第13讲二次函数的图象和性质考点1二次函数的概念一般地，形如①(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.考点2二次函数的图象和性质函数二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)aa＞0a＜0图象开口方向抛物线开口向②，并向上无限延伸抛物线开口向③，并向下无限延伸对称轴直线x=-直线x=-顶点坐标(-，)(-，)最值抛物线有最低点，当x=-时，y有最小值，y最小值=抛物线有最高点，当x=-时，y有最大值，y最大值=增减性在对称轴的左侧，即当x＜-时，y随x的增大而④；在对称轴的右侧，即当x＞-a时，y随x的增大而⑤，简记左减右增在对称轴的左侧，即当x＜-时，y随x的增大而⑥；在对称轴的右侧，即当x＞-时，y随x的增大而⑦，简记左增右减【易错提示】二次函数的增减性一定要分在对称轴的左侧或右侧两种情况讨论.考点3二次函数的图象与字母系数的关系字母或代数式字母的符号图象的特征aa＞0开口向⑧|a|越大开口越⑩a＜0开口向⑨bb=0对称轴为⑪轴ab＞0(b与a同号)对称轴在y轴⑫侧ab＜0(b与a异号)对称轴在y轴⑬侧cc=0经过⑭c＞0与y轴⑮半轴相交11\nc＜0与y轴⑯半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有交点(顶点)b2-4ac＞0与x轴有不同交点b2-4ac＜0与x轴交点特殊关系当x=1时，y=当x=-1时，y=若a+b+c＞0，即当x=1时，y0若a+b+c＜0，即当x=1时，y0考点4确定二次函数的解析式方法适用条件及求法一般式若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则可设所求二次函数解析式为.顶点式若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值)，可设所求二次函数为.交点式若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，可设所求的二次函数为.【易错提示】(1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错符号；(2)所求的二次函数解析式最后要化成一般式.考点5二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与轴的交点的坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.二次函数与不等式抛物线y=ax2＋bx＋c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c0的解集.1.二次函数y=(x-h)2+k的图象平移时，主要看顶点坐标的变化，一般按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”的方法进行.2.二次函数的图象由对称轴分开，在对称轴的同侧具有相同的性质，在顶点处有最大值或最小值，如果自变量的取值中不包含顶点，那么在取最大值或最小值时，要依据其增减性而定.3.求二次函数图象与x轴的交点的方法是令y=0解关于x的方程；求函数图象与y轴的交点的方法是令x=0得y的值，最后把所得的数值写成坐标的形式.命题点1二次函数的图象和性质例1(2022·内江)若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点坐标为(0，-3)，则下列说法不正确的是()A.抛物线的开口向上B.抛物线的对称轴是直线x=1C.当x=1时，y的最大值为-4D.抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)方法归纳：解答此类题首先将点坐标代入函数解析式，确定二次函数的各项系数.然后根据二次函数解析式、图象、性质的相互关系解题.1.(2022·毕节)抛物线y=2x2，y=-2x2,y=x2的共同性质是()A.开口向上B.对称轴是y轴C.都有最高点D.y随x的增大而增大11\n2.(2022·泰安)对于抛物线y=-(x+1)2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为(-1,3)；④x>1时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.43.(2022·白银)二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点()A.(-1，-1)B.(1，-1)C.(-1，1)D.(1，1)4.(2022·枣庄)已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x-10123y51-1-11则该二次函数图象的对称轴为()A.y轴B.直线x=C.直线x=2D.直线x=命题点2二次函数的图象与字母系数的关系例2(2022·南充)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a-b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2.其中正确的有()A.①②③B.②④C.②⑤D.②③⑤方法归纳：解答二次函数信息问题时，通常先抓住抛物线对称轴和顶点坐标，再依据图象与字母系数之间的关系特征来求解.1.(2022·长沙)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是()A.a＞0B.c＞0C.b2-4ac＞0D.a+b+c＞02.(2022·株洲)二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是()A.-8B.8C.±8D.63.(2022·达州)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1.