南京市溧水区2022年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共有6小题，每小题2分，共计12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1．（2分）（2022•溧水区一模）下面的数中，与﹣2的和为0的是（ ） A．2B．﹣2C．D．考点：有理数的加法．.分析：设这个数为x，根据题意可得方程x+（﹣2）=0，再解方程即可．解答：解：设这个数为x，由题意得：x+（﹣2）=0，x﹣2=0，x=2，故选：A．点评：此题主要考查了有理数的加法，解答本题的关键是理解题意，根据题意列出方程． 2．（2分）（2022•溧水区一模）一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，0.0000065用科学记数法表示为（ ） A．6.5×10﹣5B．6.5×10﹣6C．6.5×10﹣7D．65×10﹣6考点：科学记数法—表示较小的数．.分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.0000065=6.5×10﹣6；故选：B．点评：本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3．（2分）（2022•溧水区一模）下列运算正确的是（ ） A．B．（﹣3）2=﹣9C．2﹣3=8D．20=0考点：零指数幂；有理数的乘方；算术平方根；负整数指数幂．.专题：计算题．分析：分别根据算术平方根、有理数的平方、负整数指数幂及0指数幂的运算法则进行计算即可．解答：解：A、∵22=4，∴=2，故本选项正确；B、（﹣3）2=9，故本选项错误；C、2﹣3==，故本选项错误；D、20=1，故本选项错误．18\n故选A．点评：本题考查的是算术平方根、有理数的平方、负整数指数幂及0指数幂的运算，熟知以上运算法则是解答此题的关键． 4．（2分）（2022•溧水区一模）以下问题，不适合用全面调查的是（ ） A．了解全班同学每周体育锻炼的时间 B．黄河三角洲中学调查全校753名学生的身高 C．学校招聘教师，对应聘人员面试 D．鞋厂检查生产的鞋底能承受的弯折次数考点：全面调查与抽样调查．.分析：根据全面调查与抽样调查的特点对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间，宜用全面调查，故本选项错误；B、黄河三角洲中学调查全校753名学生的身高，不是很难做到，宜用全面调查，故本选项错误；C、学校招聘教师，对应聘人员面试必须全面调查，故本选项错误；D、鞋厂检查生产的鞋底能承受的弯折次数，具有破坏性，不适合全面调查，故本选项正确．故选D．点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 5．（2分）（2022•溧水区一模）在反比例函数的图象上有两点（﹣1，y1），，则y1﹣y2的值是（ ） A．负数B．非正数C．正数D．不能确定考点：反比例函数图象上点的坐标特征．.分析：反比例函数：当k＜0时，该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．解答：解：∵反比例函数中的k＜0，∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大；又∵点（﹣1，y1）和均位于第二象限，﹣1＜﹣，18\n∴y1＜y2，∴y1﹣y2＜0，即y1﹣y2的值是负数，故选A．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内． 6．（2分）（2022•溧水区一模）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围成三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A．2022B．2022C．2022D．2022考点：规律型：图形的变化类．.专题：压轴题；规律型．分析：观察发现，三角数都是3的倍数，正方形数都是4的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一定是12的倍数，然后对各选项熟记进行判断即可得解．解答：解：∵3，6，9，12，…称为三角形数，∴三角数都是3的倍数，∵4，8，12，16，…称为正方形数，∴正方形数都是4的倍数，∴既是三角形数又是正方形数的是12的倍数，∵2022÷12=167…6，2022÷12=167…8，2022÷12=167…10，2022÷12=168，∴2022既是三角形数又是正方形数．故选D．点评：本题是对数字变化规律的考查，根据题目信息判断出既是三角形数又是正方形数是12的倍数是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）7．