第5讲二次根式考点1二次根式的有关概念二次根式一般地，形如(①)的式子叫做二次根式.最简二次根式必须同时满足：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；(2)被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不应含有根号).考点2二次根式的性质两个重要的性质()2=a(a②)；=|a|=积的算术平方根=·(a≥0，b≥0)商的算术平方根=(a≥0，b>0)考点3二次根式的运算二次根式的加减先将各根式化为⑤，然后合并被开方数⑥的二次根式.二次根式的乘法·=⑦(a≥0，b≥0)二次根式的除法=⑧(a≥0，b＞0)二次根式的混合运算与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算⑨，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号).绝对值：|a|；偶次幂：a2n；非负数的算术平方根：(a≥0)是常见的三种非负数形式.非负数具有以下两条重要性质：①非负数形式有最小值为零；②几个非负数的和等于零，那么每个非负数都等于零.命题点1二次根式有意义的条件例1(2022·巴中)要使式子有意义，则m的取值范围是()A.m>-1B.m≥-1C.m>-1且m≠1D.m≥-1且m≠15\n方法归纳：要使组合型的代数式有意义，必须使组合式中每个式子都要有意义.1.(2022·重庆A卷)在a中，a的取值范围是()A.a≥0B.a≤0C.a>0D.a<02.(2022·武汉)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A.x≥-3B.x＞3C.x≥3D.x≤33.(2022·凉山)如果代数式有意义，那么x的取值范围是()A.x≥0B.x≠1C.x>0D.x≥0且x≠1命题点2二次根式的运算例2(2022·荆门)计算：×-4××(1-)0.【思路点拨】先把各二次根式化成最简二次根式，然后根据运算顺序进行计算.【解答】方法归纳：把二次根式被开方数中能开得尽方的因数或因式开方出来，或把被开方数的分母开方出来，化成最简二次根式后再进行运算，运算结果一定要化为最简二次根式.1.(2022·上海)计算·的结果是()A.B.C.2D.32.(2022·聊城)下列计算正确的是()A.2×3=6B.+=C.5-2=3D.÷=3.(2022·包头)计算-3+=.4.(2022·南昌模拟)计算：÷-×+.5\n1.(2022·达州)二次根式有意义，则实数x的取值范围是()A.x≥-2B.x＞-2C.x＜2D.x≤22.(2022·上海)下列式子中，属于最简二次根式的是()A.B.C.D.3.(2022·连云港)计算的结果是()A.-3B.3C.-9D.94.(2022·孝感)下列二次根式中，不能与合并的是()A.B.C.D.5.(原创)小马虎做了下列四道题：①+=；②+=2；③=-=5-3=2；④-=-.他拿给好朋友聪聪看，聪聪告诉他只做对了()A.4道B.3道C.2道D.1道6.(2022·滨州)估计在()A.0～1之间B.1～2之间C.2～3之间D.3～4之间7.(2022·临沂)计算-9的结果是()A.-B.C.-D.8.(2022·盐城)使有意义的x的取值范围是.9.(2022·威海)计算：-×＝.10.(2022·泰安)化简：(-)--|-3︱=.11.(原创)某同学把(x≤9)理解为以下几种说法：①是二次根式；②是非负数；③是非负数9-x的算术平方根；④若x=3时，则=±3.那么以上说法正确的序号有.12.(2022·岳阳)计算：|-|+×+3-1-22.5\n13.(2022·凉山)计算：()-2-6sin30°-()0++|-|.14.(2022·巴中)若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足+|b-4|=0，则该直角三角形的斜边长为.15.(2022·白银)已知x、y为实数，且y=-+4,则x-y=.16.(原创)观察下面表中的式子，并回答下面的问题.(1)试写出第n个式子(用含n的代数式表示)，并问这个式子一定是二次根式吗？为什么?(2)你估计第16个式子的值应在哪两个连续整数之间？试说明理由.参考答案考点解读①a≥0②≥0③a④-a⑤最简二次根式⑥相同⑦⑧⑨乘除各个击破例1D题组训练1.A2.C3.D例2原式＝2×-4××1＝2-＝.题组训练1.B2.D3.4.原式=-+=4-+2=4+.5\n整合集训1.D2.B3.B4.C5.D6.C7.B8.x≥29.10.-611.①②③12.原式=+4+-4=1.13.原式=4-6×-1+-(-)=4-3-1+-+=.14.515.-1或-716.(1)第n个式子是：，一定是二次根式.∵=，n≥1，则n-1≥0，∴n(n-1)≥0，即一定是二次根式.(2)可估计第16个式子的值应大于15小于16.理由：∵<<，∴15<<16.5
