专题三 应用性问题探究,考标完全解读)本专题主要考查方程(组)、不等式(组)的解法以及方程(组)和不等式(组)的应用，宜宾市中考中往往以解答题的形式出现，属中档题．试题在考查基础知识、基本运算能力、思维能力和空间观念的同时，注重考查运用数学知识分析和解决简单实际问题的能力．同时注重对高初中衔接内容的考查，并结合现实情境的问题和开放性问题，引导学生通过数学思考与问题解决，了解数学的价值，体现初步的创新精神和实践能力．既考查初中数学的知识和方法，又考查学生进入高一级学校继续学习的潜能．解数学计算题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略．现介绍几种常用的解题策略，供同学参考.1．本大题由两个小题组成，考查了学生基本计算能力．2．实数计算题，涉及绝对值、0次幂、负整数指数，书写规范．3．绝对值、分式的化简考查学生的基本运算能力．这样就大大提高了中考数学计算题获高分的可能．,典型题型讲练) 方程(组)与一元一次不等式综合应用问题【例1】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，如表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨及以下a0.80超过17吨但不超过30吨的部分b0.80超过30吨的部分6.000.80(说明：①每户产生的污水量等于该户的自来水用水量；②水费＝自来水费用＋污水处理费)已知小王家去年5月份用水20吨，交水费66元；6月份用水25吨，交水费91元．(1)求a，b的值；(2)随着夏天的到来，用水量将增加，为了节省开支，小王计划把7月份水费控制在不超过家庭月收入的2%，若小王家的月收入为9600元，则小王家7月份最多能用水多少吨？(结果精确到1吨)【解析】(1)根据等量关系：“小王家去年5月份用水20吨，交水费66元；6月份用水25吨，交水费91元”可列方程组求解即可；(2)先求出小王家6月份的用水量范围，再根据7月份的水费不超过家庭月收入的2%解答．【答案】解：(1)由题意，得②－①，得5(b＋0.8)＝25，8\nb＝4.2，把b＝4.2代入①，得17(a＋0.8)＋3×5＝66，解得a＝2.2，∴a＝2.2，b＝4.2；(2)当水量为30吨时，水费为：17×3＋13×5＝116(元)，9600×2%＝192(元)，∵116<192，∴小王家六月份的用水量超过30吨．设小王家六月份用水量为x吨，由题意，得17×3＋13×5＋6.8(x－30)≤192，解得x≤41.答：小王家六月份最多能用水41吨．【针对练习】1．近期猪肉价格不断走高，引起民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．(1)从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%.某市民在今年5月20日购买2.5kg猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？(2)5月20日猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉，并规定其销售价格在5月20日每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了a%，求a的值．解：(1)设今年年初猪肉价格为每千克x元．根据题意，得2.5×(1＋60%)x≥100，解得x≥25.答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元；(2)设5月20日两种猪肉总销量为1.根据题意，得40(1－a%)×(1＋a%)＋40×(1＋a%)＝40，令a%＝y，原方程化为：40(1－y)×(1＋y)＋40×(1＋y)＝40，整理，得5y2－y＝0，解得：y＝0.2或y＝0(舍去)，∴a%＝0.2，∴a＝20.答：a的值为20. 【解题心得】8\n 函数与一元一次不等式综合应用问题【例2】“五一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票．经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前amin只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y(人)与检票时间x(min)的关系如图所示．(1)求a的值；(2)求检票到第20min时，候车室排队等候检票的旅客人数；(3)若要在开始检票后15min内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？【解析】(1)根据原有的人数－amin检票的人数＋amin增加的人数＝520建立方程，解关于a的方程即可解决问题；(2)设当10≤x≤30时，y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由待定系数法求出函数的表达式，再将x＝20代入表达式就可以求出结论；(3)设需同时开放n个检票口，根据原来的人数＋15min进站人数≤n个检票口15min检票人数建立不等式，求出其解集即可．【答案】解：(1)由图象知，640＋16a－2×14a＝520，解得a＝10；(2)设当10≤x≤30时，y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，由题意，得解得∴y＝－26x＋780.当x＝20时，y＝260，即检票到第20min时，候车室排队等候检票的旅客有260人；(3)设需同时开放n个检票口．则由题意知14n×15≥640＋16×15，解得n≥4，∵n为整数，∴n最小为5.答：至少需要同时开放5个检票口．【针对练习】2．某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数y1(张)与售票时间x(h)的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数y2(张)与售票时间x(h8\n)的函数关系满足图②中的图象．(1)图②中图象的前半段(含端点)是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为________，其中自变量x的取值范围是________；(2)若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？(3)上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式．