2022年江苏省扬州市宝应县中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每题所给的四个选项，只有一个符合题意，请将正确答案的序号填入答题纸的相应表格中）1．（3分）（2022•包头）9的算术平方根是（ ） A．±3B．3C．﹣3D．考点：算术平方根．专题：计算题．分析：根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所以结果必须为正数，由此即可求出9的算术平方根．解答：解：∵32=9，∴9的算术平方根是3．故选B．点评：此题主要考查了算术平方根的定义，易错点正确区别算术平方根与平方根的定义． 2．（3分）（2022•江苏）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（ ） A．a+b＞0B．ab＞0C．a﹣b＞0D．|a|﹣|b|＞0考点：实数与数轴．分析：本题要先观察a，b在数轴上的位置，得b＜﹣1＜0＜a＜1，然后对四个选项逐一分析．解答：解：A、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴|b|＞|a|，∴a+b＜0，故选项A错误；B、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴ab＜0，故选项错误；C、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴a﹣b＞0，故选项正确；D、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴|a|﹣|b|＜0，故选项错误．故选C．点评：本题考查了实数与数轴的对应关系，数轴上右边的数总是大于左边的数． 3．（3分）（2022•无锡）使有意义的x的取值范围是（ ） A．B．C．D．考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，解不等式即可．解答：解：根据题意得：3x﹣1≥0，解得x≥．故选C．点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 4．（3分）（2022•兰州）如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（ ）19\n A．2B．C．D．3考点：三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义．专题：压轴题．分析：欲求三角形的边长，已知内切圆半径，可过内心向正三角形的一边作垂线，连接顶点与内切圆心，构造直角三角形求解．解答：解：过O点作OD⊥AB，则OD=1；∵O是△ABC的内心，∴∠OAD=30°；Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=1，∴AD=OD•cot30°=，∴AB=2AD=2．故选B．点评：解这类题一般都利用过内心向正三角形的一边作垂线，则正三角形的半径、内切圆半径和正三角形边长的一半构成一个直角三角形，解这个直角三角形，可求出相关的边长或角的度数． 5．（3分）（2022•宝应县二模）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是（ ） A．15πB．24πC．20πD．10π考点：圆锥的计算；由三视图判断几何体．专题：计算题．分析：根据三视图可得到该几何体为圆锥，并且圆锥的高为4，母线长为5，圆锥底面圆的直径为6，先计算出圆锥的底面圆的面积=9π，圆锥的底面圆的周长为6π，根据扇形的面积公式得到×5×π×6=15π，然后把两个面积相加即可得到该几何体的全面积．解答：解：根据三视图得到该几何体为圆锥，其中圆锥的高为4，母线长为5，圆锥底面圆的直径为6，所以圆锥的底面圆的面积=π×（）2=9π，19\n圆锥的侧面积=×5×π×6=15π，所以圆锥的全面积=9π+15π=24π．故选B．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长．也考查了三视图． 6．（3分）（2022•河池）五箱苹果的质量分别为（单位：千克）：18，20，21，22，19．则这五箱苹果质量的平均数和中位数分别为（ ） A．19和20B．20和19C．20和20D．20和21考点：中位数；算术平均数．专题：应用题；压轴题．分析：要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．解答：解：根据平均数定义可知：平均数=（18+20+21+22+19）=20；根据中位数的概念可知，排序后第3个数为中位数，即20．故选C．点评：本题考查平均数和中位数的定义．平均数只要求出数据之和再除以总个数；一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数． 7．（3分）（2022•武汉）（人教版）如图，直线y=x与双曲线y=（k＞0）的一个交点为A，且OA=2，则k的值为（ ） A．1B．2C．D．2考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：数形结合．分析：A在直线y=x上，且OA=2，可求得A点坐标为（，）把已知点的坐标代入解析式可得，k=2．解答：解：设A（x，y），则，19\n解得k=2．故选B．点评：此题主要考查一次函数、反比例函数的图象与性质，是数形结合题． 8．（3分）（2022•宝应县二模）在平面直角坐标系中，以点（3，﹣5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是（ ） A．r＞4B．0＜r＜6C．4≤r＜6D．