2022年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）（2022•玄武区一模）如果向北走3km记作+3km，那么向南走5km记作（ ） A．﹣5kmB．﹣2kmC．+5kmD．+8km考点：正数和负数．分析：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．解答：解：“正”和“负”相对，所以如果向北走3km记为+3km，那么向北走5km记为﹣5km．故选：A．点评：本题考查了正数和负数，属于基础题，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 2．（2分）（2022•玄武区一模）下列计算中正确的是（ ） A．a2+a3=2a5B．a2•a3=a5C．a2•a3=a6D．a2+a3=a5考点：同底数幂的乘法；合并同类项．分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加的性质，合并同类项的法则对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、a2•a3=a5，正确；C、应为a2•a3=a5，故本选项错误；D、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误．故选B．点评：本题主要考查同底数幂的乘法的性质；合并同类项的法则，不是同类项的不能合并． 3．（2分）（2022•滨湖区二模）下列调查中，适合采用普查方式的是（ ） A．调查市场上婴幼儿奶粉的质量情况 B．调查黄浦江水质情况 C．调查某个班级对青奥会吉祥物的知晓率 D．调查《直播南京》栏目在南京市的收视率考点：全面调查与抽样调查．分析：根据全面调查与抽样调查的特点对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、调查市场上婴幼儿奶粉的质量情况，费事费力，不适合普查，故本选项错误；B、调查黄浦江水质情况，不适合普查，故本选项错误；C、调查某个班级对青奥会吉祥物的知晓率，比较容易做到，适合普查，故本选项正确；D、调查《直播南京》栏目在南京市的收视率费事费力，不适合普查，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 17\n4．（2分）（2022•玄武区一模）如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是（ ） A．AC=A′C′B．AB∥B′C′C．AA′⊥MND．BO=B′O考点：轴对称的性质．分析：根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，∴AC=A′C′，AA′⊥MN，BO=B′O，故A、C、D选项正确，AB∥B′C′不一定成立，故B选项错误，所以，不一定正确的是B．故选B．点评：本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 5．（2分）（2022•肇庆）二次函数y=x2+2x﹣5有（ ） A．最大值﹣5B．最小值﹣5C．最大值﹣6D．最小值﹣6考点：二次函数的最值．专题：压轴题；探究型．分析：先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由其顶点式求出其最值即可．解答：解：∵二次函数y=x2+2x﹣5中a=1＞0，∴此函数有最小值，∴y最小===﹣6．故选D．点评：本题考查的是二次函数的最值问题，即二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，当a＞0时，函数有最小值最低点，所以函数有最小值，当x=时，y=． 6．（2分）（2022•玄武区一模）某优质袋装大米有A、B、C三种包装，分别装有5千克、10千克、15千克大米，每袋售价分别为35元、65元、90元，每袋包装费用（含包装袋成本）分别为4元、5元、6元．超市销售A、B、C三种包装的大米各60千克，获得利润最大的是（ ） A．A种包装的大米B．B种包装的大米 C．C种包装的大米D．三种包装的大米都相同17\n考点：有理数的混合运算；有理数大小比较．专题：应用题．分析：首先求得每种所卖的袋数，然后求得所售金额，减去包装费用即可进行比较．解答：解：A种的袋数60÷5=12，则获利是：35×12﹣12×4=372元．B种的袋数60÷10=6，则获利是：65×6﹣6×5=360元；C种的袋数60÷15=4，则获利是：90×4﹣4×6=334元．故选A．点评：本题考查有理数的混合运算，正确理解题目中各个量之间的关系是关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）（2022•三明）计算：+= ．考点：二次根式的加减法．