矩形、菱形、正方形一、选择题1、（2022年上海青浦二模）对角线互相平分且相等的四边形是（）．菱形；．矩形；．正方形；．等腰梯形．答案：B2、（2022兴仁中学一模）若一个菱形的一条边长为4cm，则这个菱形的周长为（）（A）20cm（B）18cm（C）16cm（D）12cm答案：C3（2022年江苏海安县质量与反馈）如图，将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，DEABCMN第1题图折痕为MN．若CE的长为8cm，则MN的长为A．12cmB．12．5cmC．cm D．13．5cm答案：C.4（2022年江苏通州兴仁中学一模）若一个菱形的一条边长为4cm，则这个菱形的周长为（）（A）20cm（B）18cm（C）16cm（D）12cm答案：C.5(西城2022年初三一模)．如图，顺次连结四边形ABCD各中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AB∥DC B．AB＝DC C．AC⊥BDD．AC＝BD答案：C6、图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个2×2的近似正方形，其中完整菱形共有5个；若铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整的菱形有13个；铺成4×4的近似正方形图案④，其中完整的菱形有25个;如此下去，可铺成一个的近似正方形图案.当得到完整的菱形共221个时，n的值为（）A.12B.11C.10D.9答案：B2、\n如图，四边形ABCD是正方形，AG与BD、CD相交于点E和F，如果AE=5，EF=3,则FG=（）A．B．C．4D．57（2022山东省德州二模）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）当AB=BC时，它是菱形当AC⊥BD时，它是菱形当∠ABC=90时，它是矩形当AC=BD时，它是正方形A．1组B．2组C．3组D．4组答案：A8、（2022江苏扬州中学一模）下列命题中，真命题是（▲）A．矩形的对角线相互垂直B．顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是矩形C．等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形答案：D9、（2022荆门东宝区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（）．A．1.6B．2.5C．3D．3.4答案：D第2题10（2022荆门东宝区模拟）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是（）．OOOOxxxxyyyy12121212ABCD（第3题）答案：C11（2022荆门东宝区模拟）如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD、BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开．则下列结论中：①CM＝DM；②∠ABN＝30°；③AB2＝3CM2；④△PMN是等边三角形．正确的有（）．\nA．1个B．2个C．3个D．4个答案：C（第4题）12、(2022学年度九年级第二学期普陀区期终调研)已知四边形中，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（）．（A）；（B）；（C）；（D）.答案：D13、（盐城地区2022～2022学年度适应性训练）菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为(★)A．2B．2C．4D．4答案C14、(2022年普陀区二模)已知四边形中，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（▲）．（A）；（B）；（C）；（D）.答案：D15、(2022年金山区二模)在下列命题中，真命题是（ ）（A）两条对角线相等的四边形是矩形（B）两条对角线互相垂直的四边形是菱形（C）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形（D）两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形答案：C\n二、填空题1、（2022山东省德州三模）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为▲．答案：2.4AEFEMEBPC2、(2022学年度九年级第二学期普陀区期终调研)在矩形中，如果,,那么=．答案：3、(2022学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，那么四边形BCFE的面积等于．答案：64、(2022石家庄市42中二模)如图，甲，乙，丙，丁四个长方形拼成正方形EFGH,中间阴影为正方形，已知，甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32cm²，四边形ABCD的面积是20cm²．问甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和是______．答案：48ABCDO（第1题）EFGH5、（2022年北京中考数学模拟试卷）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，分别以A、C为圆心，AO、CO为半径画圆弧，交菱形各边于点E、F、G、H，若AC=，BD=2，则图中阴影部分的面积是．