第1讲坐标系1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2＋y2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．解：设圆x2＋y2＝36上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P′(x′，y′)，则所以4x′2＋9y′2＝36，即＋＝1.所以曲线C在伸缩变换后得椭圆＋＝1，其焦点坐标为(±，0)．2．(2022·高考江苏卷)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin(θ－)－4＝0，求圆C的半径．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.3．(2022·扬州质检)求经过极点O(0，0)，A，B三点的圆的极坐标方程．解：将点的极坐标化为直角坐标，点O，A，B的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)，故△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3，3)，半径为3，圆的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18，即x2＋y2－6x－6y＝0，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上述方程，得ρ2－6ρ(cosθ＋sinθ)＝0，即ρ＝6cos.4．圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ. (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．解：(1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．同理，x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．(2)由解得或4\n即⊙O1，⊙O2交于点(0，0)和(2，－2)，过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.5．(2022·高考天津卷改编)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，求a的值．解：由ρ＝4sinθ，可得x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.由ρsinθ＝a，可得y＝a.设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.在Rt△DOB中，易求DB＝a，所以B点的坐标为.又因为B在x2＋y2－4y＝0上，所以＋a2－4a＝0，即a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3.6．(2022·长春模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．解：(1)由ρcos＝1，得ρ＝1，从而曲线C的直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y＝2.θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)．θ＝时，ρ＝，所以N.(2)由(1)得点M的直角坐标为(2，0)，点N的直角坐标为.所以点P的直角坐标为，则点P的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)． 1．(2022·唐山统一考试)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．4\n(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．解：(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2.(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ|·|OP|＝|OR|2，得ρρ1＝ρ.又ρ2＝2，ρ1＝，所以＝4，故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)．2．(2022·南宁检测)已知在一个极坐标系中，点C的极坐标为.(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程；(2)以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．解：(1)设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ，由余弦定理得4＋ρ2－4ρcos＝4，所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cos.(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，设圆C上任意一点P.法一：P(1＋2cosα，＋2sinα)，又令M(x，y)，由Q(5，－)，M是线段PQ的中点，所以M的参数方程为⇒(α为参数)，所以点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.法二：点C的坐标为(1，)，圆的半径为2，则圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4，设M(x，y)，P(x0，y0)，所以x0＝2x－5，y0＝2y＋，①P(x0，y0)在圆(x－1)2＋(y－)2＝4上，将①式代入得(x－3)2＋y2＝1.3．(2022·东北三校模拟)已知点P的直角坐标是(x，y)．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(ρ，θ)，点Q的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q的直角坐标是(m，n)．(1)用x，y，θ0表示m，n；(2)若m，n满足mn＝1，且θ0＝，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程．解：(1)由题意知且所以所以4\n(2)由(1)可知又mn＝1，所以＝1.整理得－＝1.所以－＝1即为所求方程．4．(2022·哈尔滨模拟)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B，若A、B都在曲线C1上，求＋的值．解：(1)因为C1的参数方程为所以C1的普通方程为＋y2＝1.由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ＝2a·cosθ(a为半径)，将D代入，得2＝2a×，所以a＝2，所以圆C2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2，所以C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)曲线C1的极坐标方程为＋ρ2sin2θ＝1，即ρ2＝.所以ρ＝，ρ＝＝.所以＋＝＋＝.4
