图形的认识三角形【知识整理】1.三角形的分类：(1)三角形按角分为_________________，_________________，_________________.(2)三角形按边分为_________________，_________________.2.三角形的性质：(1)三角形中任意两边之和_______第三边，两边之差______第三边.(2)三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：_________________________________.(3)三角形具有稳定性.3.三角形中的主要线段及三心：(1)________________________________________________叫三角形的中位线．(2)中位线的性质：________________________________________________.(3)三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线)(4)三角形三条角平分线的交点叫做内心(内切圆圆心)，三条中心线的交点叫做重心，三边的垂直平分线的交点叫做外心(外切圆圆心).4．全等三角形:____________________________________________叫做全等三角形.5.三角形全等的判定方法有:_______、_______、_______、_______.直角三角形全等的判定除以上的方法外，还有_______.6.全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，对应线段(中线、角平分线、高线)相等，面积相等，周长相等。7．等腰三角形的性质与判定：(1)等腰三角形的两底角_________；(2)等腰三角形底边上的________，底边上的________，顶角的________，三线合一；(3)有两个角相等的三角形是_____________.8．等边三角形的性质与判定：(1)等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；(2)三个角相等的三角形是_____________，三边相等的三角形是_____________，一个角等于60°的_____________三角形是等边三角形.9．直角三角形的性质与判定：(1)直角三角形两锐角________；(2)直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________；(3)直角三角形中，斜边的中线等于斜边的________；(4)勾股定理：__________________________________________________________________．(5)勾股定理的逆定理：__________________________________________________________．【例题讲解】例1如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5，则∠A5的大小是多少？7\n例2如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF．已知：___________(填序号)求证：_____(填序号)证明：例3如图，以△ABC的各边为边，在BC的同侧作等边△ABD、△ACF、△BCE，求证：△BDE≌△EFC例4如图，在等边△ABC中，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ.例5如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论.【中考演练】7\n1．在△ABC中，若∠A=∠C=∠B，则∠A=_____，∠B=____，这个三角形是____________.2.如果等腰三角形的两边长分别为4和7，则三角形的周长为_________.3．如果等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为______.4．△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，若DE=6cm时，BC=_____cm.5.等腰三角形的一个外角等于80°，则这个三角形的三个角分别是___________________.6.若△ABC的三边分别为a、b、c，要使成立，则整数m应为_________.(奇数、偶数)7.以三条线段3、4、x-5为这组成三角形，则x的取值为__________.8.如图，在△ABC中，∠A=80°，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，那么∠BDC=_______.9.如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，要使△ABO≌△DCO，请你补充条件_____________(只要填写一个你认为合适的条件).10.如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于与它不相邻内角其中一个的4倍，那么这个三角形一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形11.已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长L的取值范围是()A.3a＞L＞3bB.2(a+b)＞L＞2aC.2a+b＞L＞2b+aD.3a-b＞L＞a+2b12.如图，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件中(1)AB=DE(2)BC=EF(3)AC=DF(4)∠A=∠D(5)∠B=∠E(6)∠C=∠F，以其中三个作为已知条件，不能判断△ABC与△DEF全等的是()A.（1）（5）（2）B.（1）（2）（3）C.（4）（6）（1）D.（2）（3）（4）13.如图，将两根钢条，的中点连在一起，使，可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是()A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边7\n(第13题)(第14题)14.如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=48°，则∠APD等于()A．42°B．48°C．52°D．58°15.以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的是()A．7㎝，8㎝，15㎝B.15㎝，20㎝，5㎝C．6㎝，7㎝，5㎝D.7㎝，6㎝，14㎝16.如图，△ABC的内角平分线交于点O，若∠BOC=130°，则∠A的度数为()A.100度B.90度C.80度D.70度17.已知三角形的两边长是方程x2-5x+6=0的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是A.1<L<5B.2<L<6C.5<L<9D.6<L<1018.如图在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF.下列结论：①∠ADB=2②图中有4对全等三角形③将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上④BD=BF⑤S四边形DFOE=S△AOF，上述结论中正确的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个19.如图的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n个等腰直角三角形的面积为_______20.如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下五个结论：①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤S四边形AEPF=S△ABC.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，上述结论中始终正确的序号有____________.21.在下列四个命题，①等腰三角形两腰上的中线相等；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形两底角的平分线相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.其中正
确的个数为()
A.1 B.2 C.3 D.422.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列关系式中不成立的是()
A.∠B=∠CAE B.∠DEA=∠CEA C.∠B=∠BAE D.AC=2EC7\n 23.2022年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《沟股圆方图》，它是由四个全等三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图.如果大正方
形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值是()
A.13 B.19 C.25 D.16924.等腰三角形一腰上的中线分原三角形周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为()A．7B.11C.7或11D.不能确定25.已知等腰△ABC腰AB上的高CD与另一腰AC的夹角为30°，则其顶角的度数为()A.60° B.120° C.60°或150° D.60°或120°26.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则∠B的度数为()A.65° B.25° C.65°或25° D.50°或130°27.如图所示，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置.28.小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是()
A.4 B.3 C.2 D.129.如图，已知AB＝AC，∠A＝，AB的中垂线MN交AC于点D、交AB于点M.下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD，正确的有()个.A．4B．3C．2D．17\n30下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（ ）Ａ.等腰三角形两底角相等B.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C.等腰三角形是中心对称图形D.等腰三角形是轴对称图形31.如图，在△ABC中，AB=20㎝，AC=12㎝，点P从点B出发以每秒3㎝的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2㎝的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（）A．2.5B．3秒C．3.5秒D．4秒32.如图1，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高.(1)DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明.(2)如图2，若D在底边的延长线上，(1)中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由.33．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．34.如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，（1）求证：CE=CF.（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示，试猜:BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论.7\n35.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．(2)若PA:PB:PC=3:4:5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．36．如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)延长BE至Q,P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP＝CQ＝5,若BC＝8时，求PQ的长.7