（2分）（2022•溧水区一模）写出一个比﹣3大的无理数是 如等（答案不唯一） ．考点：实数大小比较．.专题：开放型．分析：根据这个数即要比﹣3大又是无理数，解答出即可．解答：解：由题意可得，﹣＞﹣3，并且﹣是无理数．18\n故答案为：如等（答案不唯一）点评：本题考查了实数大小的比较及无理数的定义，任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 8．（2分）（2022•溧水区一模）分解因式：2x2﹣8= 2（x+2）（x﹣2） ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．.专题：常规题型．分析：先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：2x2﹣8，=2（x2﹣4），=2（x+2）（x﹣2）．故答案为：2（x+2）（x﹣2）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 9．（2分）（2022•溧水区一模）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.4环，方差分别是=0.90，=1.22，=0.43，=1.68，在本次射击测试中，成绩最稳定的是 丙 （填甲、乙、丙、丁）．考点：方差．.分析：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，找出方差最小的即可．解答：解：∵=0.90，=1.22，=0.43，=1.68，∴＞＞＞＞，∴成绩最稳定的是丙；故答案为：丙．点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 10．（2分）（2022•溧水区一模）在等腰△ABC中，∠C=90°，则cosA= ．考点：特殊角的三角函数值．.分析：根据等腰三角形的性质可得∠A=45°，继而可得出cosA的值．解答：解：∵∠C=90°，△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，18\n∴cosA=．故答案为：．点评：本题考查了等腰直角三角形的性质与特殊角的三角函数值，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键， 11．（2分）（2022•溧水区一模）方程组的解为 ．考点：解二元一次方程组．.专题：计算题．分析：利用①+②可消除y，从而可求出x，再把x的值代入①，易求出y．解答：解：，①+②，得3x=9，解得x=3，把x=3代入①，得3+y=3，解得y=0，∴原方程组的解是．故答案是．点评：本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减法消元的思想． 12．（2分）（2022•溧水区一模）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C= 40° ．考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．.分析：先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．解答：解：∵AB=AD，∠BAD=20°，∴∠B===80°，∵∠ADC是△ABD的外角，18\n∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，∵AD=DC，∴∠C===40°．点评：本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目． 13．（2分）（2022•溧水区一模）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 8 mm．考点：垂径定理的应用；勾股定理．.专题：探究型．分析：先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．解答：解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，∵钢珠的直径是10mm，∴钢珠的半径是5mm，∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD=3mm，在Rt△AOD中，∵AD===4mm，∴AB=2AD=2×4=8mm．故答案为：8．点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 14．（2分）（2022•溧水区一模）已知一次函数y=kx+b的图象过点（x1，y1）、（x2，y2），且x2﹣x1=1时，y2﹣y1=﹣2，则k= ﹣2 ．