①b2＞4ac；②4a-2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若(-2，y1),(5,y2)是抛物线上的两点，则y1＜y211\n.上述4个判断中，正确的是()A.①②B.①④C.①③④D.②③④4.(2022·贵阳)已知二次函数y=x2+2mx+2，当x>2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是.命题点3确定二次函数的解析式例3(2022·宁波)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0)，B(0，-1)和C(4,5)三点.(1)求二次函数的解析式；(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值？【思路点拨】(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象过B(0，-1)，所以可得c=-1，故二次函数解析式为y=ax2+bx-1.将A、C两点坐标代入即可求得a、b.(2)令y=0，即可求得D点坐标；(3)利用描点连线画出y=x+1图象，利用图象决定x的取值范围.【解答】方法归纳：(1)待定系数法是求函数解析式的常用方法；(2)两函数图象的交点往往是不等关系的界点.1.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为y=.2.(2022·湖州)已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3，0)，B(-1，0).(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标.11\n3.(2022·温州)如图，抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD.已知点A的坐标为(-1,0).(1)求抛物线的解析式；(2)求梯形COBD的面积.1.(2022·维吾尔自治区)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说法正确的是()A.开口向下B.对称轴是x=-1C.顶点坐标是(1，2)D.与x轴有两个交点2.(2022·滨州)下列函数，图象经过原点的是()A.y=3xB.y=1-2xC.y=D.y=x2-13.(2022·荆门)将抛物线y＝x2-6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是()A.y＝(x-4)2-6B.y＝(x-4)2-2C.y＝(x-2)2-2D.y＝(x-1)2-34.(2022·金华)如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是()A.-1≤x≤3B.x≤-1C.x≥1D.x≤-1或x≥35.(2022·陕西)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是()A.c>-1B.b>0C.2a+b≠0D.9a+c>3b11\n6.(2022·遵义)已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是()7.(2022·东营)若函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为()A.0B.0或2C.2或-2D.0，2或-28.(2022·丽水)写出图象经过点(-1，1)的一个函数的解析式是.9.(2022·云南)抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标为.10.如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是.11.(2022·扬州)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a-2b+c的值为.12.(2022·滨州)已知二次函数y=x2-4x+3.(1)用配方法求其函数图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积.13.(2022·泉州)已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1，-2).11\n(1)求a的值；(2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小.14.若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a，b为常数)的图象如下，则a的值为()A.-2B.-C.1D.15.(2022·宁波)已知点A(a-2b，2-4ab)在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为()A.(-3,7)B.(-1,7)C.(-4,10)D.(0,10)16.(2022·淄博)已知二次函数y=a(x-h)2+k(a>0)，其图象过点A(0，2)，B(8，3)，则h的值可以是()A.6B.5C.4D.317.(2022·威海)已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列说法：①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝-1；③当x＝1时，y＝2a；④am2+bm+a＞0(m≠-1).其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.418.(2022·菏泽)如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2(x≥0)与y2＝(x≥0)的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于E，则＝.19.