\nADHGCFBE第1题6（2022年浙江省金华市一模）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是．答案：AC⊥BD7、（2022年上海市浦东新区中考预测）如图，在矩形ABCD中，点F为边CD上一点，沿AF折叠，点D恰好落在BC边上的E点处，若AB=3，BC=5，则的值为▲．答案：第1题图MADNECB图4M8、（盐城市亭湖区2022年第一次调研考试）如图4，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM＝时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似。答案CM＝或CM＝；9、（2022上海市奉贤区调研试题）矩形中，，，边绕旋转使得点落在射线上处，那么的度数为．答案：75°或15°10、（2022昆山一模）已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1（如图所示），把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为▲．\n答案：5或1（第1题）11、(2022年普陀区二模)如图4，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于▲（结果保留）．图4答案：12、(2022年普陀区二模)在矩形中，如果,,那么=▲．答案:13、(2022年普陀区二模)如图5，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，那么四边形BCFE的面积等于▲．图5答案：6三、解答题1、（2022年上海黄浦二模）（本题满分12分）如图，在正方形中，为对角线上一点，联结、，延长交于点．\n（1）求证：；（2）当时，求证：．答案：（1）∵四边形是正方形，∴，且（2分）又∵是公共边，∴△≌△，（2分）∴∠=∠（1分）（2）联结（1分）∵，∴∠=∠（1分）∵∠=∠，∠=∠，∴∠=∠．∵∠+∠=∠+∠，∴∠=∠（1分）∵四边形是正方形，∴∠=∠=45°，∠=∠=45°，∴∠=∠（1分）∴∠=∠．（1分）又∵∠是公共角，∴△∽△，（1分）∴，即（1分）2、（2022年浙江丽水一模）已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．\n（可利用（2）得到的结论）第1题图解：（1）如图①AH=AB图①（2）数量关系成立.如图②，延长CB至E，使BE=DN∵ABCD是正方形∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°∴Rt△AEB≌Rt△AND∴AE=AN，∠EAB=∠NAD∴∠EAM=∠NAM=45°∵AM=AM∴△AEM≌△ANM∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB=AH（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE．由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD.设AH=x，则MC=,NC=图②在Rt⊿MCN中，由勾股定理，得∴\n解得.（不符合题意，舍去）∴AH=6.3（2022年浙江金华五模）矩形纸片中，，现将这张纸片按下列图示方式折叠，是折痕．（1）如图1，P，Q分别为，的中点，点的对应点在上，求和的长；（2）如图2，，点的对应点在上，求的长；（3）如图3，，点的对应点在上．①直接写出的长（用含的代数式表示）；②当越来越大时，的长越来越接近于▲．(第23题图1)(第23题图2)(第23题图3)答案：（1）是矩形中的中点，，，，，（3分）（2），作于点，，，∽\n，，（3分）（3），同理∽当越来越大时，越来越接近于12．（4分）4、（2022年浙江金华五模）已知：如图，菱形中，分别是上的点，且CE=CF．ABCDEF求证：．答案：证明：（1）∵ABCD是菱形∴AB=AD，BC=CD,∠B=∠D（2分）又CE=CF∴BC—CE=CD—CF即BE=DF（4分）∴△ABE≌△ADF∴AE=AF（6分）\n5、如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3cm的速度向B移动，一直达到B止，点Q以每秒2cm的速度向D移动．（1）P、Q两点出发后多少秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2；（2）是否存在某一时刻，使PBCQ为正方形？．6、(本小题满分8分)如图，如下图均为22的正方形网格,每个小正方形的边长均为1．请分别在三个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．答案：略如图，⊙O的直径AB=8，C为圆周上一点，AC=4，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．(1)求∠AEC的度数；ACDEBOl（2）求证：四边形OBEC是菱形．答案：（1）解：在△AOC中，AC=4，∵AO＝OC＝4，∴△AOC是等边三角形．………1分∴∠AOC＝60°，∴∠AEC＝30°．…………………3分（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l．∴OC∥BD．