分析：运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．解答：解：原式=+2=3．点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变． 8．（2分）（2022•玄武区一模）如图a∥b，若∠1=120°，则∠2的度数是 60 °．考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：根据平角定义可得∠3=180°﹣∠1=180°﹣120°=60°，然后根据两直线平行，内错角相等得到∠2=∠3=60°．解答：解：如图，∵∠1=120°，∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣120°=60°，又∵a∥b，∴∠2=∠3=60°．故答案为60．点评：本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．也考查了平角的定义． 9．（2分）（2022•玄武区一模）据新浪报道，新浪微博在2022年末约拥有503000000个注册用户，将503000000用科学记数法表示为 5.03×108 ．17\n考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：503000000=5.03×108，故答案为：5.03×108．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 10．（2分）（2022•玄武区一模）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： 如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形 ．考点：命题与定理．分析：先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．解答：解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，所以逆命题是：“如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形”．点评：本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 11．（2分）（2022•玄武区一模）一个周长20cm的菱形，有一个内角为60°，其较短的对角线长为 5 cm．考点：菱形的性质．分析：有一个内角为60°，可得这条较短对角线与菱形的两条边构成等边三角形，由此可得出答案．解答：解：由菱形的性质可得此菱形的边长为5cm，∵菱形的一个内角是60°，∴60°角所对的对角线与菱形的两边构成的三角形是一等边三角形，故这个菱形较短的对角线长是5cm．故答案为5．点评：本题考查了菱形的性质，属于基础题，注意有一个内角为60°的菱形，连接对角线可得出等边三角形． 12．（2分）（2022•玄武区一模）根据图中所给两个三角形的角度和边长，可得x= 5 ．考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据三角形内角和定理得出∠A的度数，进而得出△ABC∽△C′A′B′，再利用相似三角形的性质得出x的值即可．解答：解：如图所示：17\n则∠A=180°﹣45°﹣81°=54°，∴∠C=∠B′，∠A=∠A′，∴△ABC∽△C′A′B′，∴=，∴=，解得：x=5．故答案为：5．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△ABC∽△C′A′B′是解题关键． 13．（2分）（2022•玄武区一模）将下列函数图象沿y轴向上平移a（a＞0）个单位长度后，不经过原点的有 ①③ （填写正确的序号）．①y=；②y=3x﹣3；③y=x2+3x+3；④y=﹣（x﹣3）2+3．考点：二次函数图象与几何变换；一次函数图象与几何变换；反比例函数的性质．分析：根据图象的形状与所在象限分别分析得出，函数图象沿y轴向上平移a（a＞0）个单位长度后，不经过原点的解析式即可．解答：解：①y=图象在第一、三象限，函数图象沿y轴向上平移a（a＞0）个单位长度后，不经过原点；②y=3x﹣3的图象向上平移，能经过原点，③y=x2+3x+3=（x+）2+，图象顶点坐标为（﹣，），顶点在第2象限，且开口向上，故函数图象沿y轴向上平移a（a＞0）个单位长度后，不经过原点；④y=﹣（x﹣3）2+3，能经过原点．故答案为：①③．点评：此题主要考查了二次函数与一次函数和反比例函数的平移，根据图形性质得出是解题关键． 14．（2分）（2022•玄武区一模）若有一列数依次为：，，，，…，则第n个数可以表示为 ．考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：仔细观察，不难发现，分子是以2为底数的指数次幂，分母是比平方数小1的数，然后根据序数的关系写出即可．