份(参考(2)中表格数据)比2015年11月份少花费了多少元的药费.附表:空气质量指数0~5051~100101~150151~200201~300>300空气质量指数级别一级二级三级四级五级六级空气质量指数类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染答案第十二章 统计与统计案例\n第一讲 随机抽样与用样本估计总体1.D 平均数a=10+12+14×2+15×2+16+17×310=14.7,中位数b=15+152=15,众数c=17,则c>b>a,故选D.2.D 由题知一组数据x1,x2,x3,x4,…,xi的平均数x=m,方差为n,则所得新数据的平均数为1i(ax1+ax2+ax3+ax4+…+axi)=am.因为n=1i[(x1-x)2+(x2-x)2+(x3-x)2+(x4-x)2+…+(xi-x)2],所以所得新数据的方差为1i[(ax1-ax)2+(ax2-ax)2+(ax3-ax)2+(ax4-ax)2+…+(axi-ax)2]=a2n,所以新数据的标准差为an,故选D.3.D 对于A,由茎叶图知,每家药店A型号口罩不合格的数量普遍大于B型号口罩,所以A型号口罩的合格率小于B型号口罩的合格率,故A结论正确;对于B,由茎叶图知,Ⅰ组数据的众数为12,Ⅱ组数据的众数为11,故B结论正确;对于C,由茎叶图知,Ⅰ组数据的中位数为12,Ⅱ组数据的中位数为11,故C结论正确;对于D,由茎叶图知,A型号口罩的不合格数相对比B型号口罩的不合格数更集中一些,所以Ⅰ组数据的方差小于Ⅱ组数据的方差,故D结论不正确.故选D.4.B 对于选项A,样本容量为6000×4%=240,故选项A正确;对于选项B,根据题意得自主学习的满意率为600+300+12506000≈0.358≈36%,选项B错误;对于选项C,用样本可以估计总体,但会有一定的误差,总体中对方式二满意的学生人数约为1500×20%=300,选项C正确;对于选项D,样本中对方式一满意的学生人数为2000×4%×30%=24,选项D正确.故选B.5.C 对于A,由统计图知,2013年至2018年,中国雪场滑雪人次逐年增加,故A正确;对于B,由统计图知,2013年至2015年,中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加,故B正确;对于C,2018年与2013年相比,中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等,但是同比增长人数不相等,2018年比2013年增长人数多,故C错误;对于D,2018年与2016年相比,中国雪场滑雪人次增长率为1970-15101510×100%≈30.5%,故D正确.选C.6.C 由8%+10%+20%+26%+18%+m%+4%+2%=1,得m=12,故选项A错误;由样本估计参加传统文化活动不高于2场的百分比为8%+10%+20%=38%,故估计该校高一学生参加传统文化活动不高于2场的有1000×38%=380(人),故选项B错误;由样本估计参加传统文化活动不低于4场的百分比为18%+12%+4%+2%=36%,故估计该校高一学生参加传统文化活动不低于4场的有1000×36%=360(人),故选项C正确;若采用系统抽样的方法进行调查,从该校高一1000名学生中抽取容量为50的样本,则分段间隔为100050=20,故选项D错误.综上可知,选C.7.C 不妨设该家庭2015年全年的收入为t,则2019年全年的收入为2t.对于A,该家庭2019年食品的消费额为0.2×2t=0.4t,2015年食品的消费额为0.4×t=0.4t,故A错误;对于B,该家庭2019年教育医疗的消费额为0.2×2t=0.4t,2015年教育医疗的消费额为0.3×t=0.3t,故B错误;对于C,该家庭2019年休闲旅游的消费额是\n0.3×2t=0.6t,2015年休闲旅游的消费额是0.1×t=0.1t,故C正确;对于D,该家庭2019年生活用品的消费额是0.15×2t=0.3t,该家庭2015年生活用品的消费额是0.15×t=0.15t,故D错误.故选C.8.B 这320名学生中每周的自习时间不超过22.5时的人数是(0.07+0.02)×2.5×320=72,故选B.9.D 在①中,从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查,总体个数较少,用简单随机抽样;在②中,高二年级有1500名学生,为调查学生的学习情况,抽取一个容量为15的样本,总体个数较多,用系统抽样;在③中,从某社区100户高收入家庭、270户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查,总体由差异明显的几部分组成,应用分层抽样.故选D.10.A 因为平均数、中位数、众数描述样本数据的集中趋势,方差和标准差描述其波动大小,所以表示一组数据x1,x2,…,xn的稳定程度的是方差或标准差,故选A.11.30 设★处的值为x,由分层抽样的定义可得1245+15=30x+120,解得x=30.12.6 由茎叶图知乙的数学分数的中位数为90.设处的值为x,则由题意,得90=80+x+89+88+91+965,解得x=6.13.8 9 因为bi=3ai+2(i=1,2,…,2020),所以b1,b2,…,b2020的平均数是3×2+2=8,方差是32×1=9.14.17 因为依照钱的多少按比例出钱,所以丙应该出的钱为180560+350+180×100=1801090×100≈17.15.