……………………4分∴∠ABD＝∠AOC＝60°．∵AB为⊙O的直径，∴△AEB为直角三角形，∠EAB＝30°．…………………………7分∴∠EAB＝∠AEC．∴四边形OBEC为平行四边形．…………………………………6分又∵OB＝OC＝4．∴四边形OBEC是菱形．…………………………………………7分7、在正方形ABCD中，O是AD的中点，点P从A点出发沿A→B→C→D的路线匀速运动，移动到点D时停止。（1）如图1，若正方形的边长为12，点P的运动速度为2单位长度/秒，设t秒时，正方形ABCD与∠POD重叠部分的面积为y。\n①求当t=4，8，14时，y的值。②求y关于t的函数解析式。（2）如图2，若点Q从D出发沿D→C→B→A的路线匀速运动，移动到点A时停止。P、Q两点同时出发，点P的速度大于点Q的速度。设t秒时，正方形ABCD与∠POD（包括边缘及内部）重叠部分的面积为S，S与t的函数图像如图3所示。①P，Q两点在第秒相遇；正方形ABCD的边长是②点P的速度为单位长度/秒；点Q的速度为③当t为何值时，重叠部分面积S等于9？答案：（1）①120,84,24（3分）②（6分）（2）①4,4（8分）②2,1（10分）解释：只有当P，Q相遇于C点时图像分为5段，其余情况图像分为6段，所以甲的速度为乙的速度的2倍。③（12分）8、（2022上海市奉贤区调研试题）如图，中，，为的中点．操作：过点做的垂线，过点作的平行线，两直线相交于点，在的延长线上截取，联结、．（1）试判断与之间有怎样的关系，并证明你所得的结论；（2）如果，，求的长．答案：解：（1）如图，与互相垂直平分．（1分）\n证明如下：连结、，∵//，∴四边形是平行四边形．（2分）⊥，∴⊥，∵∠=90º，为的中点，∴，（2分）∴四边形是菱形．（1分）∴与互相垂直平分．解：（2）设，则，．（2分）在Rt△中，∵，（1分）∴．（1分）（1分）∴．（2分）9、（2022江苏扬州中学一模）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。第1题（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由。答案：（1）BD=CD……………1分证△AEF≌△DEC∴AF=CD∵AF=BD∴BD=CD……………5分(2)当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形………6分∵AF//BD,AF=BD∴四边形AFBD是平行四边形∵AB=AC，BD=CD∴∠ADB=90°∴□AFBD是矩形………10分10．（2022年江苏南通三模）已知：平行四边形ABCD中，E、F是BC、AB的中点，DE、DF分别交AB、CB的延长线于H、G；（1）求证：BH=AB；（2）若四边形ABCD为菱形，试判断∠G与∠H的大小，并证明你的结论．\n第1题图答案：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴DC=AB，DC∥AB，∴∠C=∠EBH，∠CDE=∠H又∵E是CB的中点，∴CE=BE∴△CDE≌△BHE，∴BH=DC∴BH=AB（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠ADF=∠G∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=AB，∠A=∠C∵E、F分别是CB、AB的中点，∴AF=CE∴△ADF≌△CDE，∴∠CDE=∠ADF∴∠H=∠G11、(2022学年度九年级第二学期普陀区期终调研)如图，四边形中，，点在的延长线上，联结，交于点，联结DB，，且.(1)求证：；（2）当平分时，求证：四边形是菱形.答案：（1）证明：∵，∴．…………………………………………（2分）∵，…………………………………………（1分）∴∽．………………………………………（1分）∴．……………………………………………（1分）\n（2）∵，又∵，∴．………………………………………………（1分）∴．………………………………………………（1分）又∵，∴四边形是平行四边形………………………………………（1分）∵，∴．……………………………………………（1分）∵平分，∴．…………………………………………（1分）∴．∴．……………………………………………（1分）∴四边形是菱形．……………………………………………………（1分）12、(2022苏州市吴中区教学质量调研)已知，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，试判断线段BE与DG的数量关系，并说明理由．第2题图答案：13马鞍山六中2022中考一模）．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形．\n答案：（1）∵CE∥BF，∴∠DBF＝∠DCE，……………………………………2分∵D是BC的中点，∴BD＝CD，又∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE．……………………………………5分（2）由（1）知，△BDF≌△CDE． ∴CE＝BF，…………………………………6分∵CE∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形．…………………………8分在△ABC中，∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC，即EF⊥BC， ∴四边形BFCE是菱形，……………………………………10分14、（2022年4月韶山市初三质量检测）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q.