考点：一次函数图象上点的坐标特征．.18\n专题：探究型．分析：分别把点（x1，y1）、（x2，y2）代入一次函数y=kx+b，再把两式相减，根据x2﹣x1=1时，y2﹣y1=﹣2即可得出结论．解答：解：∵一次函数y=kx+b的图象过点（x1，y1）、（x2，y2），∴，②﹣①得，y2﹣y1=k（x2﹣x1），∵x2﹣x1=1时，y2﹣y1=﹣2，∴﹣2=k×1，即k=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 15．（2分）（2022•溧水区一模）如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 4 cm．考点：圆锥的计算．.专题：计算题．分析：先利用弧长公式得到圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长=4π，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．解答：解：∵圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长==4π，∴圆锥的底面圆的周长为4π，∴圆锥的底面圆的半径为2，∴这个纸帽的高==4（cm）．故答案为4．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理． 16．（2分）（2022•溧水区一模）如图，在平面直角坐标系中，A、B为正比例函数图象上的两点，且OB=2，AB=．点P在y轴上，△BPA是以∠B为顶角的等腰三角形，则OP的长为 +1或﹣1 ．18\n考点：一次函数综合题．.分析：根据B为正比例函数图象上的点，且OB=2，求出B点的坐标，设P点坐标为（0，a），由题意，△BPA是以∠B为顶角的等腰三角形，则BP=PA，列出关于a的一元二次方程，求出a的值，OP的长即可求出．解答：解：设B点的坐标为（m，n），∵B为正比例函数图象上的点，且OB=2，∴，解得：或（舍去），∴点B的坐标为（1，），设P点坐标为（0，a），由题意，∵△BPA是以∠B为顶角的等腰三角形，∴BP=PA，∴=|AB|=，整理得（a﹣）2=1，解得a=+1或﹣1，则OP的长为+1或﹣1，故答案为+1或﹣1．点评：本题主要考查一次函数的综合题，解答本题的关键是求出B点的坐标，解答此题还要注意△BPA是以∠B为顶角的等腰三角形，此题容易出现错误，希望同学们审题时候要注意． 三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）（2022•溧水区一模）（1）解不等式：5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7；（2）若（1）中的不等式的最小整数解是方程2x﹣ax=3的解，求a的值．考点：解一元一次不等式；一元一次方程的解；一元一次不等式的整数解．.分析：18\n（1）根据不等式的基本性质先去括号，然后通过移项、合并同类项即可求得原不等式的解集；（2）根据（1）中的x的取值范围来确定x的最小整数解；然后将x的值代入已知方程列出关于系数a的一元一次方程2×（﹣2）﹣a×（﹣2）=3，通过解该方程即可求得a的值．解答：解：（1）5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+75x﹣10+8＜6x﹣6+75x﹣2＜6x+1﹣x＜3x＞﹣3（2）由（1）得，最小整数解为x=﹣2，∴2×（﹣2）﹣a×（﹣2）=3∴a=．点评：本题考查了解一元一次不等式、一元一次方程的解以及一元一次不等式的整数解．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 18．（6分）（2022•溧水区一模）先化简，再求代数式的值．，其中a=（﹣1）2022+tan60°．考点：分式的化简求值；特殊角的三角函数值．.专题：计算题．分析：将括号内的部分通分，再将除法转化为乘法即可约分化简，然后将a的值代入即可．解答：解：原式=[+]•=•=•=，∵a=（﹣1）2022+tan60°=﹣1+，∴原式==．点评：本题考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，熟悉因式分解及通分约分是解题的关键． 18\n19．（8分）（2022•溧水区一模）如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况（单位：千米/时）（1）找出该样本数据的众数和中位数；（2）计算这些车的平均速度；（结果精确到0.1）（3）若某车以50.5千米/时的速度经过该路口，能否说该车的速度要比一半以上车的速度快？并说明判断理由．考点：条形统计图；加权平均数；中位数；众数．.专题：图表型．