专题四操作方案设计问题1.如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是( )解析 细观察图形特点，利用对称性与排除法求解：根据对称性可知，答案A，B都不是轴对称，可以排除；由第三个图可知，两个短边正对着对称轴AB，故排除C.故选D.答案 D2.如图，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为( ) A．1B．2C．3D．4解析 本题考查了三角形中位线定理的运用，考查了三角形中位线定理的性质．8\n①将剪开的△ADE绕点E顺时针旋转180°，使EA和EB重合得到邻边不等的矩形；如图：②将剪开的△ADE中的边AD和梯形DEBC中的边DC重合，△ADE中的边DE和梯形DEBC中的边BC共线，即可构成等腰梯形，如图：③将剪开的△ADE绕点D逆时针旋转180°，使得DA与DC重合，即可构成有一个角为锐角的菱形，如图：故计划可拼出①②③.故选C.答案 C3．有若干张面积分别为a2、b2、ab的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片( )A．2张B．4张C．6张D．8张解析 要想拼成一个大正方形，即所用的正方形纸片与长方形纸片的面积需构成一个正方形，由完全平方公式，a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2，还需4张面积为b2的正方形．答案 B4．(2022·浙江绍兴)如图，直角三角形纸片ABC中，AB＝3，AC＝4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设Pn－1Dn－2的中点为Dn－1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn－1重合，折痕与AD交于点Pn(n＞2)，则AP68\n的长为( )A.B.C.D.解析 由题意得，AD＝BC＝，AD1＝AD－DD1＝AD－AD＝AD＝，AD2＝AD－DD1－D1D2＝AD－AD－AD＝AD＝，AD3＝，…∴ADn＝.故AP1＝，AP2＝，AP3＝…APn＝.∴当n＝6时，AP6＝.故选A.答案 A5．如图，边长为m＋4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为________．解析 因为大正方形边长为m＋4，小正方形边长为m，所以剩余的两个直角梯形的上底为m，下底为m＋4，所以矩形的另一边为梯形上、下底的和：m＋4＋m＝2m＋4.答案 2m＋46．8\n现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合(如图1、图2、图3)．分别在图1、图2、图3中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的几何图形．要求：(1)在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形；(2)裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙；(3)所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．解 8\n7．认真观察图1的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征．特征1：___________________________________________________________；特征2：___________________________________________________________.(2)请在图2中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征．图2解 (1)特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积等．(2)满足条件的图形有很多，只要画正确一个即可．8\n8．(2022·广东深圳)如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE.(1)求证：四边形AFCE为菱形；(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c.请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．分析 (1)由矩形ABCD与折叠的性质，易证得△CEF是等腰三角形，即CE＝CF，即可证得AF＝CF＝CE＝AE，即可得四边形AFCE为菱形．(2)由折叠的性质，可得CE＝AE＝a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2＝b2＋c2.(答案不唯一)(1)证明 ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF＝∠EFC.由折叠的性质，可得：∠AEF＝∠CEF，AE＝CE，AF＝CF，∴∠EFC＝∠CEF.∴CF＝CE.∴AF＝CF＝CE＝AE.∴四边形AFCE为菱形．(2)解 a、b、c三者之间的数量关系式为：a2＝b2＋c2.理由如下：由折叠的性质，得：CE＝AE.8\n∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°.∵AE＝a，ED＝b，DC＝c，∴CE＝AE＝a.在Rt△DCE中，CE2＝CD2＋DE2，∴a、b、c三者之间的数量关系式可写为：a2＝b2＋c2.9．(2022·广东清远)某电器城经销A型号彩电，今年四月份每台彩电售价为2000元，与去年同期相比，结果卖出彩电的数量相同，但去年销售额为5万元，今年销售额只有4万元．(1)问去年四月份每台A型号彩电售价是多少元？(2)为了改善经营，电器城决定再经销B型号彩电．已知A型号彩电每台进货价为1800元，B型号彩电每台进货价为1500元，电器城预计用不多于3.3万元且不少于3.2万元的资金购进这两种彩电共20台，问有哪几种进货方案？(3)电器城准备把A型号彩电继续以原价每台2000元的价格出售，B型号彩电以每台1800元的价格出售，在这批彩电全部卖出的前提下，如何进货才能使电器城获得最大？最大利润是多少？解 (1)设去年四月份每台A型号彩电售价是x元，则依题意，得＝，解之，得x＝2500，经检验x＝2500满足题意．答：去年四月份每台A型号彩电售价是2500元．(2)设购进A型号彩电y台，则购进B型号彩电(20－y)台．根据题意可得：解得≤y≤10.∵y是整数，∴y可取的值为7，8，9，10.共有以下四种方案：购进A型号彩电7台，则购进B型号彩电13台；购进A型号彩电8台，则购进B型号彩电12台；购进A型号彩电9台，则购进B型号彩电11台；购进A型号彩电10台，则购进B型号彩电10台．(3)设利润为W元，则W＝(2000－1800)y＋(1800－1500)(20－y)＝6000－100y，∵W随y的增大而减小，∴y取最小值7时利润最大．8\nW＝6000－100y＝6000－100×7＝5300(元)．购进A型号彩电7台，则购进B型号彩电13台时，利润最大，最大利润是5300元．8