（1）求证：△POD≌△QOB；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB，∴△POD≌△QOB（2）解法一：PD=8-t∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AD=8cm，AB=6cm，∴BD=10cm，∴OD=5cm.当四边形PBQD是菱形时，PQ⊥BD，∴∠POD=∠A，又∠ODP=∠ADB，∴△ODP∽△ADB，∴，即，解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形.解法二：PD=8-t\n当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=(8-t)cm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在RT△ABP中，AB=6cm，∴，∴，解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形.15、[河南开封2022年中招第一次模拟]（8分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD。（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形。答案：16、（杭州市2022年中考数学模拟）如图，在边长为6的正方形中，点在上从向运动，连接交于点连接⑴试证明：无论点运动到上何处时，都有ABCDPQ⑵当的面积与正方形面积之比为1:6时，求的长度，并直接写出此时点在上的位置.答案：(1)证明：在正方形中，∴(2)解：∵的面积与正方形面积之比为1:6且正方形面积为36∴的面积为6ABCDPQEF过点作于于\n∵∴∴∴∵∴四边形为矩形∴∴在中，此时在的中点位置(或者回答此时)EBAOFGCD第23题图17（海南省2022年中考数学科模拟）（本题满分11分）如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，BG⊥CE，垂足为点O,交AC于点F，交AD于点G。（1）证明：BE=AG；（2）点E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB，说明理由。答案：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC=∠BAD=90°，∴∠1+∠3=90°，∵BG⊥CE,∴∠BOC=90°∴∠2+∠3=90°,∴∠1=∠2………………………2分在△GAB和△EBC中，∵∠GAB=∠EBC=90°,AB=BC,∠1=∠2∴△GAB≌△EBC(ASA)…………4分∴AG=BE…………………………5分1EBAOFGCD第23题图32（2）解：当点E位于线段AB中点时，∠AEF=∠CEB……6分理由如下：若当点E位于线段AB中点时，则AE=BE,由（1）可知，AG=BE∴AG=AE……………………7分∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAF=∠EAF=45°…8分又∵AF=AF,∴△GAF≌△EAF(SAS)∴∠AGF=∠AEF………………………………………10分由（1）知，△GAB≌△EBC∴∠AGF=∠CEB,∴∠AEF=∠CEB…………………………………11分18．（2022广西贵港）（本题满分11分）BCDMNEGFOO1如图所示，⊙的直径，和是它的两条切线，为射线\n上的动点（不与重合），切⊙于，交于，设．（1）求与的函数关系式；（2）若⊙与⊙外切，且⊙分别与相切于点，求为何值时⊙半径为１．答案：解：（1）如图所示，作，垂足为……………1分O1QP∵和是⊙的两条切线∴∴四边形为矩形∴∴……………2分∵切⊙于∴∴……………3分由，得……………4分即（）……………5分（2）连接则平分，……………6分∵⊙分别与相切，∴在的角平分线上，连接，则，作，垂足为，则四边形为矩形……………7分当⊙半径为1时，，……………8分∴，……………9分∴……………10分∴，即当为时，⊙半径为1．……………11分图719、（2022年上海市黄浦二模）如图7，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，联结EB、ED，延长BE交AD于点F.（1）求证：∠BEC=∠DEC；（2）当CE=CD时，求证：.答案：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，且∠BCE=∠DCE.…………(2分)又∵CE是公共边，∴△BEC≌△DEC，…………………………………………(2分)∴∠BEC=∠DEC.…………………………………………………………………(1分)（2）联结BD.………………………………………………………………………(1分)∵CE=CD,∴∠DEC=∠EDC.……………………………………………………(1分)∵∠BEC=∠DEC，∠BEC=∠AEF，∴∠EDC=∠AEF.\n∵∠AEF+∠FED=∠EDC+∠ECD，∴∠FED=∠ECD.…………………………………………………………………(1分)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ECD=∠BCD=45°,∠ADB=∠ADC=45°，∴∠ECD=∠ADB.…(1分)∴∠FED=∠ADB.