第四节 图形的相似姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2022·邵阳)如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：____________________________________________________________________.2．(2022·嘉兴)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A、B、C；直线DF交l1，l2，l3于点D、E、F，已知＝，则＝______．3．(2022·吉林)如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，求得河宽AB＝__________m.4．(2022·南充)如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD＝1，BD＝2，BC＝4，则EF＝________．5．(2022·上海)如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是________．6．(2022·柳州)如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠DCA＝30°，AC＝，AD＝，则BC的长为__________．9\n7．(2022·临安)如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()8．(2022·广东)在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为()A.B.C.D.9．(2022·河北)若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比()A．增加了10%B．减少了10%C．增加了(1＋10%)D．没有改变10．(2022·长春)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为()A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺11．(2022·荆门)如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG∶S△ABG＝()A.1∶3B.3∶1C.1∶9D.9∶112．(2022·合肥模拟)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列结论正确的是()9\nA．BD＝ADB．BC2＝AB·CDC．AD2＝BD·ABD．CD2＝AD·BD13．(2022·哈尔滨)如图，△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是()A.＝B.＝C.＝D.＝14．(2022·枣庄)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.若AC＝3，AB＝5，则CE的长为()A.B.C.D.15．(2022·原创)如图，将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上，恰好完全重合，BE、CE分别交AD于点F、G，BC＝6，AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，则AB的长为()A．1B.C.D．216．(2022·江西)如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E.求AE的长．9\n17．(2022·杭州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．18．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，点E在对角线AC上，且满足∠ADE＝∠BAC.(1)求证：CD·AE＝DE·BC；(2)以点A为圆心，AB长为半径画弧交边BC于点F，连结AF.求证：AF2＝CE·CA.9\n19．(2022·济宁)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G.(1)猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；(2)过点H作MN∥CD，分别交AD、BC于点M、N.若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．1．(2022·云南二模)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点F，AC⊥AB于点A，点E在边CD上，且满足DF·DB＝DE·DC，FE＝FB，BD平分∠ABE，若AB＝6，CF＝9，则OE的长为______．2．(2022·9\n莱芜)如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE＝90°，连接AF、CF，CF与AB交于G.有以下结论：①AE＝BC；②AF＝CF；③BF2＝FG·FC；④EG·AE＝BG·AB；其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4参考答案【基础训练】1．△ADF∽△ECF或△EBA∽△ECF或△ADF∽△EBA(任意写一对即可) 2.2 3.100 4. 5. 6.2或57．B 8.C 9.D 10.B 11.C 12.D 13.D 14.A 15.C16．解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，又∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD，∴∠D＝∠CBD，∴BC＝CD，∵BC＝4，∴CD＝4，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝，∴＝，∴AE＝2CE，∵AC＝AE＋CE＝6，∴AE＝4.17．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∵DE⊥AB，∴∠BED＝∠ADC＝90°，9\n∴△BDE∽△CAD.(2)解：∵BC＝10，AD为BC边上的中线，∴BD＝CD＝5，∵AC＝13，∴由勾股定理可得AD＝＝12，由(1)△BDE∽△CAD可知：＝，即＝，故DE＝.18．证明：(1)∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠ADE＝∠BAC，∴△ADE∽△CAB，∴＝，∴AB·AE＝DE·BC，∵AB＝CD，∴CD·AE＝DE·BC；(2)∵AD∥BC，AB＝CD，∴∠ADC＝∠DAB，∵∠ADE＝∠BAC，∠ADC＝∠ADE＋∠CDE，∠DAB＝∠BAC＋∠CAD， ∴∠CDE＝∠CAD，又∵∠DCE＝∠ACD，∴△CDE∽△CAD，∴＝，∴CD2＝CE·CA，由题意，得AB＝AF，AB＝CD，∴AF＝CD，∴AF2＝CE·CA.19．解：(1)CF＝2DG.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝CD，AD∥BC，∠ADC＝90°.∵E、F分别是边AD、BC的中点，∴DE＝AD，CF＝BC.∴DE＝CF＝CD.∵∠ADC＝90°，EH⊥DF，9\n∴∠CDF＋∠EDF＝90°，∠DEG＋∠EDF＝90°.∴∠CDF＝∠DEG.在Rt△FCD中，tan∠CDF＝＝.在Rt△DEG中，tan∠DEG＝＝.∴＝.∴CF＝2DG.(2)如解图所示．在NB上取NQ＝NC，连接DQ交MN于点P.∵MN∥CD，CD⊥BC，∴MN⊥BC.又∵NQ＝NC，∴PC＝PQ.∴PD＋PC＝PD＋PQ＝DQ.由“两点之间，线段最短”知，此时PD＋PC最短． 又∵CD＝10，∴此时△PDC的周长＝PD＋PC＋CD＝DQ＋10最短．∵MN∥CD，∴∠MHD＝∠CDF.∴tan∠MHD＝＝tan∠CDF＝.∴MH＝2MD.设MD＝t，则MH＝2t.同理ME＝2MH＝4t.∴DE＝5t.∴CD＝2DE＝10t＝10.∴t＝1.∴CQ＝2DM＝2.在Rt△CDQ中，由勾股定理得DQ＝＝＝2.∴△PDC周长的最小值为2＋10.【拔高训练】9\n1．22．C9