分析：（1）根据众数的定义，找出车辆数最多的即为众数，先求出车辆数的总数，再根据中位数的定义解答；（2）根据加权平均数的计算方法列式计算即可得解；（3）与中位数相比较，大于中位数则是比一半以上车的速度快，否则不是．解答：解：（1）该样本数据中车速是52的有8辆，最多，所以，该样本数据的众数为52，样本容量为：2+5+8+6+4+2=27，按照车速从小到大的顺序排列，第13辆车的车速是52，所以，中位数为52；（2）≈52.4千米/时；（3）不能，因为由（1）知样本的中位数为52，所以可以估计该路段的车辆大约有一半的车速要快于52千米/时，该车的速度是50.5千米/时，小于52千米/时，所以不能说该车的速度要比一半以上车的速度快．点评：本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，也考查了平均数、中位数、众数的认识． 20．（6分）（2022•溧水区一模）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连结BD，交AC于F．（1）猜想BD与DE的位置关系，并证明你的结论；（2）求△BDE的面积S．18\n考点：等边三角形的性质；勾股定理；平移的性质．.专题：计算题．分析：（1）BD与DE垂直，理由为：由平移及等边三角形的性质得到BC=CD，∠BCD=120°，利用等腰三角形的性质及内角和定理求出∠CBD=30°，而∠E=60°，确定出∠BDE为直角，即可得证；（2）由∠CBD为30°，得到BF为角平分线，利用三线合一得到BF垂直于AC，F为AC的中点，在直角三角形BCF中，由BC与CF长，利用勾股定理求出BF的长，继而确定出BD的长，由平移的性质得到DE=AC，即可求出三角形BDE的面积．解答：解：（1）垂直，理由为：由平移的性质得：AB=AC=BC=CE=CD=DE，∠E=∠DCE=∠ABC=60°，∴∠DCB=120°，又BC=CD，∴∠CBD=∠CDB=30°，∴∠BDE=90°，∴BD⊥DE；（2）∵∠CBD=30°，即BF为角平分线，AB=BC，∴F为AC中点，即FC=2，BF⊥AC，在Rt△BFC中，根据勾股定理得：BF=2，∵BC=CD，CF⊥BD，∴F为BD中点，∴DB=2BF=4，则S△BDE=•DB•DE=×4×4=8．点评：此题考查了等边三角形的性质，勾股定理，以及平移性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键． 21．（7分）（2022•溧水区一模）甲、乙、丙三位同学用质地、大小完全一样的纸片分别制作一张卡片a、b、c，收集后放在一个不透明的箱子中，然后每人从箱子中随机抽取一张．（1）用列表或画树状图的方法表示三位同学抽到卡片的所有可能的结果；（2）求三位同学中至少有一人抽到自己制作卡片的概率．考点：列表法与树状图法．.分析：此题可以采用列举法求概率，要注意不重不漏；此题需要三步完成，可以采用树状图法，注意此题为不放回实验；此题也可认为两步完成，因为确定了甲乙，也就确定了丙，所以也可采用列表法求概率．18\n解答：解：（1）列表或画树状图表示三位同学抽到卡片的所有可能结果如下：甲aabbcc乙bcacab丙cbcaba（2）如图可知，三位同学抽到卡片的所有可能的结果共有6种，所以三位同学中有一人抽到自己制作的卡片有3种，有三人抽到自己制作的卡片有1种．所以，三位同学中至少有一人抽到自己制作卡片有4种，8分所以，三位同学中至少有一人抽到自己制作的卡片的概率为：．10分点评：此题考查的是用列表法或树状图法或列举法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验；列举法要注意做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22．（7分）（2022•溧水区一模）如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形．.分析：（1）首先连接OA，由∠B=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，又由OA=OC，即可求得∠OAC与∠OCA的度数，利用三角形外角的性质，求得∠AOP的度数，又由AP=AC，利用等边对等角，求得∠P，则可求得∠PAO=90°，则可证得AP是⊙O的切线；（2）由CD是⊙O的直径，即可得∠DAC=90°，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD的长．18\n解答：（1）证明：连接OA．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°，∴∠AOP=60°，∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP，∴AP是⊙O的切线，（2）解：连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°，∴AD=AC•tan30°=3×=，∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°，∴∠P=∠PAD，∴PD=AD=．