(2022·潍坊)如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交于A，B，C三点，且AB=4，点D(2，11\n)在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2(k≠0)的图象，点O是坐标原点.(1)求抛物线的解析式；(2)若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值.20.(2022·宁夏)如图,抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线x=-.(1)求抛物线的解析式；(2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标.参考答案考点解读①y=ax2+bx+c②上③下④减小⑤增大⑥增大⑦减小⑧上⑨下⑩小⑪y⑫左⑬右⑭原点⑮正⑯负唯一两个不同没有a+b+ca-b+c＞＜y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)x横＞＜各个击破例1C11\n题组训练1.B2.C3.D4.D例2D解析:∵图象开口向下，∴a<0.∵对称轴x=-=1,∴b=-2a，得b＞0，2a+b=0.∵坐标轴与抛物线交点在y轴正半轴，∴c>0，∴abc<0，故①错，②对；排除A;∵对称轴是x=1，∴y最大值为a+b+c，当x=m(m≠1)时，y=am2+bm+c，可知a+b+c>am2+bm+c，故当m≠1时，a+b＞am2+bm，故③对，可得答案D.题组训练1.D2.B3.B4.m≥-2例3(1)∵二次函数的图象过B(0，-1)，∴二次函数解析式为y=ax2+bx-1.∵二次函数的图象过A(2,0)和C(4,5)两点，∴解得∴y=x2-x-1.(2)当y=0时，x2-x-1=0，解得x=2或x=-1，∴D(-1,0).(3)如图，当-1＜x＜4时一次函数的值大于二次函数的值.题组训练1.-x2+4x-32.(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3，0)，B(-1，0)，∴解得∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3.(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4).3.(1)把A(-1,0)代入y=a(x-1)2+4，得0=4a+4，∴a=-1.∴y=-(x-1)2+4.(2)当x=0时，y=3，∴OC=3.∵抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴是直线x=1，∴CD=1.∵A(-1,0)，∴B(3,0)，∴OB=3.∴S梯形COBD==6.11\n整合集训1.C2.A3.B4.D5.D提示：因为抛物线与y轴的交点(0，c)在(0，-1)的下方，所以c＜-1,所以选项A错；对称轴为x=1，所以=-1,所以b=-2a<0，2a+b=0，所以选项B、C错.6.D7.D8.答案不唯一，如：y=-x，y=x2等9.(1,2)10.x>11.012.(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1.∴其函数的顶点C的坐标为(2，-1)，∴当x<2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x的增大而增大.(2)令y=0，则x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3.∴当点A在点B左侧时，A(1，0)，B(3，0)；当点A在点B右侧时，A(3，0)，B(1，0).∴AB=|1-3|=2.过点C作CD⊥x轴于D，则△ABC的面积=AB·CD=×2×1=1.13.(1)∵抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1，-2)，∴a(1-3)2+2=-2.解得a=-1.(2)由(1)得a=-1＜0，抛物线的开口向下.∵对称轴为x=3，∴在x＜3时，y随x的增大而增大.又∵m＜n＜3，∴y1＜y2.14.D15.D提示：由题意，得2-4ab=(a-2b)2+4(a-2b)+10，整理得(a+2)2+4(b-1)2=0,∴a=-2,b=1,∴点A(-4，10).又抛物线的对称轴为x=-2，∴点A关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为(0，10).16.D提示：∵a>0,∴抛物线开口向上，对称轴为x=h，当对称轴在A、B左侧时，h<0，此时4个选项都不满足.当对称轴位于A、B之间时，由二次函数的对称性知，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，所以x=h<4，故选D.17.C提示：①②④正确.18.3-19.(1)∵抛物线关于直线x=1对称，AB=4，∴A(-1，0)，B(3，0).∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).又点D(2，)在抛物线上，∴=a·(2+1)·(2-3).解得a=-.∴y=-(x+1)(x-3).即抛物线的解析式为y=-x2+x+.(2)由(1)知C(0，).∵D(2,),∴CD∥AB.令kx-2=，得l与CD的交点F(，).11\n令kx-2=0，得l与x轴的交点E(，0).由S四边形OEFC=S四边形EBDF，得OE+CF=DF+BE.即+=(3-)+(2-).解得k=.20.(1)依题意，设抛物线的解析式为y=a(x+)2+k.由A(2，0)，C(0，3)得解得∴抛物线的解析式为y=-(x+)2+.(2)当y=0时，有-(x+)2+=0.解得x1=2，x2=-3.∴B(-3,0).∵△MBC为等腰三角形，则①当BC=CM时，M在线段BA的延长线上，不符合题意.即此时点M不存在；②当CM=BM时，∵M在线段AB上，∴M点在原点O上.即M点坐标为(0,0)；③当BC=BM时，在Rt△BOC中,BO=CO=3,由勾股定理得BC==3，∴BM=3.∴M点坐标为(3-3,0).综上所述，M点的坐标为(0,0)或(3-3,0).11
