第十章 圆锥曲线与方程第一讲 椭 圆练好题·考点自测1.下列说法正确的个数是( )(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆;(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆;(3)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距);(4)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆;(5)x2a2+y2b2=1(a>b>0)与y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距相同.A.1B.2C.3D.42.[2021山西运城高三调研]在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为22,过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为( )A.x236+y218=1B.x216+y210=1C.x24+y22=1D.x216+y28=13.[2018全国卷Ⅱ,12,5分]已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为( )A.23B.12C.13D.144.[2021贵阳市摸底测试]已知椭圆C:x24+y2=1的右焦点为F,点P在椭圆C上,O是坐标原点,若|OP|=|OF|,则△OPF的面积是 . 5.[2021成都市摸底测试]已知点P在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,F1是椭圆的左焦点,线段PF1的中点在圆x2+y2=a2-b2上.记直线PF1的斜率为k,若k≥1,则椭圆离心率的最小值为 . 6.[递进型]已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2=1(a>1)的左、右焦点,点F2关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则长轴长为 ;若P是椭圆上的一点,且|PF1|·|PF2|=43,则S△F1PF2= .拓展变式1.(1)[2020福建龙岩三校联考]椭圆x225+y216=1的焦点为F1,F2,P为椭圆上一点,若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积是( )A.1633B.3233C.163D.323\n(2)[并列型]已知F1,F2分别为椭圆C:x29+y25=1的左、右焦点,P是C上一任意一点,则|PF1|·|PF2|的最大值为 .若A(0,46),则|AP|-|PF2|的最小值为 . 2.(1)[2019全国卷Ⅰ,12,5分][文]已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=1(2)若椭圆经过两点(1,32)和(2,22),则椭圆的标准方程为 . 3.如图10-1-2,焦点在x轴上的椭圆x24+y2b2=1的离心率e=12,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则PF·PA的最大值为 . 图10-1-24.[2020全国卷Ⅲ,21,12分][文]已知椭圆C:x225+y2m2=1(0<m<5)的离心率为154,A,B分别为C的左、右顶点.(1)求C的方程;(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.5.[2021上海高三模拟]某海域有A,B两个岛屿,B岛在A岛正东4海里处.经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的路线是曲线C,曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群.以A,B所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图10-1-4.(1)求曲线C的标准方程;(2)某日,研究人员在A,B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同),A,B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3.问:能否确定P处的位置(即点P的坐标).图10-1-4\n答案第十章 圆锥曲线与方程第一讲 椭 圆1.C 对于(1),由椭圆的定义知,当该常数大于|F1F2|时,其轨迹才是椭圆,而该常数等于|F1F2|时,其轨迹为线段,该常数小于|F1F2|时,轨迹不存在,故(1)错误;对于(2),因为e=ca=1-(ba)2,所以e越大,则ba越小,椭圆就越扁,故(2)错误;对于(3),△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c,故(3)正确;对于(4),方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)可化为x21m+y21n=1,表示的曲线是椭圆,故(4)正确;对于(5),x2a2+y2b2=1(a>b>0)与y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距都是2a2-b2,故(5)正确.故选C.2.D 设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由e2=c2a2=1-b2a2=12,得a2=2b2,根据椭圆的定义可知△ABF2的周长为4a,所以4a=16,即a=4,a2=16,b2=8,则椭圆的标准方程为x216+y28=1,故选D.3.D 由题意可得椭圆的焦点在x轴上,如图D10-1-1所示,∵△PF1F2为等腰三角形,且∠F1F2P=120°,∴|PF2|=|F1F2|=2c.∵|OF2|=c,∴点P的坐标为(c+2ccos60°,2csin60°),即P(2c,3c).∵点P在过点A且斜率为36的直线上,∴3c2c+a=36,解得ca=14,∴e=14,故选D.图D10-1-14.12 设椭圆C的左焦点为F1,连接PF1,则|OP|=|OF|=12|F1F|,所以PF1⊥PF,所以S△PFO=12S△FPF1=12×b2tanπ4=12×1×1=12.\n5.2-1 如图D10-1-2,设M为PF1的中点,F2为椭圆的右焦点,连接PF2,F2M,OM.因为O,M分别为F1F2,PF1的中点,所以|PF2|=2c,则|PF1|=2a-2c,所以|F1M|=a-c,所以|F2M|=4c2-(a-c)2,k=tan∠MF1F2=4c2-(a-c)2a-c≥1⇒4c2-(a-c)2≥(a-c)2⇒c2≥a2-2ac⇒e2+2e-1≥0⇒e≥-2+4+42=2-1,所以e的最小值为2-1.图D10-1-26.22 33 由椭圆C:x2a2+y2=1(a>1),知c=a2-1,所以F2(a2-1,0),点F2关于直线y=x的对称点Q(0,a2-1),由点Q在椭圆上得(a2-1)2=1,即a=2,则长轴长为22.