点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用． 23．（8分）（2022•溧水区一模）某长方体包装盒的展开图如图所示．如果包装盒的表面积为146cm2，求这个包装盒的体积．18\n考点：一元一次方程的应用；几何体的表面积；几何体的展开图．.分析：先根据表面积求出长方体的高，再根据长方体的体积公式计算出其值就可以了．解答：解：设高为xcm，则长为（13﹣2x）cm，宽为（14﹣2x）cm．由题意，得[（13﹣2x）（14﹣2x）+（14﹣2x）x+x（13﹣2x）]×2=146，解得：x1=2，x2=﹣9（舍去）∴长为：13﹣2x=9cm，宽为：5cm．长方体的体积为：9×5×2=90cm3．答：这个包装盒的体积为90cm3．点评：本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的额解法的运用，几何体的表面积的运用，几何体的体积公式的运用． 24．（8分）（2022•溧水区一模）如图，小敏、小亮从A，B两地观测空中C处一个气球，分别测得仰角为30°和60°，A，B两地相距100m．当气球沿与BA平行地飘移10秒后到达C′处时，在A处测得气球的仰角为45°．（1）求气球的高度（结果精确到0.1m）；（2）求气球飘移的平均速度（结果保留3个有效数字）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.分析：（1）分别过C、C′作AB的垂线，设垂足为D、E；在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用所给角的三角函数分别用BD表示出CD，联立两式即可求出CD、BD的长．（2）直角梯形ADCC′中，已知了BD、AB的长，即可求出AD的长；而AE的长可在Rt△ABC′中利用已知角的三角函数求出，即可得出ED、CC′的长，也就得出了气球10秒漂移的距离，根据速度=路程÷时间，即可得解．解答：解：（1）作CD⊥AB，C′E⊥AB，垂足分别为D，E．∵CD=BD•tan60°，CD=（100+BD）•tan30°，∴（100+BD）•tan30°=BD•tan60°，∴BD=50m，CD=50≈86.6m．∴气球的高度约为86.6m；（2）∵BD=50m，AB=100m，∴AD=150m．又∵AE=C′E=50m，∴DE=150m﹣50m≈63.4m．∴气球飘移的平均速度约为63.4÷10=6.34米/秒．18\n点评：解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题． 25．（10分）（2022•溧水区一模）在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终达到C岛．设该海巡船行驶x（h）后，与B港的距离为y（km），y与x的函数关系如图所示．（1）图中点P的坐标为（0.5，0），请解释该点坐标所表示的实际意义；（2）填空：A、C两港口间的距离为 120 km，a= 2 ；当0＜x≤0.5时，y与x的函数关系式为： y=﹣60x+30 ；当0.5＜x≤a时，y与x的函数关系式为： y=60x﹣30 ；（3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为24km，求该海巡船能接受到该信号的时间有多长？（4）请你根据以上信息，针对A岛，就该海巡船航行的“路程”，提出一个问题，并写出解答过程．考点：一次函数的应用．.分析：（1）根据到B岛的距离为0可知点P表示达到B岛；（2）A、C两港口间的距离等于A、C到B岛的距离之和；先根据速度=路程÷时间求出船的速度，然后再根据时间=路程÷速度列式计算即可求出a的值；根据与B港的距离等于A、B两港间的距离减去船行驶的距离，列式整理即可；根据路程=速度×时间列式整理即可得解；（3）求出船距离B港24km时的时间，然后相减即可得解；（4）出发1小时距离A港的距离．解答：解：（1）P点坐标的意义为：该海巡船出发0.5h后，到达B岛；（2）30+90=120千米，船的速度为：=60千米/小时，a=120÷60=2；当0＜x≤0.5时，y=﹣60x+30，当0.5＜x≤2时，y=60（x﹣0.5）=60x﹣30，即y=60x﹣30；18\n（3）由﹣60x+30=24，得：x=0.1，由60x﹣30=24，得，x=0.9，0.9﹣0.1=0.8小时，所以，该海巡船能接受到该信号的时间为0.8小时；（4）答案不唯一：例如，该海巡船1小时弧距离A岛有多少路程？把x=1代入y=60x﹣30得，y=60﹣30=30千米．