………………………………………………………………(1分)又∵∠BFD是公共角，∴△FDE∽△FBD，……………………………………(1分)∴，即.………………………………………………(1分)20、(徐州市2022年模拟)（6分）如图，在平行四边形ABCD中，为上两点，且，．求证：（1）；（第21题）ABCDEF（2）四边形是矩形．答案：解：（1），，，．1分四边形是平行四边形，．2分在和中，，，，．3分（2）解法一：，．4分四边形是平行四边形，．．．5分四边形是矩形．6分解法二：连接．，．．4分在和中，，，，．．5分\n四边形是平行四边形，四边形是矩形．6分21.（盐城地区2022～2022学年度适应性训练）（本题满分12分）如图,△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG沿AF折叠得到△AFD,延长BE和DF相交于点C．(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．(3)若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的长．(1)由∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,得矩形ABCD,……2分由AB=AD，得四边形ABCD是正方形.……3分(2)MN2=ND2+DH2.……4分理由：连接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45°,∴∠NDH=90°,……6分再证△AMN≌△AHN，得MN=NH，……7分∴MN2=ND2+DH2.……8分(3)设AG=x，则EC=x-4,CF=x-6,由Rt△ECF，得(x-4)2+(x-6)2=100,x1=12,x2=-2(舍去)∴AG=12.……10分由AG=AB=AD=12,得BD=12,∴MD=9,设NH=y,由Rt△NHD,得y2=(9-y)2+(3)2,y=5,即MN=5.……12分22.（盐城地区2022～2022学年度适应性训练）(本题满分8分)如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．证：（1）由□ABCD，得AD=BC,AD∥BC.……2分由BE=DF,得AF=CE,∴AF=CE,AF∥CE.……3分∴四边形AECF是平行四边形；……4分（2）由菱形AECF,得AE=EC，∴∠EAC=∠ACE.……5分\n由∠BAC=90°，得∠BAE=∠B，∴AE=EB.……7分∴BE=AE=EC，BE=5.……8分23、(2022年普陀区二模)（本题满分12分）如图8，四边形中，，点在的延长线上，联结，交于点，联结DB，，且.(1)求证：；（2）当平分时，求证：四边形是菱形.图8（1）证明：∵，∴．……………………………………………………………（2分）∵，……………………………………………………………（1分）∴∽．……………………………………………………………（1分）∴．……………………………………………………………（1分）(2)∵，又∵，∴．……………………………………………………………（1分）∴．……………………………………………………………（1分）又∵，∴四边形是平行四边形…………………………………………………（1分）∵，∴．…………………………………………………………\n（1分）∵平分，∴．………………………………………………………（1分）∴．∴．…………………………………………………………（1分）∴四边形是菱形．……………………………………………………（1分）24、(2022年香坊区一模)本题(6分)如图，四边形ABCD为矩形。F为BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于点G，DEAG，垂足为E，DE=DC．求证：AF=BC矩形、菱形、正方形一、选择题1、（2022江苏射阴特庸中学）如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为()\nA．2B．2C．4D．4答案：B10题图2、（2022江苏扬州弘扬中学二模）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（）.A．2＋B．2＋2 C．12 D．18答案：B3、(2022山西中考模拟六)在下列命题中，正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形答案：C4、（2022·湖州市中考模拟试卷1）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长是（ ）A.24B.18C.12D.6答案：A5、（2022·湖州市中考模拟试卷7）正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点在线段上，正方形的边长为4，则的面积为（）\nA.10 B.12C.14 D.16答案：D6、（2022·湖州市中考模拟试卷10）如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是()A.B.C.D.答案：D7、6．(2022年河北省一摸)|下列四边形：①正方形、②矩形、③菱形，对角线一定相等的是A．①②③B．①②C．①③D．②③答案：B第8题图DABCE8、(2022年河北二摸)如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，AE=3，则tan∠DBE的值是A．B．