10-7二项式定理(理)基础巩固强化1.若(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )A．2B．－1C．－2D．1[答案] C[解析] 令x＋2＝1，则x＝－1，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)×(－2＋1)9＝－2，故选C.2．(2011·烟台月考)如果(3x－)n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是( )A．7B．－7C．21D．－21[答案] C[解析] ∵2n＝128，∴n＝7，∴Tr＋1＝C(3x)7－r·(－)r＝(－1)r·37－r·C·x7－，令7－＝－3得r＝6，∴的系数为(－1)6·3·C＝21.3．(2012·山西联合模拟)设f(x)＝(2x＋1)6，则f(x)的导函数f′(x)展开式中x3的系数为( )A．960B．480C．240D．160[答案] A[解析] ∵f(x)＝(2x＋1)6，∴f′(x)＝12(2x＋1)5，其展开式中含x3的项为T3＝12·C(2x)5－2＝12×23×10x3＝960x3，系数为960.4．若(x＋1)2n的展开式中，x的奇次项系数和与(x＋1)n展开式的各项系数和的差为480，则(x＋1)2n的展开式中第4项是( )A．120x4B．210x4C．120x7D．210x6[答案] C8\n[解析] 由题意得22n－1－2n＝480，即22n－2·2n－960＝0，(2n－32)(2n＋30)＝0，∴2n＝32.∴n＝5，从而(x＋1)2n＝(x＋1)10，它的展开式中第四项为T4＝T3＋1＝Cx10－3·13＝120x7.故选C.5．(2012·陕西礼泉一中期末)在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( )A．第11项B．第13项C．第18项D．第20项[答案] D[解析] (1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x4项的系数为C＋C＋C＝C＋C＋C＝5＋＋＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，n＝20，故选D.6．在(＋)24的展开式中，x的幂指数为整数的项共有( )A．3项B．4项C．5项D．6项[答案] C[解析] 展开式第r＋1项Tr＋1＝C()24－r·r∵12－为整数，0≤r≤24且r∈N，∴r＝0,6,12,18,24，故选C.7．(2011·广东理)x(x－)7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答)[答案] 84[解析] x4的系数，即(x－)7展开式中x3的系数，Tr＋1＝C·x7－r·(－)r＝(－2)r·C·x7－2r，令7－2r＝3得，r＝2，∴所求系数为(－2)2C＝84.8．若(2x2－)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n＝________.8\n[答案] 5[解析] Tr＋1＝C(2x2)n－r·(－)r＝(－1)r·2n－r·Cx2n－5r，令2n－5r＝0，得r＝，∵r∈Z，故最小的正整数n＝5.9．若(2x＋3)3＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3，则a0＋a1＋2a2＋3a3＝________.[答案] 5[解析] 法1：令x＝－2得a0＝－1.令x＝0得27＝a0＋2a1＋4a2＋8a3.因此a1＋2a2＋4a3＝14.∵C(2x)3·30＝a3·x3.∴a3＝8.∴a1＋2a2＋3a3＝14－a3＝6.∴a0＋a1＋2a2＋3a3＝－1＋6＝5.法2：由于2x＋3＝2(x＋2)－1，故(2x＋3)3＝[2(x＋2)－1]3＝8(x＋2)3－4C(x＋2)2＋2C(x＋2)－1，故a3＝8，a2＝－12，a1＝6，a0＝－1.故a0＋a1＋2a2＋3a3＝－1＋6－24＋24＝5.10．在(1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的展开式中，x的系数为________(用数字作答)．[答案] 7[解析] C＋C＋C＝23－1＝7.能力拓展提升11.(2012·山西六校模拟)若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy<0，则x的取值范围是( )A．(－∞，)B．[，＋∞)C．(－∞，－]D．(1，＋∞)[答案] D[解析] 二项式(x＋y)9的展开式的通项是Tr＋1＝C·x9－r·yr.依题意有由此得由此解得x>1，即x的取值范围是(1，＋∞)，选D.8\n12．(2012·河南豫东、豫北十所名校联考)已知n＝∫e61dx，那么(x－)n展开式中含x2项的系数为( )A．125B．135C．－135D．－125[答案] B[解析] n＝∫e61dx＝lnx|e61＝6，(x－)6的展开式的通项Tr＋1＝Cx6－r(－)r＝C(－3)rx6－2r，令6－2r＝2得r＝2，则x2项的系数为C(－3)2＝135.13．已知a、b为常数，b>a>0，且a、－、b成等比数列，(a＋bx)6的展开式中所有项的系数和为64，则a等于( )A．－B.C．－1D.[答案] B[解析] 由a、－、b成等比数列得ab＝，由(a＋bx)6展开式中所有项的系数和为64得(a＋b)6＝64，∴∴∴a＝.14．