17\n解答：解：∵2、4、8、16、32…都是以2为底数的指数次幂，∴第n个数的分子是2n，∵分母是比平方数小1的数，∴第n个数的分母是（n+1）2﹣1，∴第n个数可以表示为．故答案为：．点评：本题是对数字变化规律的考查，从分子与分母两个方面考虑是解题的关键． 15．（2分）（2022•玄武区一模）如图所示为一个无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），根据图中数据，可知该无盖长方体的容积为 6 ．考点：几何体的展开图．分析：首先求出无盖长方体盒子的长、宽、高，再根据长方体的容积公式求出盒子的容积．解答：解：观察图形可知长方体盒子的长=5﹣（3﹣1）=3、宽=3﹣1=2、高=1，则盒子的容积=3×2×1=6．故答案为：6．点评：考查了几何体的展开图，正确理解无盖长方体的展开图，与原来长方体的之间的关系是解决本题的关键，长方体的容积=长×宽×高． 16．（2分）（2022•松北区二模）如图，在半径为R的⊙O中，和度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度的差为 R （用含有R的代数式表示）．考点：圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理．分析：解：先作OM⊥AB于M，连接OA，根据垂径定理得出AM=BM，∠AOM=18°，求出AB=2AM=2•OA•sin∠AOM，同理得出CD=2Rsin54°，两者进行相减，再进行整理即可得出答案．解答：解：作OM⊥AB于M，连接OA，则AM=BM，∠AOM=18°，AB=2AM=2•OA•sin∠AOM=2Rsin18°，同理可得：CD=2Rsin54°，17\n则CD﹣AB=2Rsin54°﹣2Rsin18°=2R（sin54°﹣sin18°）=4Rcos36°sin18°=2Rcos36°sin36°÷cos18°=Rsin72°÷cos18°=R．故答案为：R．点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理等，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）（2022•玄武区一模）解不等式组．考点：解一元一次不等式组．分析：分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集，找出两解集的公共部分，即可得到原不等式组的解集．解答：解：，解不等式①，得x＜﹣3．解不等式②，得x＜﹣1．所以，原不等式组的解集为x＜﹣3点评：此题考查了一元一次不等式组的解法，解不等式组既不能“代入”，也不能“加减”，而是要分别解不等式组中的每一个不等式，然后找出解集的公共部分，从而得到不等式组的解集，熟练以后对于由两个不等式组成的不等式可按“同大取大，同小取小，大大小小无解，大小小大取中间”的规律间接地确定不等式组的解集． 18．（8分）（2022•玄武区一模）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x是方程x2﹣2x=0的根．考点：分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法．分析：首先计算括号内的分式，然后把除法转化成乘法进行乘法运算即可化简，然后解方程求得x的值，代入求解．17\n解答：解：原式=•=•=．x2﹣2x=0．原方程可变形为x（x﹣2）=0．x=0或x﹣2=0∴x1=0，x2=2．∵当x=2时，原分式无意义，∴x=1．当x=1时，原式==﹣．点评：此题主要考查了方程解的定义和分式的运算，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．如果取x=2，则原式没有意义． 19．（8分）（2022•玄武区一模）3月的南京，“春如四季”．如图所示为3月22日至27日间，我市每日最高气温与最低气温的变化情况．（1）最低气温的中位数是 6.5 ℃；3月24日的温差是 14 ℃；（2）分别求出3月22日至27日间的最高气温与最低气温的平均数；（3）数据更稳定的是最高气温还是最低气温？说说你的理由．考点：折线统计图；算术平均数；中位数；方差．分析：（1）根据中位数的意义求出最低气温的中位数，用3月24日的最高气温减去最低气温即可得出3月24日的温差；（2）根据平均数的概念，用这6天的最高气温的和除以6得出最高气温的平均数，用这6天的最低气温的和除以6得出最低气温的平均数；（3）先分别求出最高气温与最低气温的方差，再进行比较，方差值较小的数据更稳定．解答：解：（1）将3月22日至27日间，我市每日的最低气温按由小到大的顺序排列为：1，6，6，7，8，8，位于第三个与第四个的数据是6，7，所以最低气温的中位数是：（6+7）÷2=6.5（℃）；3月24日的最高气温是15℃，最低气温是1℃，17\n所以3月24日的温差是：15﹣1=14（℃）．