解：(1)设函数的表达式为y＝ax2，把点(1，60)代入表达式得：a＝60，则函数表达式为：y＝60x2(0≤x≤)；故答案为60；0≤x≤；(2)设需要开放x个普通售票窗口．由题意，得80x＋60×5≥1450，解得x≥14，∵x为整数且x取最小值，∴x＝15，即至少需要开放15个普通售票窗口；(3)设普通售票的函数表达式为y＝kx，把点(1，80)代入，得k＝80，则y＝80x，∵10点是x＝2，∴当x＝2时，y＝160，即上午10点普通窗口售票为160张，由(1)得，当x＝1.5时，y＝135，∴图②中的一次函数过点(1.5，135)，(2，160)，设一次函数的表达式为y＝mx＋n，把点的坐标代入，得解得8\n则一次函数的表达式为y＝50x＋60.【解题心得】 方程组与函数综合应用问题【例3】某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时(x为正整数)，月销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？(3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【解析】(1)根据题意知一件玩具的利润为(30＋x－20)元，月销售量为(230－10x)，然后根据月销售利润＝一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式；(2)把y＝2520代入y＝－10x2＋130x＋2300中，求出x的值即可；(3)把y＝－10x2＋130x＋2300化成顶点式，求得当x＝6.5时，y有最大值，再根据0<x≤10且x为正整数，分别计算出当x＝6和x＝7时y的值即可．【答案】解：(1)根据题意，得y＝(30＋x－20)(230－10x)＝－10x2＋130x＋2300，自变量x的取值范围是：0<x≤10且x为正整数；(2)当y＝2520时，得－10x2＋130x＋2300＝2520，解得x1＝2，x2＝11(不合题意，舍去)．当x＝2时，30＋x＝32(元)．答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元；(3)根据题意，得y＝－10x2＋130x＋2300＝－10(x－6.5)2＋2722.5，∵a＝－10<0，∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5.∵0<x≤10且x为正整数，∴当x＝6时，30＋x＝36，y＝2720(元)，当x＝7时，30＋x＝37，y＝2720(元)．答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．【针对练习】3．学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需12元，3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．(1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；(2)学校准备购进这两种节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．解：(1)设一只A型节能灯的售价为m元，一只B型节能灯的售价为n元．根据题意，得8\n解得答：一只A型节能灯的售价为9元，一只B型节能灯的售价为1元；(2)设购进B型节能灯x只，总费用为y元，则购进A型节能灯(50－x)只．根据题意，得50－x≤3x，解得x≥12.5，∵x为正整数，∴13≤x<50.∵y＝9(50－x)＋x＝－8x＋450，－8<0，∴当x＝49时，y取最小值，最小值为58.答：当购买A型节能灯1只、B型节能灯49只时，总费用最低，最低费用为58元．【解题心得】 函数应用问题【例4】甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行．并以各自的速度匀速行驶，甲车途经C地时休息1h，然后按原速度继续前进到达B地；乙车从B地直接到达A地，如图是甲、乙两车和B地的距离y(km)与甲车出发时间x(h)的函数图象．(1)直接写出a，m，n的值；(2)求出甲车与B地的距离y(km)与甲车出发时间x(h)的函数关系式(写出自变量x的取值范围)；(3)当两车相距120km时，乙车行驶了多长时间？【解析】(1)根据甲车休息1h列式求出m，再根据乙车2h距离B地120km求出速度，然后求出a，根据甲的速度列式求出到达B地行驶的时间再加上休息的1h即可得到n的值；(2)分休息前，休息时，休息后三个阶段，利用待定系数法求一次函数表达式解答；(3)求出甲车的速度，然后分①相遇前两人的路程之和加上相距的120km等于总路程列出方程求解即可；②相遇后，两人行驶的路程之和等于总路程加120km，列出方程求解即可．【答案】解：(1)∵甲车途经C地时休息1h，∴2.5－m＝1，∴m＝1.5，乙车的速度：＝，即＝60，解得a＝90，甲车的速度为：＝，解得n＝3.5；8\n∴a＝90，m＝1.5，n＝3.5；(2)设甲车的y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，①休息前，0≤x<1.5，函数图象经过点(0，300)和(1.5，120)，∴解得∴y＝－120x＋300；②休息时，1.5≤x<2.5，y＝120；③休息后，2.5≤x≤3.5，函数图象经过(2.5，120)和(3.5，0)，∴解得所以y＝－120x＋420.综上，y与x的关系式为y＝(3)设两车相距120km时，乙车行驶了xh，甲车的速度为：(300－120)÷1.5＝120km/h.①若相遇前，则120x＋60x＝300－120，解得x＝1，②若相遇后，则120(x－1)＋60x＝300＋120，解得x＝3，∴两车相距120km时，乙车行驶了1h或3h.【针对练习】4．某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵果树就会少结5个橙子，假设果园多种x棵橙子树．(1)直接写出平均每棵树结的橙子数y(个)与x之间的关系式；(2)果园多种多少棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大？最大为多少？解：(1)y与x的关系式：y＝600－5x(0≤x＜120)；(2)设果园多种x棵橙子数时，果园橙子的总产量为w个．由题意，得w＝(100＋x)y＝(100＋x)(600－5x)，配方得w＝－5(x－10)2＋60500.∵a＝－5＜0，∴当x＝10时，w最大＝60500，∴果园多种10棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大，最大为60500个．【解题心得】8\n8