(1)x=503+502+496+499+491+498+506+504+501+51010=501,s=110×[22+12+(-5)2+(-2)2+(-10)2+(-3)2+52+32+02+92]=25.8≈5.08.(2)(x-s,x+s)=(495.92,506.08),设从这10袋中任取2袋白糖,其中恰有1袋的质量不在(x-s,x+s)内为事件A,则从这10袋中任取2袋白糖,总的结果有C102=45(种),恰有1袋的质量不在区间(495.92,506.08)内的结果有C81C21=16(种),由古典概型的概率计算公式得P(A)=1645.16.(1)设选出的2张小票中1张来自区间[400,500),另1张来自区间[500,600]为事件A,由频率分布直方图可知,按分层抽样在消费金额为区间[400,600]内抽取6张电脑小票,则在区间[400,500)内抽取4张,记为a,b,c,d,在区间[500,600]内抽取2张,记为E,F,从6张电脑小票中任选2张的所有可能的选法为ab,ac,ad,aE,aF,bc,bd,bE,bF,cd,cE,cF,dE,dF,EF,共15种,其中,满足事件A的选法有aE,aF,bE,bF,cE,cF,dE,dF,共8种,∴选出的这2张小票中1张来自区间[400,500),另1张来自区间[500,600]的概率P(A)=815.(2)由频率分布直方图可知,各组频率从左至右依次为0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05.选择方案一,则消费者购物的平均费用为0.85×(50×0.1+150×0.2+250×0.25+350×0.3+450×0.1+550×0.05)=0.85×275=233.75(元),选择方案二,则消费者购物的平均费用为50×0.1+130×0.2+230×0.25+270×0.3+370×0.1+430×0.05=228(元),\n∴方案二的优惠力度更大.【素养提升】 本题以消费者购物的日常生活情境为背景,考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型、方案决策的实际应用,考查的学科素养是理性思维、数学应用,培养考生收集数据、处理数据的能力以及数学应用意识.17.(1)因为12×[1-10×(0.005+0.015+0.025+0.035)]=0.1,10×0.005=0.05,所以此次考试物理原始成绩落在(80,90],(90,100]内的频率依次为0.1,0.05,频率之和为0.15.又小明的物理原始成绩为82分,大于80分,所以小明的物理最后得分为70分.(2)40名学生中,赋予70分的有40×15%=6(人),这6人的原始成绩分别为89,91,92,93,93,96;赋予60分的有40×35%=14(人),其中包含80多分的10人、70多分的4人,70多分的4人的原始成绩分别为76,77,78,79.因为小明的化学最后得分为60分,且小明的化学原始成绩为70多分,所以小明的原始成绩的可能值为76,77,78,79.(3)记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为A,a,b,c,d,e,小明的所有可能选法有(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d),(A,a,e),(A,b,c),(A,b,d),(A,b,e),(A,c,d),(A,c,e),(A,d,e),共10种,其中包括化学的有(A,a,b),(A,a,c),(A,a,d),(A,a,e),共4种,所以若小明必选物理,其他两科在剩下的五科中任选,则所选科目包括化学的概率为25.18.(1)设样本中等级系数为7的搪瓷水杯为A,B,C,等级系数为8的搪瓷水杯为a,b,c,则从中随机抽取2个,基本事件为{A,B},{A,C},{A,a},{A,b},{A,c},{B,C},{B,a},{B,b},{B,c},{C,a},{C,b},{C,c},{a,b},{a,c},{b,c},共15个.其中2个搪瓷水杯等级系数均为8的基本事件为{a,b},{a,c},{b,c},共3个.所以这2个搪瓷水杯等级系数均为8的概率为P=315=15.(2)N厂生产的搪瓷水杯的评分的平均数xN=(4+6+7+8+9)÷5=6.8,N厂生产的搪瓷水杯的评分的标准差sN=15×[(4-6.8)2+(6-6.8)2+(7-6.8)2+(8-6.8)2+(9-6.8)2]≈1.72.M厂生产的搪瓷水杯的评分的平均数xM=(5+6+6.5+7+8)÷5=6.5,M厂生产的搪瓷水杯的评分的标准差sM=15×[(5-6.5)2+(6-6.5)2+(6.5-6.5)2+(7-6.5)2+(8-6.5)2]=1.综上,N厂生产的搪瓷水杯的评分的平均数较高;M厂生产的搪瓷水杯的评分的标准差较小,比较稳定.19.(1)由评分表可知,相应区间频率组距的值分别为0.008,0.012,0.044,0.056,0.044,0.036,其频率分布直方图如图D12-1-2所示:\n图D12-1-2(2)由题意得,该月空气质量指数的平均值为2×25+18×75.5+8×125.5+2×175.530≈92.133<100.对照附表可知,该月空气质量指数的级别为二级.(3)估计2019年11月份轻度污染的有8天,中度污染的有2天,所以小李花费的药费为8×50+2×100=600(元).又5000-600=4400(元),所以相比2015年11月份,2019年11月份小李少花了4400元的药费.