故答案为6.5；14；（2）最高气温平均数：×（18+12+15+12+11+16）=14（℃）；最低气温平均数：×（7+8+1+6+6+8）=6（℃）．即3月22日至27日间的最高气温的平均数是14℃，最低气温的平均数是6℃；（3）∵最高气温的方差为：×[（18﹣14）2+（12﹣14）2+（15﹣14）2+（12﹣14）2+（11﹣14）2+（16﹣14）2]=；最低气温的方差为：×[（7﹣6）2+（8﹣6）2+（1﹣6）2+（6﹣6）2+（6﹣6）2+（8﹣6）2]=；∵＞，∴数据更稳定的是最低气温．点评：本题考查了折线图的意义和平均数、中位数、方差的概念．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． 20．（7分）（2022•玄武区一模）河西某滨江主题公园有A、B两个出口，进去游玩的甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开，求他们三人选择同一个出口离开的概率．考点：列表法与树状图法．专题：图表型．分析：画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．解答：解：根据题意画出树状图如下：甲、乙、丙三人各自随机选择一个出口离开的所有可能出现的结果有：（AAA）、（AAB）、（ABA）、（ABB）、（BAA）、（BAB）、（BBA）、（BBB），共有8种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“三人选择同一个出口离开”（记为事件A）的结果有2种，所以P（A）==．点评：本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21．（8分）（2022•高港区二模）如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．17\n考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据平行四边形性质得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出∠ABE=∠CDF，根据ASA推出全等即可；（2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．解答：证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB．∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．∴∠ABE=∠CDF．∵在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）．（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形DFBE是平行四边形，∵AB=DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．∴平行四边形DFBE是矩形．点评：本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力． 22．（8分）（2022•玄武区一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为矩形，BC平行于x轴，AB=6，点A的横坐标为2，反比例函数y=的图象经过点A、C．（1）求点A的坐标；（2）求经过点A、C所在直线的函数关系式；（3）请直接写出AD长 4 ．17\n考点：反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式．分析：（1）把点A的横坐标代入反比例函数解析式计算即可求出点A的纵坐标，从而得解；（2）先求出点B的纵坐标，即为点C的纵坐标，然后代入反比例函数解析式求出点C的横坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）根据矩形的对边相等，AD=BC．解答：解：（1）∵点A在反比例函数y=的图象上，∴y==9，∴点A的坐标是（2，9）；（2）∵BC平行于x轴，且AB=6，∴点B纵坐标为9﹣6=3，点C纵坐标为3，∵点C在反比例函数y=的图象上，∴x==6，∴点C的坐标是（6，3），设经过点A、C所在直线的函数关系式为y=kx+b，可得，解得，∴y=﹣x+12，即，经过点A、C所在直线的函数关系式为y=﹣x+12；（3）BC=6﹣2=4，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=4．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，矩形的对边相等的性质，比较简单． 23．