4＜r＜6考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：根据题意可知，本题其实是利用圆与直线y=1和直线y=﹣1之间的位置关系来求得半径r的取值范围，根据相离时半径小于圆心到直线的距离，相交时半径大于圆心到直线的距离即可求得r的范围．解答：解：根据题意可知到x轴所在直线的距离等于1的点的集合分别是直线y=1和直线y=﹣1，若以点（3，﹣5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，那么该圆与直线y=﹣1必须是相交的关系，与直线y=1必须是相离的关系，所以r的取值范围是|﹣5|﹣|﹣1|＜r＜|﹣5|+1，即4＜r＜6．故选D．点评：解决本题要认真分析题意，理清其中的数量关系．看似求半径与x轴之间的关系，其实是利用圆与直线y=1和直线y=﹣1之间的位置关系来求得半径r的取值范围． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，计30分，请将答案写在答题纸上）9．（3分）（2022•宝应县二模）今年我县约有7278人参加中考，这个数据用科学记数法可表示为 7.278×103 ．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将7278用科学记数法表示为7.278×103．故答案为：7.278×103．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 10．（3分）（2022•丹东）分解因式：x3﹣2x2+x= x（x﹣1）2 ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式x，再对余下的项利用完全平方公式进行二次分解因式．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．解答：解：x3﹣2x2+x，=x（x2﹣2x+1），=x（x﹣1）2点评：本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键． 11．（3分）（2022•宁波）请你写出一个满足不等式2x﹣1＜6的正整数x的值： 1，2，3，填一个即可 ．19\n考点：一元一次不等式的整数解．专题：开放型．分析：首先确定不等式组的解集，然后再找出不等式的特殊解．解答：解：移项得：2x＜6+1，系数化为1得：x≤3.5，满足不等式2x﹣1＜6的正整数x的值为：1，2，3．点评：正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质．另外应掌握正整数的概念． 12．（3分）（2022•宝应县二模）已知两圆的半径分别为3cm和5cm，且两圆的圆心距为2cm，那么这两圆的位置关系是 内切 ．考点：圆与圆的位置关系．分析：由两圆的半径分别为3cm和5cm，圆心距为2cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵两圆的半径分别为3cm和5cm，圆心距为2cm，又∵5﹣3=2，∴两圆的位置关系是：内切．故答案为：内切．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键． 13．（3分）（2022•宝应县二模）下列事件中：①掷一枚硬币，正面朝上；②若a是实数，则|a|≥0；③两直线平行，同位角相等；④从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品．其中属于必然事件的有 ②③ （填序号）．考点：随机事件．分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．解答：解：①是随机事件；②是必然事件；③是必然事件；④是随机事件．故答案是：②③．点评：考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 14．（3分）（2022•宝应县二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是 cm．19\n考点：垂径定理；直角三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的判定；直角梯形．专题：压轴题．分析：本题的综合性质较强，根据全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形的性质可知．解答：解：如图，作AE⊥CD，垂足为E，OF⊥AD，垂足为F，则四边形AECB是矩形，CE=AB=2cm，DE=CD﹣CE=4﹣2=2cm，∵∠AOD=90°，AO=OD，所以△AOD是等腰直角三角形，AO=OD，∠OAD=∠ADO=45°，BO=CD，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°∴∠ODC+∠OAB=90°，∵∠ODC+∠DOC=90°，∴∠DOC=∠BAO，∵∠B=∠C=90°∴△ABO≌△OCD，∴OC=AB=2cm，OB=CD=4cm，BC=BO+OC=AE=6cm，由勾股定理知，AD2=AE2+DE2，得AD=2cm，∴AO=OD=2cm，S△AOD=AO•DO=AD•OF，∴OF=cm．点评：本题利用了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形的性质求解． 15．（3分）（2022•宝应县二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G、H是两腰上的点，AE=EF=FB，CG=GH=HD，且四边形EFGH的面积为6cm2，则梯形ABCD的面积为 18 cm2．考点：相似多边形的性质．分析：根据平行线分线段成比例定理可以得出EH=，FG=19\n，进而利用梯形的面积公式得出梯形ABCD的面积．