2C．D．答案：B9、(2022年河北三摸)一个正方形的面积等于10,则它的边长a满足A.3＜a＜4B.5＜a＜6C.7＜a＜8D.9＜a＜10答案：AABDCOEF10、(2022年河北三摸)如图，矩形ABCD的对角线AC⊥OF，边CD在OE上，∠BAC＝70°，则∠EOF等于A.10° B.20° C.30°D.70°答案：B11、(2022年河北三摸)如图，在正方形ABCD中，AB＝3㎝．动点M自A点出发沿AB\n方向以每秒1㎝的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3㎝的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（㎝2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是123-112xyO123-112xyO123-112xyO123-112xyOA．B．C．D．CABDMN答案：B12、(2022年河北四摸)如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形ACD7题题B答案：B二、填空题ADHGCFBE第1题1、（2022山东省德州一模）如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是．答案：BACDE（第2题）2、（2022温州市一模）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=.答案：15°3、(2022·曲阜市实验中学中考模拟)如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P\n是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______.答案：2.54、（2022·温州市中考模拟）将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，则∠1＋∠2=______.125题图6题图7、2022年温州一摸）如图，以O为顶点的两条抛物线分别经过正方形的四个顶点A、B、C、D，则阴影部分的面积为______答案：18、（2022年温州一摸）将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上，则∠1＋∠2=______.(2)若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．答案证：（1）由□ABCD，得AD=BC,AD∥BC.……2分由BE=DF,得AF=CE,∴AF=CE,AF∥CE.……3分∴四边形AECF是平行四边形；……4分（2）由菱形AECF,得AE=EC，∴∠EAC=∠ACE.……5分由∠BAC=90°，得∠BAE=∠B，∴AE=EB.……7分\n∴BE=AE=EC，BE=5.……8分2、（2022江苏射阴特庸中学）小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（结果精确到1mm）答案：解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．……2分∵∠α+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°，∠ADF+∠DAF=90°，∴∠ADF=∠α=36°．根据题意，得BE=24mm,DF=48mm．……4分在Rt△ABE中，sinα=BE/AB，∴AB=BE/sin36°=40(mm).……6分在Rt△ADF中，cos∠ADF=DF/AD，∴AD=DF/COS36°=60(mm）．8分∴矩形ABCD的周长=2(40+60)=200(mm)．……10分3、（2022江苏射阴特庸中学）如图,△AEF中,∠EAF=45°,AG⊥EF于点G,现将△AEG沿AE折叠得到△AEB,将△AFG沿AF折叠得到△AFD,延长BE和DF相交于点C．(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．(3)若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的长．答案：(1)由∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,得矩形ABCD,……2分由AB=AD，得四边形ABCD是正方形.……3分(2)MN2=ND2+DH2.……4分理由：连接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45°,∴∠NDH=90°,……6分再证△AMN≌△AHN，得MN=NH，……7分∴MN2=ND2+DH2.……8分(3)设AG=x，则EC=x-4,CF=x-6,由Rt△ECF，得(x-4)2+(x-6)2=100,x1=12,x2=-2(舍去)∴AG=12.……10分由AG=AB=AD=12,得BD=12,∴MD=9,设NH=y,由Rt△NHD,得y2=(9-y)2+(3)2,y=5,即MN=5.……12分\n4、(2022山西中考模拟六)如图，在中，，，．是边上一点，直线于，交于，交直线于．设．（1）当取何值时，四边形是菱形？请说明理由；（2）当取何值时，四边形的面积等于？答案：解：（1），，又，．又，四边形是平行四边形．当时，四边形是菱形．此时，，，，．∴．在中，，∴∴（负值不合题意，舍去）．即当时，四边形是菱形．（2）由已知得，四边形是直角梯形，，依题意，得．