（8分）（2022•玄武区一模）如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，现将△ABC绕着格点O顺时针旋转90°．（1）画出△ABC旋转后的△A′B′C′；17\n（2）求点C旋转过程中所经过的路径长；（3）点B′到线段A′C′的距离为 ．考点：作图-旋转变换；弧长的计算．分析：（1）画出△ABC旋转后的图形，即分别将A，B，C绕点O顺时针旋转90°得出即可；（2）点C所经过的路径长需判断出路径的形状为弧，求出圆心角以及半径即可；（3）利用勾股定理得出：A′C′==，再利用三角形面积公式得出即可．解答：解：（1）如图所示：（2）∵CO==，∴点C旋转过程中所经过的路径长为：=π．（3）由勾股定理得出：A′C′==，设点B′到线段A′C′的距离为x，则S△A′B′C′=x×A′C′=8﹣×1×2﹣×1×3﹣×1×4，解得：x=．故答案为：．点评：此题主要考查了图形的旋转图形画法以及弧长计算公式以及三角形面积公式等知识，旋转三角形就是旋转三角形的三个顶点是解决问题的关键． 24．（7分）（2022•玄武区一模）一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度行驶，一小时后加速为原来速度的1.5倍，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小时的平均行驶速度．考点：分式方程的应用．17\n专题：行程问题．分析：用到的关系式为：路程=速度×时间．由题意可知：加速后用的时间+40分钟+1小时=原计划用的时间．注意加速后行驶的路程为180千米﹣前一小时按原计划行驶的路程．解答：解：设前一个小时的平均行驶速度为x千米/时．40分钟=小时．依题意得：1+，3x+2（180﹣x）+2x=3×180，3x+360﹣2x+2x=540，3x=180，x=60．经检验：x=60是分式方程的解．答：前一个小时的平均行驶速度为60千米/时．点评：列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据． 25．（10分）（2022•玄武区一模）小明设计了一个“简易量角器”：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CA=30cm，在AB边上有一系列点P1，P2，P3…P8，使得∠P1CA=10°，∠P2CA=20°，∠P3CA=30°，…∠P8CA=80°．（1）求P3A的长（结果保留根号）；（2）求P5A的长（结果精确到1cm，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，≈1.7）；（3）小明发现P1，P2，P3…P8这些点中，相邻两点距离都不相同，于是计划用含45°的直角三角形重新制作“简易量角器”，结果会怎样呢？请你帮他继续探究．考点：解直角三角形；全等三角形的判定与性质．分析：（1）连接P3C，求出P3C=P3A．P3C=P3B，推出P3A=P3B=AB．在Rt△ABC中，cos∠A=，求出AB==20cm，即可求出答案；（2）连接P5C，作P5D⊥CA，垂足为D．∠P5CA=50°，设CD=xcm．求出P5D=CD•tan∠P5CD=1.2x．求出DA=1.2x．根据CD+DA=30cm得出x+1.2x=30．求出x=．在Rt△P5DA中，求出P5A=2.4x，即可求出答案；（3）在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，当P1，P2，P3…P8在斜边上时，求出AC=BC，证△P1CA≌△P8CB，推出P1A=P8B．同理可得P2A=P7B，P3A=P6B，P4A=P5B．解答：解：（1）连接P3C，∵∠P3CA=∠A，∴P3C=P3A．17\n又∵∠P3CB=∠BCA﹣∠P3CA=60°，且∠B=∠BCA﹣∠A=60°，∴∠P3CB=∠B，∴P3C=P3B，∴P3A=P3B=AB．在Rt△ABC中，cos∠A=，∴AB==20cm．∴P3A=AB=10cm．（2）连接P5C，作P5D⊥CA，垂足为D．由题意得，∠P5CA=50°，设CD=xcm．在Rt△P5DC中，tan∠P5CD=，∴P5D=CD•tan∠P5CD=1.2x．在Rt△P5DA中，tan∠A=，∴DA==1.2x．∵CA=30cm，∴CD+DA=30cm．∴x+1.2x=30．∴x=．在Rt△P5DA中，sin∠A=∴P5A==2.4x．∴P5A=2.4×≈24cm．（3）如图2，在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°．当P1，P2，P3…P8在斜边上时．∵∠B=90°﹣∠A=45°，∴∠B=∠A，∴AC=BC．在△P1CA和△P8CB中，∵∠P1CA=∠P8CB，AC=BC，∠A=∠B，∴△P1CA≌△P8CB．∴P1A=P8B．同理可得P2A=P7B，P3A=P6B，P4A=P5B．