在(－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．[答案] 7[解析] 由条件知n＝8，∴Tr＋1＝C()8－r·(－)r令8－＝0得，r＝6，∴展开式的常数项为(－1)6·26－8·C＝7.15．已知(＋2x)n.8\n(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．[解析] (1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0，∴n＝7或n＝14.当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，∴T4的系数＝C()423＝，T5的系数＝C()324＝70.当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.∴T8的系数＝C()727＝3432.(2)由C＋C＋C＝79，可得n＝12，设Tk＋1项的系数最大．∵(＋2x)12＝()12(1＋4x)12，∴∴9.4<k<10.4，∴k＝10，∴展开式中系数最大的项为T11.T11＝()12C410x10＝16896x10.16．(2012·厦门质检)在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．(1)试用组合数表示这个一般规律；(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是345，并证明你的结论．8\n[解析] (1)C＝C＋C.(2)第n＋1行数是(1＋1)n的展开式，∴第n行前(包括第n行)各数之和为1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1.(3)设CCC＝345，由＝，得＝，即3n－7r＋3＝0.①由＝，得＝，即4n－9r－5＝0.②解①②联立方程组得，n＝62，r＝27，即CCC＝345.1．(2011·新课标全国理，8)(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A．－40B．－20C．20D．40[答案] D[解析] ∵(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数和为2，∴令x＝1时，(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1.∵(2x－)5展开式的通项为Tr＋1＝C·(2x)5－r·(－)r＝(－1)r·25－r·C·x5－2r，当5－2r＝－1或1时，r＝3或2，此时展开式为常数项，∴展开式的常数项为(－1)3·25－3·C＋(－1)2·25－2·C＝40.2．(2011·三门峡模拟)若二项式(－)n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为( )A．6B．10C．12D．15[答案] C8\n[解析] ∵T5＝C()n－4·(－)4＝24·是常数项，∴＝0，∴n＝12.3．(2012·安徽理，7)(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是( )A．－3B．－2C．2D．3[答案] D[分析] 由多项式乘法的运算法则知，展开式中的常数项由两部分构成，前一个因式取x2时，后一个因式必须含，前一个因式取2时，后一个因式必须为常数．[解析] 第一个因式取x2，第二个因式取得：1×C(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得：2×(－1)5＝－2，展开式的常数项是5＋(－2)＝3.故选D.[点评] 利用展开式的通项公式求二项式中的特定项是高考考查的重点．4．(2011·重庆理，4)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝( )A．6B．7C．8D．9[答案] B[解析] 展开式通项：Tr＋1＝C(3x)r＝3rCxr，由题意：35C＝36C即C＝3C，∴＝，∴＝，∴n＝7.选B.5．在(3－2)11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，则xαdx＝( )A.B.C.D.[答案] B[解析] 因为展开式一共12项，8\n6．(2011·河南开封模拟)(ax－)8的展开式中x2的系数为70，则a＝________.[答案] ±1[解析] 展开式的通项为Tr＋1＝C(ax)8－r7．设a为函数y＝sinx＋cosx(x∈R)的最大值，则二项式(a－)6的展开式中含x2项的系数是________．[答案] －192[解析] y＝sinx＋cosx＝2sin的最大值为a＝2，二项式6的展开式中第r＋1项Tr＋1＝C(2)6－r·r＝(－1)r·26－r·Cx3－r，令3－r＝2，则r＝1，∴x2项的系数为(－1)1×25×C＝－192.8．(2011·安徽宣城模拟)在(x－2)5(＋y)4的展开式中x3y2的系数为________．[答案] 480[解析] (x－2)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx5－r(－2)r，令5－r＝3得r＝2，得x3的系数C(－2)2＝40；(＋y)4的展开式的通项公式为Tr＋1＝C()4－ryr，令r＝2得y2的系数C()2＝12，于是展开式中x3y2的系数为40×12＝480.8
