第七节 二次函数的综合应用姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2022·衡阳中考)如图，已知直线y＝－2x＋4分别交x轴、y轴于点A，B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D.(1)若抛物线的解析式为y＝－2x2＋2x＋4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N.①求点M，N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．2．(2022·枣庄中考)如图1，已知二次函数y＝ax2＋x＋c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B，C，点C坐标为(8，0)，连接AB，AC.(1)请直接写出二次函数y＝ax2＋x＋c的解析式；(2)判断△ABC的形状，并说明理由；(3)若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；7\n(4)如图2，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．图1 图23．(2022·眉山中考)如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(0，3)，B(1，0)，其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE，PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；(3)如图2，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7\n参考答案1．解：(1)①如图，∵y＝－2x2＋2x＋4＝－2(x－)2＋，∴顶点M的坐标为(，)．当x＝时，y＝－2×＋4＝3，则点N的坐标为(，3)．②不存在．理由如下：MN＝－3＝.设P点坐标为(m，－2m＋4)，则D(m，－2m2＋2m＋4)，∴PD＝－2m2＋2m＋4－(－2m＋4)＝－2m2＋4m.∵PD∥MN，当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，即－2m2＋4m＝，解得m1＝(舍去)，m2＝，7\n此时P点坐标为(，1)．∵PN＝＝，∴PN≠MN，∴平行四边形MNPD不为菱形，∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形．(2)存在．如图，OB＝4，OA＝2，则AB＝＝2.当x＝1时，y＝－2x＋4＝2，则P(1，2)，∴PB＝＝.设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋4，把A(2，0)代入得4a＋2b＋4＝0，解得b＝－2a－2，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2(a＋1)x＋4.当x＝1时，y＝ax2－2(a＋1)x＋4＝a－2a－2＋4＝2－a，则D(1，2－a)，∴PD＝2－a－2＝－a.∵DC∥OB，∴∠DPB＝∠OBA，∴当＝时，△PDB∽△BOA，即＝，解得a＝－2，此时抛物线的解析式为y＝－2x2＋2x＋4；当＝时，△PDB∽△BAO，即＝，解得a＝－，此时抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4.综上所述，满足条件的抛物线的解析式为y＝－2x2＋2x＋4或y＝－x2＋3x＋4.7\n2．解：(1)y＝－x2＋x＋4.提示：∵二次函数y＝ax2＋x＋c的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B，C，点C坐标为(8，0)，∴解得∴抛物线解析式为y＝－x2＋x＋4.(2)△ABC是直角三角形．理由如下：令y＝0，则－x2＋x＋4＝0，解得x1＝8，x2＝－2，∴点B的坐标为(－2，0)．在Rt△ABO中，AB2＝BO2＋AO2＝22＋42＝20，在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋CO2＝42＋82＝80.又∵BC＝OB＋OC＝2＋8＝10，∴在△ABC中，AB2＋AC2＝20＋80＝102＝BC2，∴△ABC是直角三角形．(3)∵A(0，4)，C(8，0)，∴AC＝＝4.①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于点N，此时N的坐标为(－8，0)；②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于点N，此时N的坐标为(8－4，0)或(8＋4，0)；③作AC的垂直平分线，交x轴于点N，此时N的坐标为(3，0)．综上所述，若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为(－8，0)，(8－4，0)，(8＋4，0)，(3，0)．(4)设点N的坐标为(n，0)，则BN＝n＋2.如图，过点M作MD⊥x轴于点D，∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，∴＝.∵MN∥AC，7\n∴＝，∴＝.∵OA＝4，BC＝10，BN＝n＋2，∴MD＝(n＋2)．∵S△AMN＝S△ABN－S△BMN＝BN·OA－BN·MD＝(n＋2)×4－×(n＋2)2＝－(n－3)2＋5，当n＝3时，S△AMN最大，∴当△AMN面积最大时，N点坐标为(3，0)．3．解：(1)由题意得解得∴y＝x2－4x＋3.(2)根据题意得E(3，3)，直线OE的解析式为y＝x.如图，过点P作PQ∥y轴交OE于点Q.设P(m，m2－4m＋3)，则Q(m，m)，∴S四边形AOPE＝S△AOE＋S△EOP＝＋[m－(m2－4m＋3)]＝－(m2－5m)＝－(m－)2＋，7\n∴当m＝时，四边形AOPE面积最大，最大面积为.(3)存在．符合条件的点P的坐标为(，)或(，)或(，)或(，)．7