解答：解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G、H是两腰上的点，AE=EF=FB，CG=GH=HD，∴2EH=AD+FG，2FG=EH+BC，∴EH=，FG=，∵四边形EFGH的面积为6cm2，∴（EH+FG）h=6，∴四边形ADEH的面积和四边形FBCG的面积和为：（EH+AD）h+（BC+FG）h=12，则梯形ABCD的面积为：18．故答案为：18．点评：此题主要考查了相似多边形的性质，根据已知得出EH=，FG=，是解决问题的关键． 16．（3分）（2022•宝应县二模）如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA= 2 ．考点：三角形的内切圆与内心；勾股定理的逆定理；正方形的判定与性质；锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：根据勾股定理的逆定理求出∠C=90°，连接OE、OF、OQ，证四边形CEOF是正方形，求出半径OE，求出QA，求出DQ、OQ的长度，即可求出答案．解答：解：∵AB2=100，AC2+BC2=100，∴AC2+BC2=AB2，∴∠C=90°，连接OE、OF、OQ，∵⊙O为△ABC的内切圆，∴∠C=∠OEC=∠OFC=90°，OE=OF，BE=BQ，AQ=AF，CE=CF，∴四边形CEOF是正方形，∴CE=CF=OE=OF，∴BC﹣OE+AC﹣OE=AB，∴OE=OQ=（6+8﹣10）=2，∴AQ=AF=6﹣2=4，∵D为AB的中点，∴AD=AB=5，∴DQ=5﹣4=1，∴tan∠ODA===2．故答案为：2．19\n点评：本题主要考查对正方形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能求出OQ、OD的长度是解此题的关键． 17．（3分）（2022•宝应县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°，AB=6，点D在AB边上，点E在BC边上（不与点B、C重合）．若DA=DE，则AD的取值范围是 6﹣6≤AD＜3 ．考点：等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：计算题；压轴题．分析：以D为圆心，AD的长为半径画圆，当圆与BC相切时，AD最小，与线段BC相交且交点为B或C时，AD最大，分别求出即可得到范围．解答：解：以D为圆心，AD的长为半径画圆①当圆与BC相切时，DE⊥BC时，∵∠ABC=45°，∴DE=BD，∵AB=6，∴设AD=DE=x，则DB=6﹣x，∴（6﹣x）=x∴x=AD=6﹣6；②当圆与BC相交时，若交点为B或C，则AD=AB=3，∴AD的取值范围是6﹣6≤AD＜3．点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用边BC与圆的位置关系解答，分清AD最小和最大的两种情况是解决本题的关键． 18．（3分）（2022•宝应县二模）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积为 2 ．19\n考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：由AB∥x轴可知，A、B两点纵坐标相等，设A（，m），B（，m），求出AB的长，再根据平行四边形的面积公式进行计算即可；解答：解：∵点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，∴设A（，m），则B（，m），∴AB==，∴S▱ABCD=•m=2，故答案为：2．点评：本题考查了反比例函数，关键是由平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，设出点的坐标，再根据平行四边形的面积公式计算． 三、解答题（本大题共96分，请在答案纸指定区域内作答）19．（8分）（2022•宝应县二模）计算或解不等式组：（1）计算；（2）解不等式组．考点：实数的运算；解一元一次不等式组．分析：（1）本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数、绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．（2）根据不等式解集的“大小小大中间找”确定解集即可．解答：解：（1）原式=1﹣+2﹣4=﹣2；（4分）（2）解8﹣x＞3x得，x＜2，解得，x≥﹣2，不等式组的解集为﹣2≤x＜2．点评：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数、绝对值等考点的运算．注意不等式组的解法． 20．（8分）（2022•宝应县二模）先化简，再求值：，其中a=﹣3．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：先分解因式算乘法再计算加法，最后代值计算．19\n解答：解：原式=（3分）=（（6分））将a=﹣3代入计算，得原式=（8分）点评：注意做这类题时一定要先化简再代值，化简时运算顺序是关键． 21．（8分）（2022•常州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．考点：矩形的判定；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：已知四边形ABDE是平行四边形，只需证得它的一个内角是直角即可；在等腰△ABC中，AD是底边的中线，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得∠ADC是直角，由此得证．解答：证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BC，AB=DE，AE=BD．∵D为BC中点，∴CD=BD．