整理，得．解之，得，．，∴舍去．∴当时，梯形的面积等于．5、(2022·曲阜市实验中学中考模拟)如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE交AD于F.\n(1)∠DEF和∠CBE相等吗？请说明理由；(2)请找出图中与EB相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由.答案：解：（1）相等.理由如下:……1分∵四边形ABCD是矩形∴∠C=∠D=90°∴∠BEC+∠CBE=90°∵EF⊥BE∴∠BEF=90°∴∠DEF+∠BEC=90°∴∠DEF=∠CBE………3分（2）BE=EF.理由如下:………4分∵AE平分∠DAB∴∠DAE=∠BAE∵AB∥CD∴∠BAE=∠DEA∴∠DAE=∠DEA∴AD=ED=BCA∵∠C=∠D=90°∠DEF=∠CBE∴△DEF≌△CBE（ASA）∴BE=EF…………8分6、（2022·湖州市中考模拟试卷3）已知：在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=2.（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF=a时，求△GFC的面积（用含a的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，△GFC的面积能否等于2？请说明理由.解：（1）如图①，过点G作于M.在正方形EFGH中，.………………………1分\n又∵，∴⊿AHE≌⊿BEF.………………………2分同理可证：⊿MFG≌⊿BEF.………………………3分∴GM=BF=AE=2.∴FC=BC-BF=10.………………………4分（2）如图②，过点G作于M.连接HF.………………………5分又∴⊿AHE≌⊿MFG.………………………6分∴GM=AE=2.………………………7分………………………8分（3）⊿GFC的面积不能等于2.………………………9分∵若则12-a=2，∴a=10.此时，在⊿BEF中，……………10分在⊿AHE中，.…11分∴AH＞AD.即点H已经不在边AB上.故不可能有………………………………………12分解法二：⊿GFC的面积不能等于2.………………………9分∵点H在AD上，∴菱形边长EH的最大值为.∴BF的最大值为.………………………10分又因为函数的值随着a的增大而减小，所以的最小值为.………………………11分又∵，∴⊿GFC的面积不能等于2.………………12分\n7、20.(2022年深圳育才二中一摸)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.（1）求证：BD=BE；（2）若ÐDBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD，…………………………2分∵BE∥AC∴四边形ABEC是平行四边形。……………………3分∴AC=BE。∴BD=BE。…………………4分（2）解：∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8………………5分∵∠DBC=30°，∴，………………6分………………7分∵BD=BE，BC⊥DE，∴DE==8………………8分且∴∴……………………9分8、(2022年广西南丹中学一摸)如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．\n（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．第25题图【解答】（1）（3分）由折叠的性质可得，GA=GE，∠AGF=∠EGF，∵DC∥AB，∴∠EFG=∠AGF，∴∠EFG=∠EGF，∴EF=EG=AG，∴四边形AGEF是平行四边形（EF∥AG，EF=AG），又∵AG=GE，∴四边形AGEF是菱形．………………3分
（2）（3分）连接ON，∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，△AED的外接圆与BC相切于点N，∴ON⊥BC，∵点O是AE的中点，∴ON是梯形ABCE的中位线，∴点N是线段BC的中点．………………6分（3）（4分）解法一：作OM⊥AB于M，则四边形OMBN是矩形。∴OM＝BN＝12BC＝1令ON＝x，则由（2）得OE＝OA＝ON＝MB＝x（外接圆半径），∵AM＝AB－MB＝4－x在Rt△AOM中，由勾股定理得：OA2＝AM2+OM2即x2=(4－x)2+12解之得：x＝\n∴AM＝4－＝又∵Rt△AOM∽Rt△EFO∴＝即＝∴OF＝∴FG＝2OF＝………………………………10分解法二：（4分）延长NO交AD于H，则AH＝BN＝1，NH＝4令ON＝x，则由（2）得OE＝OA＝ON＝x（外接圆半径），∵OH＝4－x在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝AH2+OH2即x2=12+(4－x)2解之得：x＝∴HO＝4－＝又∵Rt△AOM∽Rt△EFO∴＝即：＝∴OF＝∴FG＝2OF＝…………………………………………10分9、(2022年河北省一摸)|已知：如图13，等腰△ABC中，底边BC=12，高AD=6．（1）在△ABC内作矩形EFGH，使F、G在BC上，E、H分别在AB、AC上，且长是宽的2倍．求矩形EFGH的面积．ABCFGHEDK图13（2）在（1）的基础上，再作第二个矩形，使其两个顶点在EH上，另外两个顶点分别在AB、AC上，且长是宽的2倍．