则P1P2=P8P7，P2P3=P7P6，P3P4=P6P5．在P1，P2，P3…P8这些点中，有三对相邻点距离相等．17\n点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力，本题有一定的难度． 26．（9分）（2022•玄武区一模）在函数中，我们规定：当自变量增加一个单位时，因变量的增加量称为函数的平均变化率．例如，对于函数y=3x+1，当自变量x增加1时，因变量y=3（x+1）+1=3x+4，较之前增加3，故函数y=3x+1的平均变化率为3．（1）①列车已行驶的路程s（km）与行驶的时间t（h）的函数关系式是s=300t，该函数的平均变化率是 300 ；其蕴含的实际意义是 列车的速度 ；②飞机着陆后滑行的距离y（m）与滑行的时间x（s）的函数关系式是y=﹣1.5x2+60x，求该函数的平均变化率；（2）通过比较（1）中不同函数的平均变化率，你有什么发现；（3）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过第一象限内的三点A、B、C，过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，AM⊥BE，垂足为M，BN⊥CF，垂足为N，DE=EF，试探究△AMB与△BNC面积的大小关系，并说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）①由给出的材料可知300为平均变化率，其蕴含的实际意义是：列车的速度；②根据例题：对于函数y=3x+1，当自变量x增加1时，因变量y=3（x+1）+1=3x+4，较之前增加3，故函数y=3x+1的平均变化率为3，可计算y=﹣1.5x2+60x，该函数的平均变化率；（2）由（1）中的结论可知：一次函数的变化率是常量，二次函数的变化率是变量；（3）△AMB与△BNC面积的大小关系为S△AMB＜S△BNC，首先证明四边形ADEM为矩形，根据矩形的性质和（1），（2）中的信息以及二次函数的性质即可比较以上两个三角形的面积大小．17\n解答：解：（1）由题意可知①300；列车的速度，②该函数的变化率为：﹣1.5（x+1）2+60（x+1）﹣[﹣1.5x2+60x]=﹣3x+58.5；（2）一次函数的变化率是常量，二次函数的变化率是变量；（3）∵AM⊥BE，且AD、BE均垂直于x轴，∴∠ADE=∠DEM=∠EMA=90°，∴四边形ADEM为矩形，∴AM=DE．同理可得BN=EF．∵DE=EF，∴AM=BN．设DE=EF=n（n＞0），当x增加n时y增加了w．则w=a（x+n）2+b（x+n）+c﹣（ax2+bx+c）=2anx+an2+bn∵该二次函数开口向上，∴a＞0．又∵n＞0，∴2an＞0．∴w随x的增大而增大．即BM＜CN．∵S△AMB=AM•BM，S△BNC=BN•CN，∴S△AMB＜S△BNC．故答案为：300．列车速度．点评：本题考查了函数的平均变化率的问题以及矩形的判定和性质、二次函数的增减性以及三角形的面积公式，题目难度不大，设计新颖，很好的锻炼了学生的解题和读题能力． 27．（9分）（2022•玄武区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．现有一点D，使得∠CDB=∠CAB，DB=CB．（1）请用尺规作图的方法确定点D的位置（保留作图痕迹，可简要说明作法）；（2）连接CD，与AB交于点E，求∠BEC的度数；（3）以A为圆心AB长为半径作⊙A，点O在直线BC上运动，且以O为圆心r为半径的⊙O与⊙A相切2次以上，请直接写出r应满足的条件．考点：圆的综合题．专题：综合题．分析：（1）由于∠CDB=∠CAB，点A与点D都在以BC为弦的同一圆上，则先作出Rt△ABC的外接圆⊙O，然后以B为圆心，BC为半径画弧交⊙O于点D，则点D为所求；（2）由DB=CB得∠DCB=∠CDB，而∠CDB=∠CAB，所以∠DCB=∠CAB，再利用∠CAB+∠CBA=90°得到∠DCB+∠CBA=90°，于是得到∠BEC=90°；（3）如图，过C点的直径为PQ，CP=2，CQ=8，当r=2时，⊙O与⊙A外切2次，内切1次；当0＜r＜2时，⊙O与⊙A外切2次，内切2次；当r=8时，⊙O与⊙A外切2次，内切2次；17\n当r＞8时，⊙O与⊙A相切4次．解答：解：（1），作AB的垂直平分线，垂足为点O，以O点为圆心，OA为半径作⊙O，然后以B为圆心，BC为半径画弧交⊙O于点D，如图，即点D为所求（2）∵DB=CB，∴∠DCB=∠CDB，又∵∠CDB=∠CAB，∴∠DCB=∠CAB．∵∠CAB+∠CBA=90°，∴∠DCB+∠CBA=90°．即∠BEC=90°；（3）当0＜r＜2时，⊙O与⊙A相切4次；当r=2时，⊙O与⊙A相切3次；当r=8时，⊙O与⊙A相切3次；当r＞8时，⊙O与⊙A相切4次．点评：本题考查了圆的综合题：垂径定理和圆周角定理是解决有关圆的问题常用的定理；记住两圆的位置关系的判断方法． 17