∴CD∥AE，CD=AE．∴四边形ADCE是平行四边形．∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，∴平行四边形ADCE是矩形．点评：此题主要考查了等腰三角形三线合一的性质以及矩形的判定方法． 22．（8分）（2022•宁德）某校九年级（1）班所有学生参加2022年初中毕业生升学体育测试，根据测试评分标准，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：（1）九年级（1）班参加体育测试的学生有 50 人；19\n（2）将条形统计图补充完整；（3）在扇形统计图中，等级B部分所占的百分比是 40% ，等级C对应的圆心角的度数为 72° ；（4）若该校九年级学生共有850人参加体育测试，估计达到A级和B级的学生共有 595 人．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．专题：图表型．分析：（1）由A等的人数和比例，根据总数=某等人数÷所占的比例计算；（2）根据“总数=某等人数÷所占的比例”计算出D等的人数，总数﹣其它等的人数=C等的人数；（3）由总数=某等人数÷所占的比例计算出B等的比例，由总比例为1计算出C等的比例，对应的圆心角=360°×比例；（4）用样本估计总体．解答：（1）总人数=A等人数÷A等的比例=15÷30%=50人；（2）D等的人数=总人数×D等比例=50×10%=5人，C等人数=50﹣20﹣15﹣5=10人，如图：（3）B等的比例=20÷50=40%，C等的比例=1﹣40%﹣10%﹣30%=20%，C等的圆心角=360°×20%=72°；（4）估计达到A级和B级的学生数=（A等人数+B等人数）÷50×850=（15+20）÷50×850=595人．点评：本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 23．（10分）（2022•宝应县二模）有A、B两个口袋，A口袋中装有两个分别标有数字2，3的小球；B口袋中装有三个分别标有数字﹣1，4，﹣5的小球．小明先从A口袋中随机取出一个小球，用m表示所取球上的数字，再从B口袋中随机取出两个小球，用n表示所取球上的数字之和．（1）用树状图法或列表法表示小明所取出的三个小球的所有可能结果；（2）求的值是整数的概率．考点：列表法与树状图法．分析：此题实际需要三步完成，所以采用树状图法比较简单．要注意不重不漏的表示出所有可能情况．列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．解答：解：（1）用树状图表示取出的三个小球上的数字所有可能结果如下：19\n∴共有12种等可能的情况；（2）由树状图可知，所有可能的值分别为：，共有12种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中的值是整数的情况有6种．所以的值是整数的概率P=（10分）．点评：此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24．（10分）（2022•宝应县二模）随着天气逐渐转暖，文峰商场准备对某品牌的羽绒衫降价促销，原价1000元的羽绒服经过两次降价后现销售价为810元，若两次降价的百分率均相同．（1）问每次降价的百分率是多少？（2）第一次降价金额比第二次降价金额多多少元？考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）设每次降价的百分率是x，则第一次降价后的价格为1000（1﹣x）元，第二次降价后的价格为1000（1﹣x）2，根据两次降价后的价格是810元建立方程，求出其解即可；（2）分别求出第一次降价金额与第二次降价金额，再将它们相减即可．解答：解：（1）设每次降价的百分率为x，由题意，得1000（1﹣x）2=810，解得x1=0.1=10%，x2=1.9=190%．答：每次降价的百分率为10%；（2）第一次降价金额1000×10%=100元，第二次降价金额900×10%=90元，100﹣90=10元．答：第一次降价金额比第二次降价金额多10元．点评：本题考查了运用降低率问题解决实际问题的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题的关键是找到等量关系建立方程． 19\n25．（10分）（2022•宝应县二模）如图，泰州园博园中有一条人工河，河的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排间隔为50米的彩灯柱C、D、E、…，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=21°，然后沿河岸走了175米到达B处，测得∠CBN=45°，求这条河的宽度．（参考数据：，）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：过点A，C作出21°，45°所在的直角三角形，设出河宽，利用相应的三角函数表示出SE，BT的长，利用等量关系SC=AT，把相关数值代入即可求得河宽．解答：解：作AS⊥PQ，CT⊥MN，垂足分别为S，T．由题意知，四边形ATCS为矩形，∴AS=CT，SC=AT．设这条河的宽度为x米．在Rt△ADS中，因为，∴．（3分）在Rt△BCT中，∵∠CBT=45°，∴BT=CT=x．（5分）∵SD+DC=AB+BT，∴，（8分）解得x=75，即这条河的宽度为75米．（10分）（其它方法相应给分）点评：当题中给出一定的度数时，要充分利用这些度数构造相应的直角三角形，利用锐角三角函数知识求解． 26．（10分）（2022•宝应县二模）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，O为AB上一点，OA=，以O为圆心，OA为半径作圆．