则第二个矩形的面积为；（3）在（2）的基础上，再作第三个矩形，使其两个顶点在第二个矩形的边上，另外两个顶点分别在AB、AC上，且长是宽的2倍．则第三个矩形的面积为；（4）按照这样的方式做下去，根据上述计算猜想第四个矩形的面积为；第\n个矩形的面积为．答案：（1）设矩形EFGH的宽为，长为，则由△AEH∽△ABC，得：，即：，解得：．∴矩形EFGH的面积为3×6＝18．………………………………………………4分（2）；………………………………………………………………………………5分（3）；………………………………………………………………………………6分（4），………………………………………………………………………………7分．……………………………………………………………………………9分……………………………………………………………………………10分10、(2022年河北二摸)已知正方形ABCD的边长为4，E是CD上一个动点，以CE为一条直角边作等腰直角三角形CEF，连结BF、BD、FD．（1）BD与CF的位置关系是．（2）①如图1，当CE=4（即点E与点D重合）时，△BDF的面积为．②如图2，当CE=2（即点E为CD的中点）时，△BDF的面积为．③如图3，当CE=3时，△BDF的面积为．(E)EABCDFABCDFABCDF图1图2图3EE（3）如图4，根据上述计算的结果，当E是CD上任意一点时，请提出你对△BDF面积与正方形ABCD的面积之间关系的猜想，并证明你的猜想．DA图4BCFE答案：(1)平行3分（2）①8；②8；③8；6分\n（3）△BDF面积等于正方形ABCD面积的一半∵BD∥CF，∴△BDF和△BDC等低等高∴……………………………………………10分11、(2022年河北四摸)(本题9分)已知,矩形中,,,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.(1)如图1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；(2)如图2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自→→→停止,点自→→→停止.在运动过程中,①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.②若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.图1图2备用图答案：(1)证明:①∵四边形是矩形∴∥∴,∵垂直平分,垂足为∴∴≌∴∴四边形为平行四边形又∵∴四边形为菱形②设菱形的边长,则在中,\n由勾股定理得,解得∴(2)①显然当点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边形∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒∴,∴,解得∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.②由题意得,以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.分三种情况:i)如图1,当点在上、点在上时,,即,得ii)如图2,当点在上、点在上时,,即,得iii)如图3,当点在上、点在上时,,即,得图1图2图3综上所述,与满足的数量关系式是12、(2022年河南西华县王营中学一摸)（10分）已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN=45º，它的两边，边AM、AN分别交CB、DC与点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H\n(1)如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；（2）如图2，已知∠BAC=45º，.AD⊥BC于点D，且BD=2，CD=3，求AD的长．小萍同学通过观察图①发现，△ABM和△AHM关于AM对称，△AHN和△ADN关于AN对称，于是她巧妙运用这个发现，将图形如图③进行翻折变换，解答了此题。你能根据小萍同学的思路解决这个问题吗？答案：（1）答：AB＝AH.……………………1分证明：延长CB至E使BE=DN，连结AE∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠D=90°，∴∠ABE=180°－∠ABC＝90°又∵AB＝AD∴△ABE≌△AEN（SAS）……………………3分∴∠1＝∠2，AE=AN∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°∴∠1+∠3＝90°－∠MAN＝45°∴∠2+∠3＝45°即∠EAM=45°又AM=AM∴△EAM≌△NAM（SAS）……………………5分\n又EM和NM是对应边∴AB＝AH（全等三角形对应边上的高相等）……………………6分(2)作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°∴∠E＝∠F＝90°，又∠BAC=45°∴∠EAF=90°延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形，又AE=AD=AF∴四边形AEGF是正方形……………………8分由（1）、（2）知：EB＝DB＝2，FC＝DC＝3设AD＝，则EG=AE=AD=FG＝∴BG＝－2；CG＝－3；BC＝2+3＝5在Rt△BGC中，……………………9分解之得，（舍去）∴AD的长为6…………………………………………10分