故答案为：120，2；y=﹣60x+30，y=60x﹣30．点评：本题考查的是用一次函数解决实际问题，本题主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，难度不大． 26．（10分）（2022•溧水区一模）某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元．为了促销，决定凡是购买10件以上的，每多买一件，售价就降低0.10元（例如，某人买20件，于是每件降价0.10×（20﹣10）=1元，就可以按59元/件的价格购买），但是最低价为55元/件．同时，商店在出售中，还需支出税收等其他杂费1.6元/件．（1）求顾客一次至少买多少件，才能以最低价购买？（2）写出当一次出售x件时（x＞10），利润y（元）与出售量x（件）之间的函数关系式；（3）有一天，一位顾客买了47件，另一位顾客买了60件，结果发现卖了60件反而比卖了47件赚的钱少．为了使每次卖的越多赚的钱也越多，在其他促销条件不变的情况下，最低价55元/件至少要提高到多少？为什么？考点：二次函数的应用．.分析：（1）设顾客一次至少购买x件，则超过了（x﹣10）件，每件就应该减少0.1（x﹣10）元，就可以建立等式为60﹣0.1（x﹣10）=55，求出其解就可以了；（2）根据利润=（每件售价﹣每件进价）×数量建立等式就可以表示出y与x之间的函数关系式；（3）先将y与x之间的关系变为顶点式，求出抛物线的对称轴，根据抛物线的性质就可以求出最大利润的数量，从而可以确定最低售价．解答：解（1）设顾客一次至少购买x件，由题意，得60﹣0.1（x﹣10）=55，解得：x=60；（2）由题意，得当10＜x≤60时，y=[60﹣0.1（x﹣10）﹣50]x﹣1.6x=﹣0.1x2+9.4x；当x＞60时，y=（55﹣50﹣1.6）x=3.4x．（3）∵当10＜x≤60时，y=﹣0.1x2+9.4x∴y=﹣0.1（x﹣47）2+220.9，∵a=﹣0.1＜0，18\n∴抛物线的开口向下，对称轴是x=47，∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大，∴x=47时，利润y有最大值，而超过47时，利润y反而随x的增大而减少．要想卖的越多赚的越多，即y随x的增大而增大，∴二次函数性质可知，x≤47，∴当x=47时，最低售价应定为60﹣0.1（47﹣10）=56.3元．点评：本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，利润=（每件售价﹣每件进价）×数量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，在解答时求出利润的解析式是关键，灵活运用解析式解决问题是难点． 27．（10分）（2022•溧水区一模）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在对角线BD上运动（B、D两点除外），线段PA绕点P顺时针旋转m°（0＜m＜180），得线段PQ．（1）若点Q与点D重合，请在图中用尺规作出点P所处的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若点Q落在边CD上，且∠ADB=n°．①探究m与n之间的数量关系；②若点P在线段OB上运动，PQ=QD，求n的取值范围．（在备用图中探究）考点：四边形综合题．.分析：（1）根据垂直平分线的性质和作法作出AD的垂直平分线即可；（2）①利用旋转的性质得出PC=PQ，再利用菱形的性质得出∠3=∠PAD，进而求出∠PAD+∠PQD=180°，得出即可；②利用PQ=QD，得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=2n°，进而利用∠BCD≥∠3≥∠ACD，得出180﹣2n≥2n≥90﹣n，求出即可．解答：解：（1）如图1所示：作AD的垂直平分线，交BC于点P．（2）①如图2，连接PC．由PC=PQ，得∠3=∠4．由菱形ABCD，得∠3=∠PAD．所以得∠4=∠PAD，而∠4+∠PQD=180°．所以∠PAD+∠PQD=180°．所以m+2n=180．②解法一：∵PQ=QD，18\n∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=2n°．而点P在线段BO上运动，∴∠BCD≥∠3≥∠ACD，∴180﹣2n≥2n≥90﹣n，∴30≤n≤45．解法二：由PQ=QD，可得∠QPD=∠1，又∵∠1=∠2，∴∠QPD=∠2，∵点P在线段OB上运动，∴∠ABC≤∠APQ且∠APQ≤90°+∠2（或∠ABC≤∠APQ≤90°+∠2）即（2n≤180﹣2n≤90+n）∴30≤n≤45．点评：此题主要考查了垂直平分线的性质和菱形的性质以及外角的性质等知识，熟练利用相关知识得出对应角的关系是解题关键． 18