（1）试判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O与AC交于点另一点D，求CD的长．19\n考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：（1）过点O作OE⊥BC，先根据勾股定理计算出AB=10，则OB=AB﹣OA=10﹣=，根据相似三角形的判定方法易得△BOE∽△BAC，则OE：AC=OB：AB，即OE：6=：10，可计算得OE=，由于圆的半径OA=，根据切线的判定方法得到⊙O与BC相切；（2）作OF⊥AC于F点，根据垂径定理得AF=DF，根据相似三角形的判定方法易得△AOF∽△ABC，则AF：AC=AO：AB，即AF：6=：10，可计算得AF=，则AD=2AF=，然后理由CD=AC﹣AD进行计算即可．解答：解：（1）⊙O与BC相切．理由如下：过点O作OE⊥BC，如图，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，∴OB=AB﹣OA=10﹣=，∵∠ACB=90°，∴OE∥AC，∴△BOE∽△BAC，∴OE：AC=OB：AB，即OE：6=：10，∴OE=，∴OE=OA，而OE⊥BC∴⊙O与BC相切；（2）作OF⊥AC于F点，则AF=DF，如图，∵∠C=90°，∴OF∥BC，∴△AOF∽△ABC，∴AF：AC=AO：AB，即AF：6=：10，∴AF=，19\n∴AD=2AF=，∴CD=AC﹣AD=6﹣=．点评：本题考查了圆的切线的判定：如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条直线为圆的切线．也考查了勾股定理、垂径定理以及相似三角形的判定与性质． 27．（12分）（2022•宝应县二模）某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．图表示快递车距离A地的路程y（单位：千米）与所用时间x（单位：时）的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时．（1）请在图中画出货车距离A地的路程y（千米）与所用时间x（时）的函数图象；（2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；（3）求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时？考点：一次函数的应用；分段函数．专题：压轴题．分析：（1）货车从出发到返回共10小时，所以前4小时一段、后4小时一段、中间2小时路程不变；（2）分别求出函数解析式解方程组即可．解答：解：（1）根据题意，图象经过（﹣1，0）、（3，200）和（5，200）、（9，0）．如图：（2）4次；（3）如图，设直线EF的解析式为y=k1x+b1∵图象过（9，0），（5，200），∴，19\n∴，∴y=﹣50x+450①，设直线CD的解析式为y=k2x+b2∵图象过（8，0），（6，200），∴，∴，∴y=﹣100x+800②，解由①②组成的方程组得：，∴最后一次相遇时距离A地的路程为100km，货车应从A地出发8小时．点评：本题主要考查二元一次方程组与一次函数的联系． 28．（12分）（2022•武汉）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）分析抛物线过两点，由待定系数求出抛物线解析式；（2）根据D、E中点坐标在直线BC上，求出D点关于直线BC对称点的坐标；19\n（3）有两种方法：法一作辅助线PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，根据几何关系，先求出tan∠PBF，再设出P点坐标，根据几何关系解出P点坐标；法二过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH⊥x轴于H．过Q点作QG⊥DH于G，由角的关系，得到△QDG≌△DBH，再求出直线BP的解析式，解出方程组从而解出P点坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）∵点D（m，m+1）在抛物线上，∴m+1=﹣m2+3m+4，即m2﹣2m﹣3=0∴m=﹣1或m=3∵点D在第一象限∴点D的坐标为（3，4）由（1）知OC=OB∴∠CBA=45°设点D关于直线BC的对称点为点E∵C（0，4）∴CD∥AB，且CD=3∴∠ECB=∠DCB=45°∴E点在y轴上，且CE=CD=3∴OE=1∴E（0，1）即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；（3）方法一：作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，由（1）有：OB=OC=4∴∠OBC=45°∵∠DBP=45°∴∠CBD=∠PBA∵C（0，4），D（3，4）∴CD∥OB且CD=3∴∠DCE=∠CBO=45°∴DE=CE=∵OB=OC=4∴BC=4∴BE=BC﹣CE=∴tan∠PBF=tan∠CBD=设PF=3t，则BF=5t，OF=5t﹣4∴P（﹣5t+4，3t）19\n∵P点在抛物线上∴3t=﹣（﹣5t+4）2+3（﹣5t+4）+4∴t=0（舍去）或t=∴P（，）；方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH⊥x轴于H，过Q点作QG⊥DH于G，∵∠PBD=45°∴QD=DB∴∠QDG+∠BDH=90°又∵∠DQG+∠QDG=90°∴∠DQG=∠BDH∴△QDG≌△DBH∴QG=DH=4，DG=BH=1由（2）知D（3，4）∴Q（﹣1，3）∵B（4，0）∴直线BQ的解析式为y=﹣x+解方程组得∴点P的坐标为（，）．19\n点评：此题考查传统的待定系数求函数解析式，第二问考查点的对称问题，作合适的辅助线，根据垂直和三角形全等来求P点坐标．19
