2013年高考数学总复习第二章第13课时导数的应用随堂检测（含解析）新人教版1．函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是( )A．0 B.C.D.解析：选B.f′(x)＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令f′(x)＝0，∴x＝1.又f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，∴f(1)为最大值．2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )A．0≤a<1B．0<a<1C．－1<a<1D．0<a<解析：选B.∵y′＝3x2－3a，令y′＝0，可得：a＝x2.又∵x∈(0,1)，∴0<a<1.故选B.3．(2011·高考四川卷)已知函数f＝x＋，h＝.设函数F＝18f－x22，求F的单调区间与极值；设a∈R，解关于x的方程lg＝2lgh－2lgh；设n∈N*，证明：fh－≥.解：(1)F＝18f－x22＝－x3＋12x＋9，所以F′＝－3x2＋12.令F′＝0，得x＝2.当x∈时，F′>0；当x∈时，F′<0.故当x∈时，F为增函数；当x∈时，F为减函数．x＝2为F的极大值点，且F＝－8＋24＋9＝25.(2)原方程变为lg＋2lg＝2lg，可得⇔①当1<a≤4时，原方程有一解x＝3－；②当4<a<5时，原方程有两解x1＝3＋或x2＝3－；③当a＝5时，原方程有一解x＝3；④当a≤1或a>5时，原方程无解．证明：由已知得h＋h＋…＋h＝＋＋…＋，fh－＝－.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝fh－，从而有a1＝S1＝1，当k≥2时，ak＝Sk－Sk－1＝－.又ak－＝2\n＝·＝·>0，即对任意的k≥2，有ak>.又因为a1＝1＝，所以a1＋a2＋…＋an≥＋＋…＋.则Sn≥h＋h＋…＋h，故原不等式成立．2