所以椭圆方程为x22+y2=1,则|PF1|+|PF2|=2a=22,又|PF1|·|PF2|=43,所以cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-|F1F2|22|PF1|·|PF2|=8-83-483=12,所以sin∠F1PF2=32,则S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=12×43×32=33.1.A (1)解法一(常规解法) 由椭圆x225+y216=1的焦点为F1,F2知,|F1F2|=2c=6,在△F1PF2中,不妨设|PF1|=m,|PF2|=n,则由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=m+n=2a=10.由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2,即(2c)2=m2+n2-2mncos60°,即36=(m+n)2-3mn=100-3mn,解得mn=643.故S△F1PF2=12·|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=12mnsin60°=1633.故选A.解法二(结论解法) 依题意知b=4,由椭圆焦点三角形的相关结论,得S△F1PF2=b2tan∠F1PF22=16×tan60°2=1633.故选A.(2)9 4 由x29+y25=1,可得a=3,c=2,由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=6,则|PF2|=6-|PF1|,于是|PF1|·|PF2|=|PF1|·(6-|PF1|)=6|PF1|-|PF1|2.∵a-c≤|PF1|≤a+c,即1≤|PF1|≤5.∴当|PF1|=3时,|PF1|·|PF2|取最大值,最大值为18-9=9.|AP|-|PF2|=|AP|-(2a-|PF1|)=|AP|+|PF1|-6.又|AP|+|PF1|≥|AF1|(当且仅当P在线段AF1上时取等号),∴(|AP|-|PF2|)min=|AF1|-6=(0+2)2+(46-0)2-6=4.\n【方法技巧】 关于|PF1|·|PF2|最大值的求解,还可以利用|PF1|·|PF2|≤(|PF1|+|PF2|2)2=9(当且仅当|PF1|=|PF2|=3时等号成立)进行求解.2.(1)B 设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),因为|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,所以|BF1|=3|F2B|.又|BF1|+|F2B|=2a,所以|F2B|=a2,则|AF2|=a,|AB|=|BF1|=32a,|AF1|=a.解法一 在△ABF1中,由余弦定理得cos∠BAF1=|AB|2+|AF1|2-|BF1|22|AB||AF1|=(3a2)2+a2-(3a2)22·3a2·a=13.因为椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),所以c=1,|F1F2|=2.在△AF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|·cos∠BAF1,即4=a2+a2-2a2·13,解得a2=3,所以b2=a2-c2=2.于是椭圆C的标准方程为x23+y22=1.故选B.解法二 因为|AF1|=|AF2|=a,所以点A为椭圆的上顶点或下顶点.不妨设A(0,-b),因为AF2=2F2B,所以B(32,b2),代入椭圆方程得94a2+b24b2=1,解得a2=3.又c=1,所以b2=a2-c2=2.于是椭圆C的标准方程为x23+y22=1.故选B.(2)x24+y2=1 解法一 当椭圆的焦点在x轴上时,设所求椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).∵椭圆经过两点(1,32),(2,22),∴1a2+34b2=1,2a2+12b2=1,解得a=2,b=1.∴所求椭圆的标准方程为x24+y2=1;当椭圆的焦点在y轴上时,设所求椭圆的方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0).∵椭圆经过两点(1,32),(2,22),∴34a2+1b2=1,12a2+2b2=1,解得a=1,b=2.与a>b矛盾,故舍去.综上可知,所求椭圆的标准方程为x24+y2=1.解法二 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).∵椭圆过(1,32)和(2,22)两点,∴m+3n4=1,2m+n2=1,解得m=14,n=1.∴所求椭圆的标准方程为x24+y2=1.3.4 由题意知a=2,因为e=ca=12,所以c=1,b2=a2-c2=3.故椭圆方程为x24+y23=1.设P点坐标为(x0,y0),-2≤x0≤2,-3≤y0≤3.因为F(-1,0),A(2,0),PF=(-1-x0,-y0),PA=(2-x0,-y0),x024+y023=1,所以PF·PA=x02-x0-2+y02=14x02-x0+1=14(x0-2)2.则当x0=-2时,PF·PA取得最大值4.4.(1)由题设可得25-m25=154,得m2=2516,\n所以C的方程为x225+y22516=1.(2)设P(xP,yP),Q(6,yQ),根据对称性可设yQ>0,由题意知yP>0.由已知可得B(5,0),因为BP⊥BQ,所以kBP=-1kBQ=-1yQ,所以直线BP的方程为y=-1yQ(x-5),所以|BP|=1+1kBP2|yB-yP|=yP1+yQ2,|BQ|=(6-5)2+(yQ-0)2=1+yQ2.因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.由直线BP的方程得yQ=2或8.所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).|P1Q1|=10,直线P1Q1的方程为y=13x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为102,故△AP1Q1的面积为12×102×10=52;|P2Q2|=130,直线P2Q2的方程为y=79x+103,点A到直线P2Q2的距离为13026,故△AP2Q2的面积为12×13026×130=52.综上,△APQ的面积为52.【解题关键】 解析几何问题解题的关键在于几何条件的转化与应用,本题中相等与垂直关系转化为坐标关系是整个问题的关键环节.5.(1)把鱼群,A岛,B岛看成点,分别为M,A,B,则|MA|+|MB|=8,所以曲线C是以A,B为焦点且长轴长为8的椭圆.设曲线C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则a=4,b=42-22=23.所以曲线C的方程是x216+y212=1.(2)能确定P处位置,点P坐标为(2,3)或(2,-3).理由如下.由于A,B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3,因此鱼群距A,B两岛的距离比为5∶3,因为|PA|+|PB|=8,所以鱼群距A,B两岛的距离分别为5海里和3海里.设P(x,y),由B(2,0),|PB|=3,得(x-2)2+y2=3,由(x-2)2+y2=9,x216+y212=1,-4≤x≤4,得x=2,y=±3.所以点P的坐标为(2,3)或(2,-3)
